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1、概率论随机变量的分布函数现在学习的是第1页，共30页|xX x二、定义二、定义设设X 是随机变量，是随机变量，x为任意实数，称函数为任意实数，称函数)(xXPxF)(x为为X 的分布函数的分布函数(distribution function)记作记作 X F(x)或或 FX(x)如果将如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分看作数轴上随机点的坐标，那么分布函数布函数 F(x)的值就表示的值就表示 X落在区间落在区间,(x的概率的概率.现在学习的是第2页，共30页三、分布函数的性质三、分布函数的性质1 1 单调不减单调不减即即 若若 x1 1 x2 2，则则F(F(x1 1)F()F(x2 2
2、)；0()1,(),lim()()0,lim()()1xxF xxF xFF xF 且2.非负有界非负有界F(x+0)=F(x)3.右连续右连续性质性质1-3是鉴别一个函数是否是某随机变量的是鉴别一个函数是否是某随机变量的分布函数的分布函数的充分必要条件充分必要条件.现在学习的是第3页，共30页例例1 1 一袋中有一袋中有6 6个球，个球，其中其中2 2个个标号为标号为1 1，3 3个个标号为标号为2 2，1 1个个标号为标号为3,3,任取任取1 1个球，以个球，以X X表示取表示取出的出的球球的标号的标号，求，求X X的分布函数；并求的分布函数；并求 P P2 X 32 X 3解解：由已知由
3、已知X X的可能值为的可能值为1,2,31,2,3 PX=1=2/6,PX=2=3/6,PX=3=1/6.PX=1=2/6,PX=2=3/6,PX=3=1/6.所以所以X X的分布律为的分布律为 X X 1 2 3 1 2 3 p pk k2/6 3/6 1/62/6 3/6 1/6现在学习的是第4页，共30页 0 1 2 3F(x)xF(x)的图形的图形为为 3 ,132 ,6521 ,6 21 ,0 xxxxxF)(3 ,132 ,2X1X21 ,1X1 ,0 xxPPxPxxF)(1）（643232 2 XPXPXP）（现在学习的是第5页，共30页它的图形是一条右连续的阶梯型曲线它的图形
4、是一条右连续的阶梯型曲线在随机变量的每一个可能取值点在随机变量的每一个可能取值点 x=xk(k=1,2,),该图形都有一个跳跃，跳跃高度为该图形都有一个跳跃，跳跃高度为pk 一般地，对于离散型随机变量一般地，对于离散型随机变量X 来讲，如果其概率分布来讲，如果其概率分布律为律为 ,k=1,2,其中其中x1x2则则X的分布函数为的分布函数为kkpxXPxxkxxkkkpxXPxXPxF)(现在学习的是第6页，共30页例例2 2 一个靶子是半径为一个靶子是半径为2 2米米的圆盘的圆盘,设击中设击中靶上任一同心圆盘靶上任一同心圆盘上上的的点的点的概率与该圆盘的半径平方成正比概率与该圆盘的半径平方成正
5、比,并设并设射击都能中靶射击都能中靶,以以X X表示弹着点与圆心的距离表示弹着点与圆心的距离.试求试求（1 1）随机变量随机变量X X的分布函数的分布函数.1212 XP）（解解(1)(1)求随机变量求随机变量X的分布函数的分布函数F(x)当当00 x22时，时，P0X x=c cx2 2(c(c为待定常数为待定常数)又因为又因为00X2X2为必然事件为必然事件,故故 1=1=P0X2P0X2 故故 于是于是 41c400)(2xxXPXPxXPxF 当当x022时时,X X x为必然事件为必然事件,于是于是 F(F(x)=PX)=PX x=1=1现在学习的是第7页，共30页综上所述综上所述
6、,2 ,1 ,20 ,4,0 ,0)(2xxxxxFx0 1 2 3F(x)的图形的图形F(x)11/21634/1)2/1(41)21()1(12122 FFXP）（现在学习的是第8页，共30页.)()(xdttfxF可可证证 .,020 ,2)(其其它它tttf【注】【注】本例中分布函数本例中分布函数F(x)的图形是一条连续曲线，的图形是一条连续曲线，且且除除x=2=2外，外，20 ,020 ,2)(xxtttF或或补充定义补充定义x=2=2处函数值为处函数值为0 0后，后，得到得到现在学习的是第9页，共30页第四节第四节 连续型随机变量连续型随机变量及其及其 概率密度概率密度.,)(,d
7、)()(,)(,)(简简称称概概率率密密度度密密度度函函数数的的概概率率称称为为其其中中为为连连续续型型随随机机变变量量则则称称有有使使对对任任意意实实数数非非负负可可积积函函数数存存在在的的分分布布函函数数如如果果对对于于随随机机变变量量XxfXttfxFxxfxFXx一、一、定义定义probability density.注：注：(1)(1)由定义知道，改变概率密度由定义知道，改变概率密度f(x)在个别点的函数值在个别点的函数值不影响分布函数不影响分布函数F(x)的取值，因此的取值，因此概率密度不是唯一的概率密度不是唯一的.(2)(2)连续型随机变量连续型随机变量的的分布函数分布函数是连续
8、函数是连续函数.现在学习的是第10页，共30页)()()3(1221xFxFxXxP ;d)(21xxfxx 二、二、性质性质;0)()1(xf;1d)()2(xxf(1),(2)用于验证一个函数用于验证一个函数是否为概率密度是否为概率密度注注 (4)(4)式及连续性随机变量分布函数的定义式及连续性随机变量分布函数的定义表示了表示了分布函数与概率密度间的两个关系利用这些关系，可以分布函数与概率密度间的两个关系利用这些关系，可以根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个根据分布函数和概率密度中的一个推出另一个(4)(4)若若f(x)在点在点 x 处处连续，连续，则则有有)()(xfxF现在学习的是
9、第11页，共30页连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何连续型随机变量的分布函数与概率密度的几何意义意义：3.性质性质(3)表示表示Px10.1。解解:(1):(1)由于由于 dxxf)(于是于是X的概率密度为的概率密度为 0003)(3xxexfx，解得，解得k=3.dxkex0313k(2)(2)从而从而 )(xF 0001)(3xxexFx即即1.0)(dxxfdttfx)(00013303xxedtexxt1.03XP）（3.01.033edxex现在学习的是第14页，共30页的概率密度为知已X .,0,43,22,30,6)(其其他他xxxxxf练习练习.x)F)1(（的分布函数求
10、 X得得由由 xxxfxFd)()(.4,1,43,d22d6,30,d6,0,0)(3030 xxttttxttxxFxx .4,1,43,423,30,12,0,0)(22xxxxxxxxF即即解解(1)271)2(XP求271)2(XP)1()27(FF .4841 现在学习的是第15页，共30页例例2:2:连续型随机变量连续型随机变量X X的分布函数的分布函数00)(xAeBxAexFxx（1 1）求）求A A，B B（2 2）求）求X X的概率密度（的概率密度（3 3）P-1X2 P-1X0,t0有有,|tXPsXtsXP则称则称X的分布具有无记忆性的分布具有无记忆性.指数分布具有无
11、记忆性指数分布具有无记忆性 2.指数分布有着重要应用指数分布有着重要应用.如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随如动植物的寿命、无线电元件的寿命，以及随机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来机服务系统中的服务时间等都可用指数分布来描述描述.现在学习的是第24页，共30页例例4 4 设某种灯泡的使用寿命为设某种灯泡的使用寿命为X，其概率密度为，其概率密度为 求求(1)此种灯泡使用寿命超过此种灯泡使用寿命超过100小时的概率小时的概率.(2)任取任取5只产只产品品,求有求有2只寿命大于只寿命大于100小时的概率小时的概率.0 ,00 ,1001)(100 xxexfx解解:(1)1100010
12、010001001 100111001100eedxeXPXPxx现在学习的是第25页，共30页或或11001001001001001100eedxeXPxx(2)设设Y Y表示表示5 5只产品中寿命大于只产品中寿命大于100100小时的只数小时的只数,则则),5(1ebY故故312125)1()(2eeCYP现在学习的是第26页，共30页解：分析：关键：解：分析：关键：t0t0时时,Tt=N(t)=0.时间间隔大于时间间隔大于t t，在，在00，tt时间内未发生故障。时间内未发生故障。因为因为Tt=N(t)=0,Tt=N(t)=0,!0)(0)(0tettNPtTP 所所以以)(1tFetT
13、Pt 0001)(ttetFt所以服从参数为服从参数为的指数分布。的指数分布。例例4 4 设设备在任何长为设设备在任何长为t t 时间内发生故障的次数时间内发生故障的次数N(t)(t)N(t)(t)的的possionpossion分布分布,求相继两次故求相继两次故障间的时间间隔障间的时间间隔T T的分布函数。的分布函数。.现在学习的是第27页，共30页其中其中 ,(0)为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 ,的正态分布的正态分布，记为，记为 .xexfx ,21)(222)(),(2 NX显然，显然，f(x)0，且可以证明且可以证明参数参数 的意义将在后面的章节中给出的意义将在后面的章
14、节中给出1)(dxxf,若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为现在学习的是第28页，共30页u 正态分布的概率密度函数正态分布的概率密度函数f(x)的性质的性质(1)曲线关于直线曲线关于直线 x=对称对称.hXPXhP这这表表明明(2)当当 x=时，时，f(x)取得最大值取得最大值;(3)在在 x=处曲线有拐点，且以处曲线有拐点，且以x轴为渐近线轴为渐近线;Of(x)x 21(4)对固定的对固定的,改变改变 的值的值,图形沿图形沿Ox轴平移轴平移;(5)对固定的对固定的,改变改变,越小越小,图形越尖图形越尖.xtdtexF222)(21)(正态分布的分布函数为正态分布的分布函数为:现在学习的是第29页，共30页2221)(xex dtexxt 2221)(当当=0,=1时时,称称X服从服从,记作记作XN(0,1).其概率密度与分布函数分别用其概率密度与分布函数分别用 (x),(x)表示表示.即即)(xxO)(x21xO-11现在学习的是第30页，共30页