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1、-江苏省南京市四校2012届高三12月月考 数学试题-第 12 页江苏省南京市四校2012届高三12月月考试题数 学 试 题注意事项：1本试卷共4页，包括填空题（第1题第14题）、解答题（第15题第20题）两部分本试卷满分为160分，考试时间为120分钟2答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，交回答题纸参考公式：1样本数据x1，x2，xn的方差s2(xi)2，其中xi2球的表面积S4R2，其中R为球的半径一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1已知命题p：xR，x2x10，则命题p是 2设集合Ax|1
2、x2，Bx|0x4，则AB 3设复数z112i，z2xi(xR)，若z1z2为实数，则x 4一个正四面体的四个面分别涂有红、黄、蓝、白四种颜色，若随机投掷该四面体两次，则两次底面颜色相同的概率是 a5，s1ssaaa1结束a4否是开始输出s（第6题图）5有一组样本数据8，x，10，11，9，已知它们的平均数为10，则这组数据的方差s2 6在如图所示的流程图中，输出的结果是 7已知数列an的前n项和Sn2nn1，则a1a3 8已知圆(x2)2y21经过椭圆1(ab0)的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率为 9将函数ysin(x)的图象上所有的点向左平移个单位，再将图象上的所有点的横坐标变为原来
3、的2倍（纵坐标不变），则所得图象的函数解析式为y 10已知正四棱柱的底面边长为2，高为3，则该正四棱柱的外接球的表面积为 ABCD（第11题图）11如图，平面四边形ABCD中，若AC，BD2，则()() 12若不等式4x2x1a0在x1，1上恒成立，则实数a的取值范围为 13若f(n)为n21(nN*)的各位数字之和，如1421197，19717，则f(14)17记f1(n)f(n)，f2(n)f(f1(n)，fk1(n)f(fk(n)，kN*，则f2011(8) 14已知f(x)x3，g(x)x2xa，若存在x01，(a0)，使得f(x0)g(x0)，则实数a的取值范围是 二、解答题：本大题
4、共6小题，共计90分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分14分）已知ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量m(sinA，1)，n(1，cosA)，且mn（1）求角A；（2）若bca，求sin(B)的值16（本小题满分14分）如图，在四棱锥OABCD中，AD/BC，ABAD2BC，OBOD，M是OD的中点（第16题图）（1）求证：MC/平面OAB；（2）求证：BDOA17（本小题满分14分）某工厂去年新开发的某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元今年，工厂第一次投入100万元的科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元，预
5、计产量每年递增10万只，投入n次后，每只产品的固定成本为g(n)（k为常数，nZ且n0）若产品销售价保持不变，第n次投入后的年纯利润为f(n)万元（年纯利润年收入年固定成本年科技成本）（1）求k的值，并求出f(n)的表达式；（2）问从今年起，第几年纯利润最高？最高纯利润为多少万元？18（本小题满分16分）如图，椭圆的中心为原点O，已知右准线l的方程为x4，右焦点F到它的距离为2（1）求椭圆的标准方程；（2）设圆C经过点F，且被直线l截得的弦长为4，求使OC长最小时圆C的方程xyOlFC（第18题图）19（本小题满分16分）记公差d0的等差数列an的前n项和为Sn，已知a12，S312（1）求数
6、列an的通项公式an及前n项和Sn；（2）记bnan，若自然数n1，n2，nk，满足1n1n2nk，并且，成等比数列，其中n11，n23，求nk（用k表示）；（3）试问：在数列an中是否存在三项ar，as，at(rst，r，s，tN*)恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由20（本小题满分16分）已知函数f(x)axx2xlna(a0，a1)（1）当a1时，求证：函数f(x)在(0，)上单调递增；（2）若函数y|f(x)t|1有三个零点，求t的值；（3）若存在x1，x21，1，使得|f(x1)f(x2)|e1，试求a的取值范围附 加 题注意事项：1附加题供选修物理的考生使用2
7、本试卷共40分，考试时间30分钟3答题前，考生务必将学校、姓名、准考证号写在答题纸的对应位置答案写在答题纸上对应题目的答案空格内考试结束后，请交回答题纸21【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分请在答题纸指定的区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修41：几何证明选讲如图，PA切O于点，D为的中点，过点D引割线交O于、两点求证：B选修42：矩阵与变换设M，N，试求曲线ysinx在矩阵MN变换下的曲线方程C选修44：坐标系与参数方程在极坐标系中，圆C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数），
8、求直线l被圆C所截得的弦长D选修45：不等式选讲解不等式：|2x1|x4|2【必做题】第22、23题，每小题10分，计20分请把答案写在答题纸的指定区域内22如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ABBC=，BB13，D为A1C1的中点，F在线段AA1上（1）AF为何值时，CF平面B1DF？（2）设AF1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值ABCC1B1A1FD23一个袋中装有黑球，白球和红球共n(nN*)个，这些球除颜色外完全相同已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是现从袋中任意摸出2个球（1）若n15，且摸出的2个球中至少有1个白球的概率是，设表示摸出
9、的2个球中红球的个数，求随机变量的概率分布及数学期望；（2）当n取何值时，摸出的2个球中至少有1个黑球的概率最大，最大概率为多少？参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分1$xR，x2x10 21，43 452 62077 89sin(x) 1017111 12(，11311 14(0，)二、解答题：本大题共6小题，共计90分15解：（1）因为mn，所以mn0，即sinAcosA02分所以sinAcosA，得tanA4分又因为0A，所以A6分（2）（解法1）因为bca，由正弦定理得sinBsinCsinA8分因为BC，所以sinBsin(B)10分化简得sinBcosB，1
10、2分从而sinBcosB，即sin(B)14分（解法2）由余弦定理可得b2c2a22bccosA，即b2c2a2bc 8分又因为bca ，联立，消去a得2b25bc2c20，即b2c或c2b10分若b2c，则ac，可得B；若c2b，则ab，可得B12分所以sin(B)14分16证明：（1）设N是OA的中点，连结MN，NB因为M是OD的中点，所以MN/AD，且2MNAD2分又AD/BC，AD2BC，所以四边形BCMN是平行四边形，从而MC/NB4分又MC平面OAB，NB平面OAB，所以MC/平面OAB；7分（2）设H是BD的中点，连结AH，OH因为ABAD，所以AHBD又因为OBOD，所以OHB
11、D9分因为AH平面OAH，OH平面OAH，AHOHH，所以BD平面OAH12分因为OA平面OAH，所以BDOA14分17解：（1）由题意当n0时，g(0)8，可得k82分所以，即，nZ且n07分（2）（解法1）由，11分当且仅当，即n8时取等号，13分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元14分（解法2）令，x0，则，令，解得x89分当x(0，8)，y递增；当x(8，)，y递减11分所以当x8时，y有最大值，即当n8时，f(n)有最大值f(8)52013分所以第8年工厂的纯利润最高，最高为520万元14分18解：（1）设椭圆的标准方程为1(ab0)由题意可得，2分解得a2，c24分从而b
12、2a2c24所以椭圆的标准方程为16分（2）设圆C的方程为(xm)2(yn)2r2，r0由圆C经过点F(2，0)，得(2m)2n2r2， 7分由圆C被l截得的弦长为4，得|4m|2()2r2， 8分联立，消去r得：n2164m10分所以OC12分因为由n20可得m4，所以当m2时，OC长有最小值214分此时n2，r2，故所求圆C的方程为(x2)2(y2)2816分19解：（1）因为a12，S33a13d12，所以d22分所以ana1(n1)d2n，3分Snn2(1)n5分（2）因为bnan2n，所以2nk7分又因为数列的首项，公比，所以9分所以2nk，即nk10分（3）假设存在三项ar，as，
13、at成等比数列，则，即有，整理得12分若，则，因为r，s，tN*，所以是有理数，这与为无理数矛盾；14分若，则，从而可得rst，这与rst矛盾综上可知，不存在满足题意的三项ar，as，at16分20解：（1）3分由于，故当时，所以，故函数在上单调递增5分（2）当时，因为，且在R上单调递增，故有唯一解7分所以的变化情况如下表所示：x00递减极小值递增又函数有三个零点，所以方程有三个根，而，所以，解得10分（3）因为存在，使得，所以当时，11分由（2）知，在上递减，在上递增，所以当时，12分而，记，因为（当时取等号），所以在上单调递增而，故当时，；当时，即当时，；当时，14分当时，由；当时，由综上
14、可知，所求的取值范围为16分附加题参考答案21【选做题】A证明：因为与圆相切于，所以， 2分因为D为PA中点，所以DP=DA，所以DP2=DBDC，即 5分因为， 所以， 8分所以 10分BMN=, 4分设是曲线上的任意一点，在矩阵MN变换下对应的点为则，所以即 8分代入得：，即即曲线在矩阵MN变换下的曲线方程为 10分C曲线C的极坐标方程，化为直角坐标方程为即 3分直线为参数）可化为，6分圆心到直线的距离，8分弦长10分D当x4时，2x1x42，解得x3（舍去）；3分当x4时，2x1x42，解得x，x；6分当x时，2x1x42，解得x7，7x9分综上，不等式的解集为（7，）10分22解：（1
15、）因为直三棱柱ABCA1B1C1中，以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.因为AC2，ABC90，所以ABBC，从而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E所以，设AFx，则F(，0，x)，所以要使CF平面B1DF，只需CFB1F.由2x（x3）0，得x1或x2，故当AF1或2时，CF平面B1DF 5分（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）设平面B1CF的法向量为，则由得令z=1得，所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值10分23解：（1）设袋中黑球的个数为x(个)，记“从袋中任意摸出一个球，得到黑球”为事件A，则，x6设袋中白球的个数为y(个)，记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件B，则，y229y1200， y5或y24（舍）红球的个数为4(个) 3分012随机变量的取值为0，1，2，的分布列是数学期望6分（2）设袋中有黑球z个，则）设“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个黑球”为事件C，则，当n5时，最大，最大值为10分