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1、第第3讲对偶理论和灵敏度分析讲对偶理论和灵敏度分析1现在学习的是第1页，共36页第第3讲讲 对偶理论对偶理论n 对偶问题的提出对偶问题的提出n 对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释-影子价格影子价格重重 点：对偶理论，对偶单纯形法点：对偶理论，对偶单纯形法 难难 点：对偶理论点：对偶理论基本要求：掌握对偶关系，理解对偶性质，掌握对偶单纯基本要求：掌握对偶关系，理解对偶性质，掌握对偶单纯形法，形法，会求影子价格，会求影子价格，现在学习的是第2页，共36页n引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料引例：经营策略问题。甲工厂有设备和原料A A、B B 这些设备和原这些设备和原料可用于料可用于、两种产品
2、的加工，每件产品加工所需机时数，原料两种产品的加工，每件产品加工所需机时数，原料A A、B B消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利用的机消耗量，每件产品的利润值及每种设备的可利用的机时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备时数如下表。现在乙厂和甲厂协商，打算租用甲厂的设备购买资源购买资源A和和B 。问甲厂采取哪种经营策略，是自己生产。问甲厂采取哪种经营策略，是自己生产产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出让原产品还是出租设备、出让原材料？如果出租设备、出让原材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料材料，在和乙厂协商时出租设备和出让原材料A,BA,B的底价应的底价应是多少？
3、是多少？对偶问题的提出对偶问题的提出 设设 备备原料原料A A原料原料B B 1 4 0 2 0 4 80台时 160kg 120kg23盈利盈利现在学习的是第3页，共36页自己生产：自己生产：0,120 41604 802.32zmax21212121xxxxxxtsxx原问题原问题引例分析：现在学习的是第4页，共36页l设设y y1 1,y y2 2和和y y3 3分别表示出租单位设备台时分别表示出租单位设备台时的租金和出让单位原材料的租金和出让单位原材料A,BA,B的附加额的附加额2421 yy=80y1+160y2+120y3出售资源对偶问题l显然商人希望总的收购价越小越好显然商人希望
4、总的收购价越小越好l工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少工厂希望出售资源后所得不应比生产产品所得少 34231 yy3,2,1,0 iyi .ts目标函数目标函数 min0,120 41604 802.32zmax21212121xxxxxxtsxx现在学习的是第5页，共36页0,120 41604 802.32zmax21212121xxxxxxtsxx例例1400421A)3,2(C12016080b它的对偶问题是：它的对偶问题是：YAYA Cmin=YbYbY Y0 012016080Y)3,2(400421 YY Y=（y1，y2，y3）3,2,1,034224.3121iyyy
5、yytsi32112016080minyyy现在学习的是第6页，共36页1 1.5.1 .5.1 原问题与对偶问题的关系原问题与对偶问题的关系(对称形式对称形式)线性规划的对偶理论线性规划的对偶理论0XbAXCX.max :tsz原问题0YCYAYb.min :ts对偶问题TmnmTnbbbbcccCyyyYxxxX),(),(),(),(21212121上上两两式式中中mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211现在学习的是第7页，共36页 0,.min21221122222112112211112211mnmmnnnmmmmmmyyycyayayacyayayacyayayat
6、sybybyb 把把对对偶偶问问题题展展开开0,max 2112121112112211 nmnmnmmnnnxxxbbxxxaaaaaaxcxcxcz0,),(),(min21112111211212211 mnmnmmnmmmyyycccaaaaaayyyybybyb 0,.max :21221122222112112211112211nmnmnnnnmnmnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxatsxcxcxcz原问题展开现在学习的是第8页，共36页 原关系minwnxxx21mnmmnnaaaaaaaaa212222111211对偶关系myyy21 mbbb21 nccc2
7、1wzminmax maxzxy原问题与对偶问题的对称形式原问题与对偶问题的对称形式现在学习的是第9页，共36页 标准标准(max,max,)型的对偶变换型的对偶变换n目标函数由目标函数由 max max 型变为型变为 min min 型型n对应原问题每个约束行有一个对偶变量对应原问题每个约束行有一个对偶变量 yi，i=1,2,1,2,m mn对偶问题约束为对偶问题约束为 型，有型，有 n n 行行n原问题的价值系数原问题的价值系数 C C 变换为对偶问题的右端项变换为对偶问题的右端项n原问题的右端项原问题的右端项 b b 变换为对偶问题的价值系数变换为对偶问题的价值系数n原问题的技术系数矩阵
8、原问题的技术系数矩阵 A A 转置后成为对偶问题的技术系数矩转置后成为对偶问题的技术系数矩阵阵n原问题与对偶问题互为对偶原问题与对偶问题互为对偶l对偶问题可能比原问题容易求解对偶问题可能比原问题容易求解l对偶问题还有很多理论和实际应用的意义对偶问题还有很多理论和实际应用的意义现在学习的是第10页，共36页原问题与对偶问题的结构关系原问题与对偶问题的结构关系n原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反（前者为极原问题与对偶问题中的目标函数的优化方向相反（前者为极大，后者为极小）大，后者为极小）n原问题的每个约束条件对应于对偶问题的一个决策变量，且原问题的每个约束条件对应于对偶问题的一个决策变量，
9、且约束条件的资源系数（右端的常数项）为相应决策变量的价约束条件的资源系数（右端的常数项）为相应决策变量的价值系数值系数n原问题的每个决策变量对应于对偶问题的一个约束条件，且决策原问题的每个决策变量对应于对偶问题的一个约束条件，且决策变量的价值系数为相应约束条件的右端常数项变量的价值系数为相应约束条件的右端常数项n对偶问题中的系数矩阵为原问题中的系数矩阵的转置对偶问题中的系数矩阵为原问题中的系数矩阵的转置n原问题约束条件中的小于等于符号对应于对偶问题中的对偶变量原问题约束条件中的小于等于符号对应于对偶问题中的对偶变量取非负约束，原问题中决策的对偶问题非负约束在对偶问题中体取非负约束，原问题中决策
10、的对偶问题非负约束在对偶问题中体现为相应的约束条件取大于等于符号现为相应的约束条件取大于等于符号现在学习的是第11页，共36页 非非标准标准型的对偶变换型的对偶变换0,510342023.54max 21221212121xxxxxxxxtsxxz不限原线性规划问题例 0,551033420223.554max)(max,221221221221221221xxxxxxxxxxxxxxxtsxxxz型标准问题化为0,532532443.551020min 43214321432143214321wwwwwwwwwwwwwwwwtswwww则应用标准型对偶变换规不限经整理得令3213213213
11、214332211,0,0532443.51020min:,yyyyyyyyytsyyywwywywy现在学习的是第12页，共36页 对偶变换的规则对偶变换的规则现在学习的是第13页，共36页max=5y1+4y2+6y3y1+2y2y1+y3-3y1+2y2+y3y1-y2+y3=23-5 1y1 0，y2 0,y3无约束无约束对偶问题例例3 3 写出线性规划问题的对偶问题写出线性规划问题的对偶问题minz=2x1+3x2-5x3+x4原问题原问题 x1+x2-3x3+x4 5 2x1+2x3 -x44 x2+x3 +x4=6 x1 0,x2,x3 0,x4无约束现在学习的是第14页，共36
12、页（1）对称性：对偶的对偶就是原始问题min=-CXs.t.-AX -bX 0max z=-Ybs.t.-YA -CY 0min=Ybs.t.YA C Y 0max z=CXs.t.AX bX 0对偶的定义对偶的定义对偶的定义对偶的定义1.5.2 对偶问题的基本性质对偶问题的基本性质 为了便于讨论，下面不妨总是假设为了便于讨论，下面不妨总是假设 0XbAX.CXmax :tsz原原问问题题 0YCYA.Ybmin :ts 对对偶偶问问题题现在学习的是第15页，共36页 0YCAY0XbXA,Y,X :故有故有题的可行解题的可行解分别为原问题和对偶问分别为原问题和对偶问由于由于证证XYbYXC(
13、2)弱对偶性:若若 是原问题的可行解，是对偶是原问题的可行解，是对偶问题的可行解。则存在问题的可行解。则存在 XAbYY XAXCY bYYXC XA对偶问题对偶问题(min)min)的任何可行解的任何可行解Y Y，其目标函数值总是其目标函数值总是不小于原问题不小于原问题(max)max)任何可行解任何可行解X X的目标函数值的目标函数值现在学习的是第16页，共36页 弱弱对偶定理推论对偶定理推论原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标函数原问题的任何可行解目标函数值是其对偶问题目标函数值的下限；对偶问题的任何可行解目标函数值是原问值的下限；对偶问题的任何可行解目标函数值是原问题目标函数值
14、的上限题目标函数值的上限n如果原如果原(对偶对偶)问题为无界解，则其对偶问题为无界解，则其对偶(原原)问题无问题无可行解可行解n如果原如果原(对偶对偶)问题有可行解，其对偶问题有可行解，其对偶(原原)问题无可行解问题无可行解，则原问题为无界解，则原问题为无界解n当原问题当原问题(对偶问题对偶问题)为无可行解为无可行解,其对偶问题其对偶问题(原问原问题题)或具有无界解或无可行解或具有无界解或无可行解bYYXC XA现在学习的是第17页，共36页 (3)强对偶性证：由弱对偶定理推论证：由弱对偶定理推论1，结论是显然的。，结论是显然的。XYbYXC XY若是原问题的可行解，是对偶问题可行解，当若是原
15、问题的可行解，是对偶问题可行解，当 ,分别是相应问题的最优解分别是相应问题的最优解XCbY bYXC 若若bYbY 是使目标函数取最小值的解，因此是最优解是使目标函数取最小值的解，因此是最优解 Y可行解是最优解的性质可行解是最优解的性质(最优性准则定理最优性准则定理)现在学习的是第18页，共36页(4)(4)对偶对偶定理定理 若原问题和对偶问题两者皆可行若原问题和对偶问题两者皆可行,则两者均则两者均有最优解有最优解,且此时目标函数值相等且此时目标函数值相等.第第1部分部分:证明两者均有最优解证明两者均有最优解证明分两部分证明分两部分由于原问题和对偶问题均可行由于原问题和对偶问题均可行,根据弱对
16、偶根据弱对偶性性,可知两者均有界可知两者均有界,于是均有最优解于是均有最优解.bYXC 现在学习的是第19页，共36页第第2部分部分:证明有相同的目标函数值证明有相同的目标函数值 设设 为原问题的最优解为原问题的最优解X它所对应的基矩阵是它所对应的基矩阵是B B，则其检验数满足则其检验数满足 C C C CB BB B 1 1A A 0 0 bBX1 因此有对偶问题目标函数值因此有对偶问题目标函数值而原问题最优解的目标函数值为而原问题最优解的目标函数值为01 YCAYBCYB，则则有有令令显然显然 为对偶问题的可行解。为对偶问题的可行解。YbBCbYB1 bBCXCzB1 证毕故由最优解准则定
17、理可知故由最优解准则定理可知 为对偶问题的最优解为对偶问题的最优解.Y现在学习的是第20页，共36页对偶定理推论对偶定理推论n根据对偶定理第根据对偶定理第2 2部分的证明部分的证明,可以得出可以得出:若互为对偶若互为对偶的线性规划问题中的任一个有最优解的线性规划问题中的任一个有最优解,则另一个也有则另一个也有最优解最优解,且目标函数值相等且目标函数值相等.综上所述综上所述,一对对偶问题的解必然是下列三种情况一对对偶问题的解必然是下列三种情况之一之一:n原问题和对偶问题都有最优解原问题和对偶问题都有最优解n一个问题具有无界解一个问题具有无界解,另一个问题无可行解另一个问题无可行解n原问题和对偶问
18、题都无可行解原问题和对偶问题都无可行解现在学习的是第21页，共36页 (5)互补松弛互补松弛定理定理证：由定理所设，可知有 YXSXSYYX设设 ,分别是原问题和对偶问题的可行解，分别是原问题和对偶问题的可行解，为为原问题的松弛变量的值，为对偶问题剩余变量的原问题的松弛变量的值，为对偶问题剩余变量的值。值。,分别是原问题和对偶问题最优解的充分分别是原问题和对偶问题最优解的充分必要条件是必要条件是0 SSYXXY0,SSXXbXXA0,SSYYCYAY分别以分别以 左乘左乘(1)(1)式，以式，以 右乘右乘(2)(2)式后，两式相减，得式后，两式相减，得 YXXCbYXYXYSS 0 XYXYS
19、S若若根据最优解判别定理，根据最优解判别定理，分别是原问题和对偶问题最优分别是原问题和对偶问题最优解。反之亦然。解。反之亦然。YX,证毕。（1）（2）0 SSYXXY即即0 XCbYXCbY 现在学习的是第22页，共36页max z=CXs.t.AX+XS=bX,XS 0min w=Ybs.t.AY-YS=CY,YS 0XYS=0YXS=0mn=YYSA-ICn=AXSIbnmmX原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数原始问题和对偶问题变量、松弛变量的维数现在学习的是第23页，共36页原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系原始问题和对偶问题最优解之间的互补松弛关系maxz=CX s.t.A
20、X+XS=b X,XS0min w=bYs.t.AY-YS=C Y,YS0maxz=CXs.t.AXb X 0min w=bYs.t.AYC Y0对偶引进松弛变量引进松弛变量XYS=0 YXS=0X，XsY，Ys现在学习的是第24页，共36页y1 yi ym ym+1 ym+j yn+m x1 xj xn xn+1 xn+i xn+m 对偶问题的变量对偶问题的变量原始问题的松弛变量原始问题的松弛变量xjym+j=0yixn+i=0(i=1,2,m;j=1,2,n)在一对变量中，其中一个大于0，另一个一定等于0原始问题的变量原始问题的变量对偶问题的松弛变量对偶问题的松弛变量现在学习的是第25页，
21、共36页(6)原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系n原问题单纯形表检验数的相反数对应对偶原问题单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基解问题的一个基解.显然显然,原问题最终单纯形原问题最终单纯形表检验数的相反数对应对偶问题的一个基表检验数的相反数对应对偶问题的一个基可行解可行解BXNXSX1SYNBCCBN1 1 BCB02SY Y 现在学习的是第26页，共36页证：标准化后的原问题和对偶问题的表达式为证：标准化后的原问题和对偶问题的表达式为：0,CXmax:SSXXbXAXz原原问问题题0,min :SSYYCYYAYb对偶问题若若B B是是A
22、A中的一个基，中的一个基，A=A=（B B，N N）0,XCmax:SNBSNBNNBBXXXbXNXBXXCz原原问问题题改改写写为为),(0,Ybmin :212121SSSSSNSBSYYYYYYCYYNCYYB 对对偶偶问问题题为为现在学习的是第27页，共36页原问题解为原问题解为XB=B-1b，BSCYYB 1N=CN-CBB-1N，Z=CBB-1b对偶问题的约束条件：对偶问题的约束条件：1 BCYB令令011 BBCCYBBS01 SYNSCYYN 2NBCCYBNS12 BXNXSX1SYNBCCBN1 1 BCB02SY Y 检验数：检验数：B=CB-CBB-1B=0，N=CN
23、-CBB-1N，S=CBB-1原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系原问题单纯形表检验数行与对偶问题解的关系现在学习的是第28页，共36页结论：结论：v单纯形表中的检验数行和对偶问题的解单纯形表中的检验数行和对偶问题的解仅差一个符号vyi等于原问题的第等于原问题的第i个方程中的松弛变量所对应的检验个方程中的松弛变量所对应的检验 数的负数数的负数v单纯形法迭代时，原问题解为基可行解，相应的检验数单纯形法迭代时，原问题解为基可行解，相应的检验数对应对偶问题的一个解，在原问题没有得到最优解之前，对应对偶问题的一个解，在原问题没有得到最优解之前，对偶问题的解为非可行解对偶问题的解为非可行解基可行解基
24、可行解非可行解基可行解目标函数对偶问题原问题YbCX YbCX 无可行解无界解原问题为可行解时，对原问题为可行解时，对偶问题不一定有可行解偶问题不一定有可行解，当原问题为最优解，当原问题为最优解，对偶问题一定有最优解对偶问题一定有最优解现在学习的是第29页，共36页例例4 0,12 2.zmax32132132121xxxxxxxxxstxx试用对偶理论证明该线性试用对偶理论证明该线性规划问题无最优解。规划问题无最优解。证：证：该问题存在可行解，该问题存在可行解，X=（0，0，0）；）；对偶问题为：对偶问题为：212inyym 12.21yyst121 yy021 yy0,21 yy由第一个约
25、束条件可知对由第一个约束条件可知对偶问题无可行解，因此，偶问题无可行解，因此，原问题有可行解，无最优原问题有可行解，无最优解。解。现在学习的是第30页，共36页例例5：0,332 432.32532min54321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxstxxxxx 试用对偶理论找出原问题的最优解。试用对偶理论找出原问题的最优解。解：解：原问题的对偶问题为：原问题的对偶问题为：2134maxzyy .st221 yy321 yy0,21 yy5;53,54*21 zyy已知其对偶问题的最优解为：已知其对偶问题的最优解为：53221 yy3321 yy2221 yy现在学习
26、的是第31页，共36页代入对偶问题的约束条件，代入对偶问题的约束条件，43*51 xx*21,yy将将得得2,3,4式为严格不等式，由互补松弛性得式为严格不等式，由互补松弛性得0*4*3*2 xxx因因0,21 yy原问题的约束条件应取等式为：原问题的约束条件应取等式为：32*51 xx求解后得到求解后得到;1,1*5*1 xx原问题的最优解为原问题的最优解为:5;)1,0,0,0,1(*TX0,0,0*34*33*22 xyxyxysss0,0,0432 sssyyy0,21 ssxx现在学习的是第32页，共36页原问题的最优解为原问题的最优解为:Z Z*=C=CB BB B-1-1b=CX
27、b=CX*=Y=Y*b b对偶问题的经济解释对偶问题的经济解释-影子价格影子价格z=CX=Cz=CX=CB BB B-1-1b b+N NX XN N=C=CB BB B-1-1b bN N=C CN N-C-CB BB B-1-1N NY=CY=CB BB B-1-1为单纯形乘子为单纯形乘子当当b为变量的情况下为变量的情况下,当当bi发生变化发生变化:*1*YBCbzB yi的经济意义是：在其它条件不变的情况下，单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化.yi是bi的一种估价,估价是有条件的替代方案.现在学习的是第33页，共36页1.5.3 对偶单纯形法对偶单纯形法单纯形法单纯形法原问题基可行解，对偶问题基解（非可行解）原问题基可行解，对偶问题基可行解.原问题基可行解，对偶问题基可行解原问题基解，对偶问题基可行解.对偶单纯形法对偶单纯形法现在学习的是第34页，共36页现在学习的是第35页，共36页例例1-21 1-21 用对偶单纯形法求解下述LP问题解：引入松弛变量转换成如下的标准形式：现在学习的是第36页，共36页