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1、关于等差数列前项和性质现在学习的是第1页，共31页等差数列通项公式等差数列通项公式an=a1+(n-1)d=am+(n-m)d.2,2,kqpnmnaaaaakqpnmNqpnma则且是等差数列，数列mnaadmn等差数列定义等差数列定义an+1-an=d(nN*)a、b、c成等差数列成等差数列 2cab 2b=a+c b为为a、c 的等差中项的等差中项复习回顾复习回顾现在学习的是第2页，共31页等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式:2)1nnaanS （dnnnaSn2)11 （形式形式1:1:形式形式2:2:复习回顾复习回顾现在学习的是第3页，共31页 1.1.将等差数列前将等差
2、数列前n n项和公式项和公式 看作是一个关于看作是一个关于n n的函数，这个函数的函数，这个函数 有什么特点？有什么特点？2)1(1dnnnaSn当当d00时时,S,Sn n是常数项为零的二次函数是常数项为零的二次函数21()22nddSnan 则则 Sn=An2+Bn令令1,22ddABa现在学习的是第4页，共31页例例1、若等差数列、若等差数列an前前4项和是项和是2，前，前9项项和是和是6，求其前，求其前n 项和的公式。项和的公式。，dada89219634214211解得：解得：15715181da解：设首项为解：设首项为a1，公差为，公差为d，则有：，则有：。n3043n307)15
3、7(1)n(n21n1518S2n 现在学习的是第5页，共31页 设设 Sn=an2+bn，依题意得：，依题意得：S4=2,S9=6,99644222baba即即解得：解得：,3043307 ban。nSn30433072 另解：另解：现在学习的是第6页，共31页)2()1(11nSSnSaaSnnnnn的关系与例例1 已知数列已知数列an中中Sn=n2+3n，求，求an例例2 已知数列已知数列an中中Sn=n2+3n+1，求，求an现在学习的是第7页，共31页 若数列若数列 是等差数列，则是等差数列，则 也是等差数列，公差为也是等差数列，公差为k2d nakkkkkSSSSS232,为也等差
4、数列为也等差数列.nSn现在学习的是第8页，共31页1na102030例：在等差数列中，S=10,S=40,求S4024090 1020103020303030解：由等差数列前n项和性质知S,S-S,S-S也成等差数列，即10，30，S-成等差数列，30 10（S-）解得S现在学习的是第9页，共31页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法1由由S3=S11得得113 133211 1311 1022dd d=2113(1)(2)2nSnn n 214nn 2(
5、7)49n 当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.现在学习的是第10页，共31页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法2由由S3=S11得得d=20当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.则则Sn的图象如图所示的图象如图所示又又S3=S11所以图象的对称轴为所以图象的对称轴为31172n 7n113Sn现在学习的是第11页，共31页等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求
6、n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法3由由S3=S11得得d=2当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.an=13+(n-1)(-2)=2n+15由由100nnaa 得得152132nn 现在学习的是第12页，共31页a7+a8=0等差数列的前等差数列的前n项的最值问题项的最值问题例例1.已知等差数列已知等差数列an中中,a1=13且且S3=S11,求求n取何值时取何值时,Sn取最大值取最大值.解法解法4由由S3=S11得得当当n=7时时,Sn取最大值取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又又d=20a70,a80,d
7、0时时,数列前面数列前面有若干项为正有若干项为正,此时所有正项的和为此时所有正项的和为Sn的最大的最大值值,其其n的值由的值由an0且且an+10求得求得.当当a10时时,数列前面有若干项为负数列前面有若干项为负,此时所有负项的此时所有负项的和为和为Sn的最小值的最小值,其其n的值由的值由an 0且且an+1 0求求得得.现在学习的是第15页，共31页练习练习:已知数列已知数列an的通项为的通项为an=26-2n,要使此数列的前要使此数列的前n项和最大项和最大,则则n的值为的值为()A.12 B.13 C.12或或13 D.14C现在学习的是第16页，共31页3 3.已知数列已知数列aan n
8、 是正数数列，且是正数数列，且(1)求证求证an是等差数列是等差数列；21(2)()8nnSanN1(2)2nnbbnnn若 b=a-30，则数列的前n项和有最什么值，并求该最值；（3）求数列的前n项和T现在学习的是第17页，共31页22112211222211112211111111(1):2,(2)(2)881(4444)8844440()4()0()(4)0 040nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaSSaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa 证明 当即是正数数列,即14,nnnaa由等差数列的定义是等差数列现在学习的是第18页，共31页
9、21122min1(2)(1)(2)28(1)2(1)4421302312(1)29230(15)225215,()225nnnnaaandnnbanbn nnnnnn 111121nn由 知d=4,a=S=解得a易知数列 是以为b=-29首项,以b-b=2为公差的等差数列,其前n项和S由二次函数的性质可知当时 S现在学习的是第19页，共31页11212212151612151617121512(3)231,29,2,150;160,.(.)30,.(.).2(.)(.1516nnnnnnnnbnbdbbbbbbbbSnnbbbbbbbbbbbbbbbb nn当n时当由(2)首项公差当n时,当
10、n时,T=Tn时151617222521.)22(225,1530450,1)3030236500nnbbbbSSnnnnnnnn nnTn现在学习的是第20页，共31页等差数列前项和的最值问题：等差数列前项和的最值问题：现在学习的是第21页，共31页若数列若数列an与与bn都是等差数列都是等差数列,且前且前n项的和项的和分别为分别为Sn和和Tn,则则nnab 2121nnST 1212121121121121)(2)(222nnnnnnnnnnTSbbnaanbbaababa现在学习的是第22页，共31页两等差数列两等差数列an、bn的前的前n项和分别是项和分别是Sn和和Tn,且且71427
11、nnSnTn 求求 55ab556463ab 现在学习的是第23页，共31页5.等差数列前等差数列前n项和的性质（项和的性质（4）1(2)2.()(2)1nnnnSSSSaSSdSaSnSSanaSn奇偶所有偶偶奇奇奇奇偶偶关于奇数项与偶数项和的关系的几个：1.当项数为（偶数）时：（1）当项数为2n-1（奇数）时：（1）是中间项结论2n现在学习的是第24页，共31页1(2)nnSaSSdnSa偶偶奇奇1.当项数为（偶数2n）时：（1）221242121132111111()(2).22()(2).22(1)()(2)nnnnnnnnnnnnnnnnSn aSn an aanaaaan aana
12、aaan an anSSn dSaSaaan an a偶奇偶奇偶奇证明：现在学习的是第25页，共31页2.(,)(2)1nSnSSaaSn奇奇偶中偶当 项 数 为 2n-1（奇 数）时：（1）中 间 项 即22224221211321(1)(1)1(1)():.2(1)(2)2()(2).22(1)(1)(2)(1)nnnnnnnnnnnnnnaaaaananaanaaaananananSnanaSnanaSSaaSnSna偶中奇中奇偶中奇偶证明现在学习的是第26页，共31页210na偶奇1例：已知等差数列中，共有项,S=15,S=12.5,求a 与d。10111:10,12110921512
13、.51021211,22SSSSSaaa偶奇偶奇解该等差数列的项数为项=nd即15-12.5=5d,解得d又即解得d现在学习的是第27页，共31页3290,261.na奇偶例：已知等差数列中，共有2n-1项,S=S=求项数与中间项。:21,290261,29290,10126112 10 119nSSaaaSnnnSnn 奇偶中中中奇偶解该等差数列的项数为项即又即解得项数为现在学习的是第28页，共31页,1,na奇偶1课堂练习：已知等差数列中，共有2n+1项,S=51S=42.5，a求项数及通项公式。现在学习的是第29页，共31页3 3.已知数列已知数列aan n 是正数数列，且是正数数列，且求证求证an是等差数列是等差数列；21(2)()8nnSanN现在学习的是第30页，共31页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第31页，共31页