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1、精品文档精品文档三角形“四心”向量形式的充要条件应用在学习了平面向量一章的基础内容之后，学生们通过课堂例题以及课后习题陆续接触了有关三角形重心、垂心、外心、内心向量形式的充要条件。现归纳总结如下：一 知识点总结1）O 是ABC 的重心0OCOBOA;若 O 是ABC 的重心，则ABCAOBAOCBOCS31SSS故0OCOBOA;1()3PGPAPBPCG 为ABC 的重心.2）O 是ABC 的垂心OAOCOCOBOBOA;若 O 是ABC(非直角三角形)的垂心，则CtanBtanAtanSSSAOBAOCBOC：故0OCCtanOBBtanOAAtan3）O 是ABC的外心|OC|OB|OA
2、|(或222OCOBOA)若 O 是ABC 的外心则C2sin:B2sin:A2sinAOBsinAOCsinBOCsinSSSAOBAOCBOC：故0OCC2sinOBB2sinOAA2sin4）O 是内心ABC 的充要条件是0)|CB|CB|CA|CA(OC)|BC|BC|BA|BA(OB)ACAC|AB|AB(OA引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA,BC,AB的单位向量为321e,e,e，则刚才 O 是ABC 内心的充要条件可以写成：0)ee(OC)ee(OB)ee(OA322131O 是ABC 内心的充要条件也可以是0OCcOBbOAa若 O 是ABC的内心，则cbaSSSAO
3、BAOCBOC：故0OCCsinOBBsinOAAsin0OCcOBbOAa或;|0AB PCBC PACA PBPABC的内心;向量()(0)|ACABABAC所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直线)；二 范例(一)将平面向量与三角形内心结合考查例 1O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点PA C B 1e2eP 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -精品文档精品文档B C H A 图 6 满足)(ACACABABOAOP，,0则 P点的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心解析：因为ABAB是向
4、量AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为21ee 和，又APOAOP，则原式可化为)(21eeAP，由菱形的基本性质知AP 平分BAC，那么在ABC中，AP 平分BAC，则知选 B.点评：这道题给人的印象当然是“新颖、陌生”，首先ABAB是什么？没见过！想想，一个非零向量除以它的模不就是单位向量？此题所用的都必须是简单的基本知识，如向量的加减法、向量的基本定理、菱形的基本性质、角平分线的性质等，若十分熟悉，又能迅速地将它们迁移到一起，解这道题一点问题也没有。(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”例 2H 是ABC 所在平面内任一点，HAHCHCHBHBHA点 H 是ABC的
5、垂心.由ACHBACHBHAHCHBHCHBHBHA00)(,同理ABHC，BCHA.故 H 是ABC 的垂心.（反之亦然（证略）例 3.(湖南)P 是ABC 所在平面上一点，若PAPCPCPBPBPA，则 P 是ABC 的（D）A外心B内心C重心D垂心解析:由0PCPBPBPAPCPBPBPA得.即0,0)(CAPBPCPAPB即则ABPCBCPACAPB,同理所以 P为ABC的垂心.故选 D.点评：本题考查平面向量有关运算，及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”、三角形垂心定义等相关知识.将三角形垂心的定义与平面向量有关运算及“数量积为零，则两向量所在直线垂直”等相关知识巧妙结合。变式：若
6、 H为ABC 所在平面内一点，且222222ABHCCAHBBCHA则点 H是ABC的垂心证明:2222BCCAHBHABACBCABAHBHA)()(BACBCAHBHA)(得0 即BAHCHC)(0 HCAB同理HBAC，HABC故 H是ABC 的垂心名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -精品文档精品文档(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”例 4G 是ABC 所在平面内一点，GCGBGA=0点 G 是ABC 的重心.证明作图如右，图中GEGCGB连结 BE 和 CE，则 CE=GB，BE=GCBGCE 为平行四边形D 是 BC 的中点，AD 为
7、 BC 边上的中线.将GEGCGB代入GCGBGA=0，得EGGA=0GDGEGA2，故 G 是ABC 的重心.（反之亦然（证略）例 5P 是ABC 所在平面内任一点.G 是ABC 的重心)(31PCPBPAPG.证明CGPCBGPBAGPAPG)()(3PCPBPACGBGAGPGG 是ABC 的重心GCGBGA=0CGBGAG=0，即PCPBPAPG3由此可得)(31PCPBPAPG.（反之亦然（证略）例 6 若 O 为ABC内一点，0OAOBOC，则 O 是ABC 的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由0OAOBOC得OBOCOA，如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形，则OBOCOD
8、，由平行四边形性质知12OEOD，2OAOE，同理可证其它两边上的这个性质，所以是重心，选D。点评：本题需要扎实的平面几何知识，平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质：重心是三角形中线的内分点，所分这比为21。本题在解题的过程中将平面向量的有关运算与平行四边形的对角线互相平分及三角形重心性质等相关知识巧妙结合。变式：已知DEF，分别为ABC的边BCACAB，的中点则ADBECF0证明：GCCFGBBEGAAD232323)(23GCGBGACFBEAD0GCGBGAADBECF0 变式引申：如图 4，平行四边形ABCD的中心为O，P为该平面上任意一点，则1()4POPAPBPCPDABCE
9、DO名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -精品文档精品文档A B(x1,0C(x2,y2)y x H Q G D E F 证明：1()2POPAPC，1()2POPBPD，1()4POPAPBPCPD点评：（1）证法运用了向量加法的三角形法则，证法 2 运用了向量加法的平行四边形法则（2）若P与O重合，则上式变OAOBOCOD0(四)将平面向量与三角形外心结合考查例 7 若 O 为ABC内一点，OAOBOC，则 O 是ABC 的（）A内心B外心C垂心D重心解析：由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心，选 B。点评：本题将平面向量模的
10、定义与三角形外心的定义及性质等相关知识巧妙结合。(五)将平面向量与三角形四心结合考查例 8已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五 B 组第 6题）证明由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而 P1P2P3是正三角形.反之，若点 O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|.即 O 是ABC 所在平
11、面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O 是正 P1P2P3的中心.例 9在ABC中，已知 Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证：Q、G、H三点共线，且 QG:GH=1:2。【证明】：以 A为原点，AB所在的直线为 x 轴，建立如图所示的直角坐标系。设 A(0,0)、B（x1,0）、C(x2,y2)，D、E、F 分别为 AB、BC、AC的中点，则有：112222,0)(,)(,)22222xxxyxyEFD（、由题设可设1324,)(,)2xQyH xy（、,122(,)33xxyG212243(,)(,)222xxyAHxyQFy，212(,
12、)BCxxy2212422142()0()AHBCAHBCxxxy yxxxyy名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -精品文档精品文档212223221232()()0222()22QFACxxyQFACxyyxxxyyy121221224323()(,),)22xxxxxxyQHxyy2（22y2112212221232122122122122()(,),)3233223()23()1(,)(,)6321 =3xxxyxxyxxxyQGyxxxxxyxxxxxyQH222（62y66y22y即=3QHQG，故 Q、G、H三点共线，且 QG：GH=1：2【注】
13、：本例如果用平面几何知识、向量的代数运算和几何运算处理，都相当麻烦，而借用向量的坐标形式，将向量的运算完全化为代数运算，这样就将“形”和“数”紧密地结合在一起，从而，很多对称、共线、共点、垂直等问题的证明，都可转化为熟练的代数运算的论证。例 10若 O、H 分别是 ABC 的外心和垂心.求证OCOBOAOH.证明若ABC 的垂心为 H，外心为 O，如图.连 BO 并延长交外接圆于D，连结 AD，CD.ABAD，BCCD.又垂心为 H，BCAH，ABCH，AHCD，CHAD，四边形 AHCD 为平行四边形，OCDODCAH，故OCOBOAAHOAOH.著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”
14、外心、重心、垂心的位置关系：（1）三角形的外心、重心、垂心三点共线“欧拉线”；（2）三角形的重心在“欧拉线”上，且为外垂连线的第一个三分点，即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2 倍。“欧拉定理”的向量形式显得特别简单，可简化成如下的向量问题.例 11设 O、G、H 分别是锐角 ABC 的外心、重心、垂心.求证OHOG31证明按重心定理G 是ABC 的重心)(31OCOBOAOG按垂心定理OCOBOAOH由此可得OHOG31.三、与三角形的“四心”有关的高考连接题及其应用例1：（2003 年全国高考题）O是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点P 满足)(ACACABABOAOP
15、，,0，则动点 P的轨迹一定通过ABC的（）A F E C T B 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -精品文档精品文档（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上如图设,ABABAEACACAF都是单位向量易知四边形AETF是菱形故选答案 B 例 2：（2005 年北京市东城区高三模拟题）O为ABC所在平面内一点，如果OAOCOCOBOBOA，则 O必为 ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上00)(OBCAOBOCOAOCOBOBOAOB CA 故选答案D 例 3：已知 O 为三角形ABC 所在平面内一点，且满足222222ABOC
16、CAOBBCOA，则点 O 是三角形ABC 的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上由条件可推出OAOCOCOBOBOA故选答案D 例 4：设O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点 P满足)coscos(CACACBABABOAOP，,0，则动点P的轨迹一定通过ABC的（）（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心事实上0)()coscos(BCBCBCCACACBABAB故选答案D例5：2005 年 全 国（I）卷 第15 题“ABC的 外 接 圆 的 圆 心 为O，两 条 边 上 的 高 的 交 点 为H，()OHm OAOBOC，则实数m=_”先解决该题：作直经
17、BD，连DA，DC,有OBOD，DAAB，DCBC，AHBC，CHAB，故/CHDA，/AHDC故AHCD是 平 行 四 边 形，进 而AHDC，又D CO CO DO COOHOAAHOADC图 3 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -精品文档精品文档故OHOAOBOC，所以1m评注：外心的向量表示可以完善为：若O为ABC的外心，H为垂心，则OHOAOBOC。其逆命题也成立。例 6已知向量1OP，2OP，3OP满足条件1OP+2OP+3OP=0，|1OP|=|2OP|=|3OP|=1，求证：P1P2P3是正三角形.（数学第一册（下），复习参考题五B 组第
18、6 题）证明：由已知1OP+2OP=-3OP，两边平方得1OP2OP=21，同理2OP3OP=3OP1OP=21，|21PP|=|32PP|=|13PP|=3，从而 P1P2P3是正三角形.反之，若点O 是正三角形 P1P2P3的中心，则显然有1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|，即 O 是 ABC所在平面内一点，1OP+2OP+3OP=0 且|1OP|=|2OP|=|3OP|点 O 是正 P1P2P3的中心.四、练习1 已知 A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形 ABC 的重心，动点 P满足OP=13(12OA+12OB+2OC),则点P一定为三角形ABC的
19、(B)A.AB边中线的中点B.AB边中线的三等分点(非重心)C.重心D.AB边的中点分析：取 AB边的中点 M，则2OAOBOM，由OP=13(12OA+12OB+2OC)可得 332OPOMMC，23MPMC，即点 P为三角形中 AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心。2在同一个平面上有ABC及一点 满足关系式：OA2+BC2=OB2+CA2OC2AB2，则为 ABC的(D)A.外心B.内心C重心D 垂心3已知 ABC的三个顶点 A、B、C及平面内一点 P满足：0PAPBPC，则 P为ABC的(C)A.外心B.内心C重心D垂心4已知 O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，
20、动点P满足：()OPOAABAC，则 P的轨迹一定通过 ABC的(C)A.外心B.内心C.重心D垂心5已知 ABC，P 为三角形所在平面上的动点，且满足：0PA PCPA PBPB PC，则 P 点为三角形的 (D)A.外心B.内心C.重心D.垂心6已知 ABC，P为三角形所在平面上的一点，且点P满足：0a PAb PBcPC，则 P点为三角形的(B)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -精品文档精品文档B C 图 1 A.外心B.内心C.重心D.垂心7在三角形 ABC 中，动点 P满足：222CACBABCP，则 P点一定通过 ABC的(B)A.外心B.内心
21、C.重心D.垂心8.非零向量AB与AC满足(|ABAB+|ACAC)BC=0 且|ABAB|ACAC=12,则ABC为(D)A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D等边三角形解析：非零向量与满足(|ABACABAC)BC=0，即角 A的平分线垂直于 BC，AB=AC，又cosA|ABACABAC=12，A=3，所以 ABC为等边三角形.9.ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHm OAOBOC，则实数 m=1 10.点 O是三角形 ABC 所在平面内的一点，满足OA OBOB OCOC OA，则点 O是ABC的(B)(A)三个内角的角平分线的交点(B)三条边的垂直平分线的交点(C)三条中线的交点(D)三条高的交点11.如图 1，已知点 G是ABC 的重心，过 G作直线与 AB，AC两边分别交于 M，N两点，且AMxAB，ANyAC，则113xy。证 点 G是ABC 的重心，知GAGBGC0，得()()AGABAGACAG0，有1()3AGABAC。又 M，N，G三点共线(A不在直线 MN 上)，于是存在，使得(1)AGAMAN 且，有AGxAByAC=1()3ABAC，得113xy，于是得113xy。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -