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1、关于导数公式大全最具说服力第一页，讲稿共二十九页哦,11)(arcsin2xx 另外还有反三角函数的导数公式：,11)(arccos2xx ,11)(arctan2xx .11)cotarc(2xx 第二页，讲稿共二十九页哦定理2.1设函数 u(x)、v(x)在 x 处可导，)0)()()(xuxuxv在 x 处也可导，(u(x)v(x)=u(x)v(x);(u(x)v(x)=u(x)v(x)+u(x)v(x);.)()()()()()()(2xuxvxuxvxuxuxv 导数的四则运算且则它们的和、差、积与商第三页，讲稿共二十九页哦推论 1(cu(x)=cu(x)(c 为常数).推论 2.)
2、()()(12xuxuxu ()uvwu vwuv wuvw乘法法则的推广：第四页，讲稿共二十九页哦补充例题：求下列函数的导数：解根据推论 1 可得(3x4)=3(x4)，(5cos x)=5(cos x)，(cos x)=-sin x，(ex)=ex，(1)=0，故f(x)=(3x4 ex+5cos x 1)=(3x4)(ex)+(5cos x)(1)=12x3 ex 5sin x.f(0)=(12x3 ex 5sin x)|x=0=1又(x4)=4x3，例 1设 f(x)=3x4 ex +5cos x-1，求 f(x)及 f(0).第五页，讲稿共二十九页哦例 2设 y=xlnx，求 y.解
3、根据乘法公式，有y=(xlnx)=x(lnx)(x)lnxxxxln11 .ln1x 第六页，讲稿共二十九页哦解根据除法公式，有22222)1()1()1()1)(1(11 xxxxxxxy例 3设,112 xxy求 y.2222)1()1()1()()1()(1(xxxxx.)1(12)1()1(2)1(222222 xxxxxxx第七页，讲稿共二十九页哦教材P32 例2 求下列函数的导数：3(1)cosyxx2(2)xyx e2(3)1xyx32(4)23 sinyxxxe解：332(1)(cos)()(cos)3sinyxxxxxx2222(2)()()()2(2)xxxxxxyx ex
4、ex exex exxe22222(1)(1)(3)()1(1)xxxxxyxx2221(2)(1)xxxx222)1(1xx 32(4)(2)(3 sin)()yxxxe0)sin(3)(23xxx)cos(sin362xxxx第八页，讲稿共二十九页哦 高阶导数如果可以对函数 f(x)的导函数 f(x)再求导，所得到的一个新函数，称为函数 y=f(x)的二阶导数，.dd22xy记作 f(x)或 y 或如对二阶导数再求导，则称三阶导数，.dd33xy记作 f(x)或 四阶或四阶以上导数记为 y(4)，y(5)，y(n),dd44xy,ddnnxy或 ，而把 f(x)称为 f(x)的一阶导数.第
5、九页，讲稿共二十九页哦例3 求下列函数的二阶导数(1)cosyxx(2)arctanyx(1)cos(sin)cossinyxxxxxxxxxxxxxycossin2)cos(sinsin21(2)1yx222)1()1(xxy22)1(2xx解：二阶以上的导数可利用后面的数学软件来计算 第十页，讲稿共二十九页哦2.2.4 复合函数的求导法则2.2 ()()()()()dydy dudxdu dxdyfuu xduu xxyf uuyf u xxx定理若函数在点 可导，函数 在点 处可导，则复合函数在点 可导，且或记作：推论设 y=f(u)，u=(v)，v=(x)均可导，则复合函数 y=f (
6、x)也可导，.xvuxvuyy 第十一页，讲稿共二十九页哦以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.23tan4.1(31);2)sin(2);3)lncos;4);5)2xxyxyxyxyey例 求下列函数的导数：）32322222222(1)(),()31,()3()()3(31)(31)3(31)618(31)yux u xxyuxuxu xxxxxxx解：函数可以分解为第十二页，讲稿共二十九页哦(2)2 cos(2)(2)1cos(2)2cos(2)2xyxxxxxx把当作中间变量，(3)cos1sin(cos)tancoscosxxy
7、xxxx 把当作中间变量，第十三页，讲稿共二十九页哦tantan2tan(4)tan()(tan)secxxxxyeexxe把当作中间变量，(5)(2)2 ln2()2 ln2xxxxyx 把当作中间变量，第十四页，讲稿共二十九页哦 先将要求导的函数分解成基本初等函数,或常数与基本初等函数的和、差、积、商.任何初等函数的导数都可以按常数和基本初等函数的求导公式和上述复合函数的求导法则求出.复合函数求导的关键:正确分解初等函数的复合结构.求导方法小结：第十五页，讲稿共二十九页哦2 3221(1);(2)cos3 (3)32 4 lgcos(32)xyxyyxxx 练习：求下列函数的导数(课堂练习
8、)（）；（）222222222(1)6(1)(2)3 ln3 sin323(3)232cos(32)sin(32)(4)(32)4 tan(32)cos(32)cos(32)xxyxxyxyxxxxyxxxxx 解:第十六页，讲稿共二十九页哦例5：求下列函数的导数（1）（2）（3）（4）2cos xy 232xxeyxylnlnln)1ln(2xxy第十七页，讲稿共二十九页哦2.2.5 隐函数的导数00()yxF xyF xyyy x与 的关系由方程（，）确定，未解出因变量的方程（，）=所确定的函数称为隐函数6()1.ydyyy xyxedx 例 设函数由方程所确定，求(1)(),()(1)1
9、yyyyyyyyyxyxeyexeex eyxeyeeyxe 解：上式两边对 求导，则有 即第十八页，讲稿共二十九页哦1;2.xyyy隐函数的求导步骤：（）方程两边对 求导，求导过程中把 视为中间变量，得到一个含有 的等式（）从所得等式中解出第十九页，讲稿共二十九页哦227()cos().dyyy xyxyxdx例 设函数由方程所确定，求222222222222222222 sin()()1 sin()(22)1 2 sin()2 sin()12 sin()1 2 sin()1 2 sin()12 sin()xxyxyxyyxyxyyyxxyyxyyyxyyxxyxxyyyxy 解：方程两边分
10、别对 求导，得第二十页，讲稿共二十九页哦2()2.dyyy xxyyxdx练习：设函数由方程所确定，求2 ()()2 22(2)222xxyyyx yy yxyyyyyxy解：两边分别对 求导，得第二十一页，讲稿共二十九页哦 二元函数的偏导数的求法求 对自变量 (或 )的偏导数时,只须将另一自变量 (或 )看作常数,直接利用一元函数求导公式和四则运算法则进行计算.),(yxfz xyyx例1 设函数324(,)23,f x yxx yy求(,),xfx y(,),yfx y(1,1),xf(1,1),yf解：xyxyyxxyxfxx43)32(),(242332423122)32(),(yxy
11、yxxyxfyy111413)1,1(2xf14)1(1212)1,1(32yf第二十二页，讲稿共二十九页哦例2 设函数 求),ln()(2222yxyxzxzyz解：xxyxyxyxyxxz)ln()ln()(222222222222222212 ln()()()xxxyxyxyxy222 ln()2xxyx222 ln()1xxy类似可得2222222)()ln(2yxyyxyxyyz222 ln()1yxy第二十三页，讲稿共二十九页哦 二元函数的二阶偏导数函数 z=f(x,y)的两个偏导数),(yxfxzx ),(yxfyzy 一般说来仍然是 x,y 的函数，如果这两个函数关于 x,y
12、的偏导数也存在，则称它们的偏导数是 f(x,y)的二阶偏导数.依照对变量的不同求导次序，二阶偏导数有四个：（用符号表示如下）第二十四页，讲稿共二十九页哦 xzxxzx22xz ),(yxfxx ;xxz xzyxzyyxz 2),(yxfxy ;xyz yzxyzxxyz 2),(yxfyx ;yxz yzyyzy22yz ),(yxfyy .yyz 第二十五页，讲稿共二十九页哦其中 及 称为二阶混合偏导数.),(yxfxy ),(yxfyx 类似的，可以定义三阶、四阶、n 阶偏导数，二阶及二阶以上的偏导数称为高阶偏导数，),(,),(yxfyyxfx而称为函数 f(x,y)的一阶偏导数.注：当两个二阶导数连续时，它们是相等的 即 ),(yxfxy (,)yxfx y第二十六页，讲稿共二十九页哦例 3arctan,xy设 z试求函数的四个二阶偏导函数yxz 2xyz 222zy22zx第二十七页，讲稿共二十九页哦思考题一 求曲线 上与 轴平行的切线方程.32xxy x第二十八页，讲稿共二十九页哦感谢大家观看第二十九页，讲稿共二十九页哦