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1、第二讲_光线的传播与高斯光束第1页，此课件共63页哦La aL光线通过各种光学媒质传播的问题激光在光学媒质中的传输特性第2页，此课件共63页哦2.1光线的传播光线的传播研究激光在光学媒质中的传输特性研究激光在光学媒质中的传输特性一一.光线矩阵光线矩阵讨论近轴（傍轴）光线)()(sinzrdzdrmradtg规定：规定：朝上为正、下为负朝上为正、下为负 指向上方为正、下方为负指向上方为正、下方为负r符号规则符号规则第3页，此课件共63页哦1.通过厚度为通过厚度为L的均匀介质的均匀介质101ininoutoutinoutininoutrrLrrrrLrrr第4页，此课件共63页哦2.通过不同介质的
2、介面（平面）通过不同介质的介面（平面）21212121001sinsinininoutoutinoutinoutoutinoutinrrnnrrrnnrrrrnrnrnrn第5页，此课件共63页哦3.通过焦距为通过焦距为f的薄透镜的薄透镜1101ininoutoutoutinoutinoutrrfrrfrfrrrrf0，相对于凸透镜，相对于凸透镜f0,凹面反射镜凹面反射镜（2）R0zkkrkkzkkrzr)0(sin)0()0(cos)(20220zkkrzkkrkkzr)0(cos)0(sin)0()(20202第22页，此课件共63页哦此时的光线矩阵此时的光线矩阵结论：二次变折射率介质，对
3、光线传播的作用相当于透镜一样，使光线改结论：二次变折射率介质，对光线传播的作用相当于透镜一样，使光线改变方向变方向zkkzkkkkzkkkkzkk)0(cos)0(sin)0()0(sin)0()0(cos222222在介质中传播的光线在在介质中传播的光线在 和和 之间振荡之间振荡maxrmaxrzkkrzr)0(sin)(2max第23页，此课件共63页哦a,K20时对光线起到汇聚的作用，推导聚焦点的位置；时对光线起到汇聚的作用，推导聚焦点的位置；3、比较光线在透镜波导和在二次折射率介质中，其传播问题的处理方法、比较光线在透镜波导和在二次折射率介质中，其传播问题的处理方法及结果的异同。及结果
4、的异同。第24页，此课件共63页哦2.2光束在均匀介质中的传输光束在均匀介质中的传输目的：从二次折射率介质中的波动方程出发，推导出激光的特征光目的：从二次折射率介质中的波动方程出发，推导出激光的特征光束形式束形式高斯光束，并讨论其传输特性。（包括腔内、腔外、各高斯光束，并讨论其传输特性。（包括腔内、腔外、各种光学元件）种光学元件）一、二次折射率介质中的波动方程一、二次折射率介质中的波动方程1、在各项同性、无电荷的介质中，麦克斯韦方程组如下：、在各项同性、无电荷的介质中，麦克斯韦方程组如下：0EHtEEtH0222EtE第25页，此课件共63页哦设折射率设折射率n（x，y）的空间分布之变化很小（
5、缓慢变化）的空间分布之变化很小（缓慢变化）分离变量分离变量)()(0)(220202rrkErkE关于传播常数关于传播常数K的讨论的讨论（1）在激光中，如果考虑到介质中可能存在光的增益或吸收，我们将）在激光中，如果考虑到介质中可能存在光的增益或吸收，我们将K取取做复数形式做复数形式（2）K(r)具有以下函数规律具有以下函数规律tiezyxEtzyxE),(Re),(0)(1)()(22rirrk2222)0()0()(rkkkrk第26页，此课件共63页哦设设 为为z向传播的电磁波，其横向分布仅与向传播的电磁波，其横向分布仅与r有关有关E222221zrrrikzezyxE),(020)(2)
6、(),(rzqkzpiEzr取取 具有下面的形式，并代入波动方程：具有下面的形式，并代入波动方程：2、二次折射率介质的波动方程之解、二次折射率介质的波动方程之解0)(0202ErkE近似的平面波近似的平面波是对平面波的修正函数，包括振幅修正和相位修正是对平面波的修正函数，包括振幅修正和相位修正第27页，此课件共63页哦0212222222rkkkpqrkqkirqk 如果方程对任何如果方程对任何r都成立，则系数均为都成立，则系数均为0qipkkqq22011这就是二次折射率介质中的简化形式的波动方程，亦即激光介这就是二次折射率介质中的简化形式的波动方程，亦即激光介质中的波动方程。质中的波动方程
7、。第28页，此课件共63页哦二二.均匀介质中均匀介质中的基本高斯光束的基本高斯光束 K200112qqSSq1引入中间函数引入中间函数S，令，令0 SSbazSaS,1001lnCqzipqzq第29页，此课件共63页哦当选择了当选择了 为纯虚数时，就可以导出物理上有意义的波，这种波的能量为纯虚数时，就可以导出物理上有意义的波，这种波的能量集中在集中在z轴附近。轴附近。0q设设 为纯虚数，并引入一个新的常数为纯虚数，并引入一个新的常数0q0knniq2,00200第30页，此课件共63页哦)(2)(1)(exp)()(2)(exp)()exp(),(2200200zRikzrzkzizEzqk
8、rizkzizEikzzyxE1)(1)(220220zzzznzzR)(tan)(tan)(01201zznzznz2001)(1)(20220220202zznzz02nk 基本高斯光束解基本高斯光束解只考虑了随只考虑了随r作变化的横向分布，不考虑更为复作变化的横向分布，不考虑更为复杂的与方位角有关的解杂的与方位角有关的解轴线上的波数轴线上的波数第31页，此课件共63页哦)(2)(exp)(exp)(),(22200zRkrzkzizrzEzyxE基模高斯光束特性基模高斯光束特性(1)场的振幅分布场的振幅分布在在z截面上，振幅是按照高斯函数的规律变化，在轴线上有最大值。截面上，振幅是按照高
9、斯函数的规律变化，在轴线上有最大值。)(exp)(2200zrzEE定义：在光束截面内，振幅下降到中心的定义：在光束截面内，振幅下降到中心的1/e时，离轴的距离时，离轴的距离r为该处的光斑为该处的光斑尺寸或光斑半径，尺寸或光斑半径，因此因此 即为即为z截面上的光斑半径。截面上的光斑半径。)(z第32页，此课件共63页哦1)(1)(20220220202zznzz光斑最小的位置为束腰，其尺寸为光斑最小的位置为束腰，其尺寸为0第33页，此课件共63页哦(2)场的相位分布场的相位分布基模高斯光束的等相位面的曲率半径为基模高斯光束的等相位面的曲率半径为当当 时，时，当当 时，时，有极小值，该极小值为有
10、极小值，该极小值为当当 时，高斯光束的波面才能看成是中心位于原点的球面时，高斯光束的波面才能看成是中心位于原点的球面)(zR0z0zz z)(zR02z)(zR第34页，此课件共63页哦1.远场发散角远场发散角 (全角全角)定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角022002222)(1)()(2lim2Lzzzzz2(3)(3)高斯光束的远场发散角高斯光束的远场发散角第35页，此课件共63页哦三、高斯光束的变换三、高斯光束的变换ABCDABCD法则法则1、类透镜介质中的基本高斯光束、类透镜介质中的基本高斯光束 02kzkkkkbzkkkkaSzkkbzkkaS22
11、2222sincoscossin同样引入中间函数同样引入中间函数S，代入，代入01122kkqq)(zq第36页，此课件共63页哦zkkzkkkkqzkkkkzkkqzq22202220cossinsincos)(niq200取 为纯虚数，那么 可以取下面的形式)(zqnzizRzq)()(1)(12表明了初始值与表明了初始值与z处的光束参数之间的关系处的光束参数之间的关系)(zq称为复数光束半径称为复数光束半径 20kkabq 第37页，此课件共63页哦DCqBAqzq00)(与类透镜介质的光线矩阵进行比较按照光线矩阵的规则DCqBAqq112上式就是高斯光束q参数的变换法则（ABCD法则）
12、，对于其他光学元件的光线矩阵，可以看作类透镜光线矩阵的特殊情况。1、ABCD法则不同于矩阵乘法2、高斯光束变换后仍是高斯光束3、可推广到各种光学元件2 2、ABCDABCD法则法则 由由 决定了光束的光斑尺寸决定了光束的光斑尺寸 和波前的曲率半径和波前的曲率半径 ，也就决定，也就决定了整个高斯光束的模式，所以其变换法则代表高斯光束的变换法则了整个高斯光束的模式，所以其变换法则代表高斯光束的变换法则)(zq)(z)(zR第38页，此课件共63页哦应用举例应用举例1：高斯光束通过薄透镜：高斯光束通过薄透镜fq1q211112fqqq（1）薄透镜的光线矩阵是）薄透镜的光线矩阵是1101f（2）应用）
13、应用ABCD法则法则第39页，此课件共63页哦niRq211111niRq222211由于由于fRR111122111112fqqq代入代入第40页，此课件共63页哦应用举例应用举例2：高斯光束依次通过两个光学元件：高斯光束依次通过两个光学元件1111DCBA2222DCBA1111DCBA2222DCBATTTTDCBA第41页，此课件共63页哦ABCD法则最大功效是当高斯光束通过成法则最大功效是当高斯光束通过成像系统的复杂序列后，能够很快的找出高像系统的复杂序列后，能够很快的找出高斯光束的束参数。斯光束的束参数。第42页，此课件共63页哦三、高斯光束在透镜波导中的传输三、高斯光束在透镜波导
14、中的传输1、透镜波导中的变换矩阵光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S1面和第1面的光线矩阵是STTTTDCBADCBA经过数学归纳法，可得到sin)1sin()sin(sin)sin(sin)sin(sin)1sin()sin(ssDDsCCsBBssAATTTT第43页，此课件共63页哦2、光束参数变换法则)1sin()sin()sin()sin()1sin()sin(11111ssDqsCsBqssADqCBqAqTTTTs3、高斯光束通过透镜序列的稳定性条件要得到 有有限解，必须 为实数，也就是 1sq1cos121021221ffdfdfd实际
15、意义：实际意义：ABCD法则是激光束在谐振腔两个反射镜之间往返法则是激光束在谐振腔两个反射镜之间往返S次的光次的光束参数变换法则束参数变换法则第44页，此课件共63页哦四、均匀介质中传播的高阶高斯光束四、均匀介质中传播的高阶高斯光束0如果考虑方位角的变化22222211zrrrr0)1(20)1(22222rdydyydyddxdxxdxd代入波动方程，分离变量后解得：ikzezyxyxE),(0第45页，此课件共63页哦其解为厄米多项式其解为厄米多项式yHyxHxmmrllml.2,1,012.2,1,012，所以总的解为所以总的解为)()1()(2)()(exp)(2)(2)(),(222
16、2200,zmlkzzRyxkizyxzyHzxHzEzyxEmlml),(zyx仍为基本高斯光束解仍为基本高斯光束解本征值本征值第46页，此课件共63页哦那么电场的横向变化 yYeYHxXeXHYmXl2,2,2222模式：在激光中，将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式模式：在激光中，将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式横模：光场横向的稳定分布，以横模：光场横向的稳定分布，以TEM表示表示纵模：光场纵向的稳定分布（沿着光的传播方向）纵模：光场纵向的稳定分布（沿着光的传播方向）第47页，此课件共63页哦2.3高斯光束的变换高斯光束的变换一、高斯光束的基本性质1、基模
17、高斯光束fzarctgRrzkizreezCzyx2)(00222)(),(200220)(1)(zfzfzzRfzz式中的重要参数：第48页，此课件共63页哦2、高斯光束在自由空间的传输a.基模高斯光束在横截面内的振幅分布按照高斯分布)(22zre201)(fzz由振幅降落到中心值1/e处所定义的光斑半径为光斑半径随坐标z按照双曲线规律扩展第49页，此课件共63页哦b.基模高斯光束的相移fzarctgRrzkzyx2),(2002201)(zzzR描述高斯光束在点(x,y,z)处相对于原点(0,0,0)处的相位滞后。其中，kz描述几何相移，描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附加相位
18、超前，高斯光束的等相位面是以高斯光束的等相位面是以R为半径的球面为半径的球面。fzarctg第50页，此课件共63页哦c.远场发散角高斯光束在其传输轴线附近可近似看做是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输高斯光束在其传输轴线附近可近似看做是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。面始终保持为球面。第51页，此课件共63页哦3.高斯光束的特征参数a.用参数 及束腰位置来表征)(0f第52页，此课件共63页哦c.用q 参数来表征b.用参数 来
19、表征)(),(zRz第53页，此课件共63页哦球面波通过薄透镜的变换高斯光束通过薄透镜的变换二、高斯光束通过薄透镜时的变换二、高斯光束通过薄透镜时的变换第54页，此课件共63页哦（1）写出光线矩阵（2）应用ABCD法则第55页，此课件共63页哦三、高斯光束的聚焦三、高斯光束的聚焦第56页，此课件共63页哦三、高斯光束的聚焦三、高斯光束的聚焦可见，不论可见，不论l多大，只要满足条件多大，只要满足条件 ，就能实现一定的聚焦作用。，就能实现一定的聚焦作用。第57页，此课件共63页哦三、高斯光束的聚焦三、高斯光束的聚焦第58页，此课件共63页哦四、高斯光束的准直四、高斯光束的准直1.高斯光束的准直：改
20、善光束的方向性，压缩光束的发散角。2.可以看出，增大出射光束的腰粗就可以缩小光束的发散角。02200fsssf0000122101200201022 222MffMMffffff 3.选用两个透镜，短焦距的凸透镜和焦距较长的凸透镜可以达到准直的目的。图2-9 倒装望远镜系统压缩光束发散角M是高斯光束通过透镜系统后光束发散角的压缩比。M是倒置望远镜对普通光线的倾角压缩倍数。由于f2f1，所以M1。又由于 0，因此有M M 1第59页，此课件共63页哦四、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔四、高斯光束的自再现变换与稳定球面腔第60页，此课件共63页哦第61页，此课件共63页哦第62页，此课件共63页哦第63页，此课件共63页哦