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1、-机械优化设计三个案例.-第 14 页机械优化设计案例11. 题目对一对单级圆柱齿轮减速器，以体积最小为目标进行优化设计。2.已知条件已知数输入功p=58kw，输入转速n1=1000r/min，齿数比u=5，齿轮的许用应力H=550Mpa，许用弯曲应力F=400Mpa。3. 建立优化模型3.1问题分析及设计变量的确定由已知条件得求在满足零件刚度和强度条件下，使减速器体积最小的各项设计参数。由于齿轮和轴的尺寸（即壳体内的零件）是决定减速器体积的依据，故可按它们的体积之和最小的原则建立目标函数。单机圆柱齿轮减速器的齿轮和轴的体积可近似的表示为：式中符号意义由结构图给出，其计算公式为由上式知，齿数比
2、给定之后，体积取决于b、z1 、m、l、dz1 和dz2 六个参数，则设计变量可取为3.2目标函数为3.3约束条件的建立1） 为避免发生根切，应有，得2 )齿宽应满足，和为齿宽系数的最大值和最小值，一般取=0.9，=1.4，得3） 动力传递的齿轮模数应大于2mm，得4） 为了限制大齿轮的直径不至过大，小齿轮的直径不能大于，得5） 齿轮轴直径的范围：得6） 轴的支撑距离按结构关系，应满足条件：（可取=20），得7） 齿轮的接触应力和弯曲应力应不大于许用值，得8） 齿轮轴的最大挠度不大于许用值，得9） 齿轮轴的弯曲应力不大于许用值，得4.优化方法的选择 由于该问题有6个设计变量，16个约束条件的优
3、化设计问题，采用传统的优化设计方法比较繁琐，比较复杂，所以选用Matlab优化工具箱中的fmincon函数来求解此非线性优化问题，避免了较为繁重的计算过程。5.数学模型的求解5.1.1将已知及数据代入上式，该优化设计的数学优化模型表示为：Subject to:5.1.2运用Matlab优化工具箱对数学模型进行程序求解首先在Matlab优化工具箱中编写目标函数的M文件 myfun.m,返回x处的函数值f：function f = myfun(x)f=0.785398*(4.75*x(1)*x(2)2*x(3)2+85*x(1)*x(2)*x(3)2-85*x(1)*x(3)2+0.92*x(1)
4、*x(6)2-x(1)*x(5)2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)2+x(4)*x(6)2+28*x(5)2+32*x(6)2)由于约束条件中有非线性约束，故需要编写一个描述非线性约束条件的M文件mycon.m：functionc,ceq=myobj(x)c=17-x(2);0.9-x(1)/(x(2)*x(3);x(1)/(x(2)*x(3)-1.4;2-x(3);x(2)*x(3)-300;100-x(5);x(5)-150;130-x(6);x(6)-200;x(1)+0.5*x(6)-x(4)-40;148625
5、0/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-550; 7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.169+0.006666*x(2)-0.0000854*x(2)2)-400;7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.2824+0.00177*x(2)-0.0000394*x(2)2)-400;117.04*x(4)4/(x(2)*x(3)*x(5)4)-0.003*x(4);(1/(x(5)3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+2.4*1012)-5.5;(1/(x(6)3)*sqrt(2850000*x(4)/(x(2)*x(3)2+6*1013
6、)-5.5;ceq=;最后在command window里输入：x0=230;21;8;420;120;160;%给定初始值x,fval,exitflag,output=fmincon(myfun,x0,myobj,output) %调用优化过程5.1.3最优解以及结果分析运行结果如下图所示： 由图可知，优化后的最终结果为 x=123.3565 99.8517 1.7561 147.3157 150.4904 129.5096f(x)=2.36e*107由于齿轮模数应为标准值，齿数必须为整数，其它参数也要进行圆整,所以最优解不能直接采用，按设计规范，经标准化和圆整后：x=124 100 2 1
7、48 150 130 f(x)=6.16 *1076. 结果对比分析若按初始值减速器的体积V大约为6.32107mm3，而优化后的体积V则为6.16107mm3,优化结果比初始值体积减少为：1(6.16107/6.32107)100%2.5%所以优化后的体积比未优化前减少了2.5%，说明优化结果相对比较成功。7.学习心得体会学习机械优化设计课程的心得体会通过将近一学期的学习，对这门课有了初步的了解和认识，学期伊始，浏览全书，发现全是纯理论知识，觉得这门课会很枯燥，但是又回过头来想想，作为21世纪的大学生，要使自己适应社会需求，首先在做任何事之前都应该有正确的态度看待问题，把这些想法作为促使自己
8、进步的动力，再去学习课本知识，效果应该很不一样，有了想法就付诸行动，随着对课本内容的学习跟老师的讲解，发现并不是像自己在学期初想的那样困难，特别是在老师介绍了一些与机械优化设计相关的计算机语言和计算机软件后，真正体会到科学优化设计的强大跟简洁明了，与传统优化设计方法相比较，大大提高了设计效率和质量。传统设计方法常在调查分析的基础上，参照同类产品通过估算，经验类比或试验来确定初始设计方案，如不能满足指标要求，则进行反复分析计算性能检验参数修改，到满足设计指标要求为止。整个传统设计过程就是人工凑试和定性分析比较的过程，是被动地重复分析产品性能，不是主动设计产品参数。按照传统设计方法做出的设计方案，
9、有改进余地，但不是最佳设计方案。而现代化设计工作是借助电子计算机，应用一些精确度较高的力学数值分析方法，优化软件进行分析计算，找最优设计方案，实现理论设计代替经验设计，用精确计算代替近似计算，用优化设计代替一般的安全寿命可行性设计。在进行程序求解的过程中，因为是初学Matlab软件，对很多问题的关键点不能够掌握，非线性约束如何书写，上、下限如何选择，函数格式如何书写，变量未定义等等或大或小的问题，但是在一步步排除错误、重新编写程序的过程中，渐渐的对Mtalab熟悉起来，懂得了一些优化方法的简单计算过程和原理，省去了繁琐复杂的优化计算过程在学完课程之后，反思自己在学习过程中的得失，深深体会到，不
10、论在人生的哪个阶段，都要对自己负责，做任何事都要耐心，细致，“千里之行，始于足下”，学会在物欲横流的社会大潮中，坚持踏踏实实走好人生的每一步。8. 参考文献1 孙靖民,梁迎春. 机械优化设计. 北京:机械工业出版社,2006.2 濮良贵,纪名刚. 机械设计. 8版. 北京:高等教育出版社,2006.3 孙桓,陈作模,葛文杰. 机械原理. 7版. 北京:高等教育出版社,2006.4 李涛,贺勇军,刘志俭. MATLAB工具箱应用指南应用数学篇M.北京:电子工业出版社,2000.机械优化设计案例2复杂刀具优化设计数学模型的建立及算法改进摘 要: 目的 建立复杂刀具优化的数学模型,提高优化算法速度.
11、 方法 采用优化设计与CAD相结合的方法. 结果与结论 解决了传统刀具设计的缺点,改进后的算法速度大幅度提高.关键词: 数学模型；优化；算法在传统的刀具设计中,通过查表和经验公式来确定各种结构参数和几何参数,然后,反复计算来得到相对较优的刀具参数.这种方法使设计过程复杂费时,且得不到最优化的参数,设计出的刀具成本高,加工效率低.因而刀具的计算机辅助设计应采用优化设计与CAD相结合的方法,欲进行优化设计,必需首先建立刀具优化设计的数学模型,由于复杂刀具的种类繁多,结构变化多样,优化目标不同,因而需分门别类地建立模型，此篇仅以轮切式拉刀为例.1 拉刀优化设计的数学模型在拉刀参数设计过程中需要选择的
12、主要参数有拉削余量A,齿升量a,齿距t,容屑槽形状和深度h,容屑系数k,同时工作齿数等,这些参数可分为两类,一类是独立参数,如拉削余量和容屑槽形状等,这些参数基本不受其他参数的影响.另一类参数是非独立参数,如齿升量、齿距、容屑槽深度、容屑系数等,这些参数既相互限制又相互依赖,第一类参数的选择比较容易.可以用经验公式和数据库来解决.第二类参数比较复杂,只有通过优化的方法才能得到较好的结果.粗切齿升量的选择是一个比较复杂的问题.增大a可使齿数减少,拉刀长度变短,但同时又要求容屑槽深度增加.另外齿升量的增加又会引起拉削力的增大,受到拉床和拉刀拉应力的限制.齿距是决定拉刀长度的一个重要因素,t越大,拉
13、刀越长,同时工作齿数越少.这样会在拉削过程中引起振动,生产效率低,降低刀具的使用寿命;t过小,又会使容屑空间变小,从而限制了齿升量的增大.其他参数如同时工作齿数z,容屑槽深度h,容屑系数k都是a和t的函数,只有当a和t选择后才能确定.从上述参数分析可知,a和t是拉刀设计的关键,在a和t之间应有一最佳组合值,使得a在拉床的额定应力和拉刀的许用应力范围内达到最高,即使拉刀的长度最小.1.1 目标函数的建立确定以af和t为优化的自变量,A为切削余量.拉刀长度是与拉削生产率、成本及其工艺性能有关的参数,拉刀越短对使用和制造越有利,因而取粗切齿部分长度L作为优化目标F= minL(a,t) =tA/(2
14、a). (1) 1.2 约束条件的建立1)容屑槽空间的限制 h- 1.13(kaL)0. (2)式中 h是与t有关的参数;k为容屑系数,是与t和af有关的参数;Lw为拉削长度.2)拉床额定拉力的限制 F-pD0. (3)式中 Fe为拉床额定拉力;Dw为拉削后孔直径;p为单位切削力;zi为同时工作齿数,zi=INT(Lw/t)+1;zc为组齿数.3)拉刀许用拉应力的限制 2pD0. (4)式中 为拉刀许用拉应力;dmin为拉刀最小直径.4)最大同时工作齿数的限制 11 -z0. (5)5)最小同时工作齿数的限制 z - 30. (6)6)最大齿距的限制 25 -t0. (7)7)最小齿距的限制
15、t- 40. (8)8)弧形槽能保证稳定的分屑要求的最大齿升量h-a0;f(D,n,z) -a0. (9)9)齿距应为0.5的整数倍 t- Int(2t)/2 = 0. (10)1.3 优化模型自变量:a,t;目标函数:F=minL(a,t)=tA/2a;约束方程:g(1)=h-1.13(kafLw)0;g(2)=F-pD0;g(3)=-2pD0;g(4)=11-z0;g(5)=z-30;g(6)=25-t0;g(7)=t-40;g(8)=h-a0;g(9)=f(D,n,z)-a0;g(10)=t-Int(2t)/2=0.2 优化算法2.1 标准算法复合形法是一种采用直接搜索方式求解非线性规划
16、问题的数值计算方法,这个方法可以在N维非线性约束的空间中自动选择并改进设计点,该方法的一般步骤为:1)在可行域内生成mn+1个点x(i=1, 2,n,n+1,m)构成初始复合形,这里需要注意两个问题:初始顶点的形成,可以人工选定,也可随机产生;需要检验初始顶点是否满足约束条件,即检验其可行性;2)计算各顶点的目标函数值,将其由小到大的顺序重新编号,f(x)f(x)f(x);3)确定除去最坏点x后复合形中其余m-1个点的中心点,即xc=;4)确定最坏点x对中心点x的映射点x=x+(x-x),为映射系数,一般取0.91.3;5)检验映射点x的可行性:如果违背了某个约束条件,则按(x+x)/2 x,
17、把映射点xa向中心移动一半距离,反复直至映射点x是可行点;6)计算新的可行点的函数值f(x),用它代替最坏点x,完成一次迭代,回到第二步;7)重复以上过程,直到满足f(x)-f(x),则终止.以上称为复合形法的“标准算法”,由于该算法的概念简单、容易实现,且能有效灵活地处理不等式约束问题,所以在结构化设计中得到广泛的应用.2.2 存在的问题把上述标准算法应用于工程实际时,就会发现它还存在以下几个问题:1) 过多的可行性检验限制了其在优化设计中的有效应用.初始顶点生成和映射点的确定,都要进行可行性检验,在结构优化设计中,可行性检验其实质上就是结构分析过程,其计算量通常要占总工作量的80%以上,因
18、此结构分析次数过多,必然会导致因计算时间过长而降低算法的效率.2)迭代过程中向极值点逼近的速度问题.开始若干次迭代(一次迭代是对于选取一个既满足约束条件又使目标函数值有所改善的新点所需的计算),目标函数值下降得很快,各顶点迅速接近极值点,一般来说,最初的(510)次迭代函数值下降得最快.随着迭代次数的增加,函数值的变化却越来越缓慢,也就是说,这时要使目标函数值有微小的改善,都要付出宝贵的计算时间.3)局部最优点问题.用上述算法得到的最优点有可能是局部最优点,虽然可通过多取几个初始点,经计算后得到几个最优点,然后比较得到全局最优点,但这样必然会导致计算工作量的成倍增加.2.3 分层复合形法针对标
19、准算法中存在的问题,采用“分层复合形法”,它是对标准复合形法的改进,其基本思想是:充分利用复合形法开始时目标函数值急剧下降的特点,以迭代次数为控制参数,进行两层优化计算,为避免产生局部最优点,在第一层迭代中,选取多组复合形分别地进行计算,经过若干次有效地迭代,各顶点迅速地逼近最优点,分布在最优点附近.分层复合形法的基本步骤如下:1)选择n组初始顶点x, , x, (i=1,m)构成n个初始复合形,n=Intn/2+1,n为设计变量数.这里只要设计变量所取的值不太小且相互间离得远些,就可不对初始顶点作可行性检验.2)对各初始复合形标准算法第2) 6)步的计算是第一层迭代,取映射率为,迭代次数为n
20、;3)当各复合形都迭代n次以后,第一层迭代结束,取两个最好设计点组成新的复合形进入第二层迭代,取映射率为 (),迭代次数为n;第二层迭代得到的最优点可被认为全局最优点.分层复合形法有以下几个优点:迭代次数大大减少;以迭代次数为停止准则,可根据需要人工控制计算工作量;第二层迭代能有效地产生全局最优点.3 结 论依据本文所述方法,已开发出具有高效率优化CAD系统,证明对传统算法的改进是有效的.参考文献:1 唐锡荣. CAD/CAM技术M.北京:北京航空航天大学出版社, 1994. 18-36.2 蔡锁章.计算方法M.北京:中国科学技术出版社, 1993. 54-60.3 徐灏.机械设计手册.第二卷
21、M.北京:机械工业出版社, 1991. 40-41.4 吴伏家,刘兆华.圆孔拉刀CAD系统研制J.华北工学院院报, 1996, (增刊): 74-78.机械优化设计案例3直齿圆柱齿轮传动的优化设计摘要：一、问题描述：现有一单级渐开线直齿圆柱齿轮减速器，其输入功率N=280kW，输入转速n1=980r/min，传动比i=5。小齿轮为实体结构，大齿轮为腹板式结构（带有四个减轻孔），两齿轮各部分尺寸的符号如图一所示：原用常规设计方法的设计结果为：齿宽B=B2=13cm，小齿轮齿数z1=21，模数m=0.8cm，l1=42cm，ds1=12cm，ds2=16cm。现要求在保证承载能力的条件下，通过优选
22、上述有关参数，使减速器的体积达到最小。二、建立优化设计目标函数：齿轮传动优化设计中，设计变量一般选为齿轮传动的基本几何参数或性能参数，例如齿数、模数、齿宽系数、传动比、螺旋角、变位系数和中心距分离系数等。齿轮传动的优化目标，较常见的是体积或质量最小，传动功率最大，工作寿命最长，振动最小，启动功率最小等。现在选体积最小为优化目标，而减速器的体积主要是取决于内部零件（齿轮和轴）的尺寸大小，在齿轮和轴的结构尺寸确定之后，箱体的尺寸将随之确定，因此将齿轮和轴的总体积达到最小作为优化目标。减速器内部有两个齿轮和两根轴，为了简化计算，将轴视为光轴，则有式中：，两轴体积，cm3； ，两齿轮体积，cm3，两轴
23、的直径，cm； ，轴的长度，cm； ，两齿轮的分度圆直径，cm， ，； 两齿轮的模数，cm； ,两齿轮的宽度，近似取,cm。根据结构设计经验公式，齿轮各部分尺寸关系为：并取： 优化设计中的设计变量取为：将目标函数整理后得到：三、确定约束条件 （1）为了避免发生根切，不小于最小齿数，即，于是得约束条件（2）为了保证齿轮的承载能力，同时避免载荷沿齿宽分布严重不均，要求，由此得：（3）传递动力的齿轮，模数一般应该大于2mm，并且去标准系列值，所以得：（4）根据工艺装备条件，要求大齿轮直径不得超过1500cm，于是小齿轮直径相应的不能超过330cm，即，故得：（5）主、从动轴直径范围按照经验取为，所以
24、有（6）轴的支撑跨距按照结构关系，其中为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取，则有：（7）按齿轮的接触疲劳强度条件，有：式中：载荷系数，取； 小齿轮传递的扭矩，由功率和转速计算可得 齿轮许用永接触应力，现按原材料及原设计数据，取； 齿轮传动的中心距，；将以上个参数分别代入前面的不等式，整理后得：（8）按齿轮的弯曲疲劳强度条件，有式中：小齿轮分度圆直径，； 齿轮的许用弯曲应力，现安原材料及原设计数据取小齿轮的许用弯曲应力，大齿轮的许用弯曲应力； 齿形系数，对于标准齿轮，通过曲线拟合得小齿轮 ；大齿轮 所以有：（9）主动轴刚度条件式中：作用在小齿轮上的法向压力，其中为齿轮压力角，取； 轴的惯性矩，对圆
25、形剖面，； 轴材料的弹性模量，； 轴的许用挠度，取。所以可以得到：（10）主动轴的弯曲强度条件：式中：轴上的扭矩，; 轴上的弯矩，； 考虑扭矩和弯矩的作用性质差异的系数，取； 轴的许用弯曲应力，； 轴的抗弯剖面系数，对实心轴。 带入各参数，并整理得：（11）仿照前面的处理方法可得从动轴弯曲强度条件：总结上述各式，可得到优化设计的数学模型为：即一个具有十六个不等式约束的六维优化问题。四、优化方法选择及优化结果：1、采用MATLAB工具箱进行优化首先在当前MATLAB的工作目录下建立目标函数文件myfun.m文件：function f =myfun(x)f=0.78539815*(4.75*x(1
26、)*x(2)2*x(3)2+85*x(1)*x(2)*x(3)2-85*x(1)*x(3)2+0.92*x(1)*x(6)2-x(1)*x(5)2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)2+x(4)*x(6)2+28*x(5)2+32*x(6)2)然后建立约束条件程序confun1.mfunctionc,ceq=constraint(x)c(1)=x(2)*x(3)-33c(2)=16-x(1)/x(3)c(3)=x(1)/x(3)-35c(4)=44163/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-855c(5)=-261+7
27、098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.169+0.6666/100*x(2)-0.854/10000*x(2)2)c(6)=-213+7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.2824+0.177/100*x(2)-0.314/10000*x(2)2)c(7)=-0.03*x(4)+0.01233*x(4)3/x(2)/x(3)/(x(5)4)c(8)=-55+1/(x(5)3)*sqrt(29050*x(4)/x(3)/x(2)2+(0.58*27300)2)c(9)=-55+1/(x(6)3)*sqrt(29050*x(4)/x(3)/x(2)2+(0.58*5*2730
28、0)2)ceq=;在命令窗口键入：x(0)=13,21,0.8,42,12,16;A=;b=;LBnd=;x,f=fmincon(myfun,x(0),A,b,LBnd,constraint)优化结果为：2、使用复合型法进行优化：在命令窗口键入：f=0.78539815*(4.75*x(1)*x(2)2*x(3)2+85*x(1)*x(2)*x(3)2-85*x(1)*x(3)2+0.92*x(1)*x(6)2-x(1)*x(5)2+0.8*x(1)*x(2)*x(3)*x(6)-1.6*x(1)*x(3)*x(6)+x(4)*x(5)2+x(4)*x(6)2+28*x(5)2+32*x(6)
29、2);g=x(2)*x(3)-33,16-x(1)/x(3),x(1)/x(3)-35,44163/(x(2)*x(3)*sqrt(x(1)-855,-261+7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.169+0.6666/100*x(2)-0.854/10000*x(2)2),-213+7098/(x(1)*x(2)*x(3)2*(0.2824+0.177/100*x(2)-0.314/10000*x(2)2),-0.03*x(4)+0.01233*x(4)3/x(2)/x(3)/(x(5)4),-55+1/(x(5)3)*sqrt(29050*x(4)/x(3)/x(2)2+(0.58*27300)2),-55+1/(x(6)3)*sqrt(29050*x(4)/x(3)/x(2)2+(0.58*5*27300)2),0.2-x(3),10-x(5),13-x(6),x(5)-15,x(6)-20,4-x(4)+x(1)+0.5*x(6);X=;x,minf = minconSimpSearch(f,g,x,1.2,0.5,8,0.3);所得结果为：3、使用内点罚函数法进行优化：