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1、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算特殊乘法:222()ABAABBAB222()()()A BA BA BA B（二）关于逆矩阵的运算规律111111111(1)()(2)()/(3)()()(4)()()TTnnA BBAk AAkAAAA（三）关于矩阵转置的运算规律(1)()(2)()TTTTTTA BBAABBA（四）关于伴随矩阵的运算规律*1*2*1*1*11*1(1)(2)(2)(3)()(4)(),()(5)()1,()10,()2(6)()()()nnnAAA AA EAAnAAAkAkAnr Anr Ar Anr AnAAAAAAA AA若若若若 可逆，则，（五）关于分块矩阵的运算
2、法则111110000(2)0000TTTTTABACCDBDBBBCCCCB(1)；，（六）求变换矩阵1211211121311111121222321121121313233313131100(a)(2)inniiiijiiiiATTATTPPPAPPAaaapppaaappPpaaapppAPPPi已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1TT由求（七）特征值与矩阵名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 3 页 -（1）212122aA=aaA=aa,=nAAA若可以化成对角型，则存在矩阵使得所以特征值；对于 A 仍然适用。（2）1-11111A=(a
3、a)aa1/AA因此麦克劳林展开式23521242231(1)e12!(2)sin(1)3!5!21!(3)cos1(1)2!4!2!(1)(1)(1)(2)(4)(1)12!3!nxnnnnnnkxxxnxxxxxnxxxxnkxxxxxn第一章1.1 线性空间：定义 1：设 V 是一个非空集合，P 是数域，在V 中定义如下两种计算：1.加法：对于任意两个元素,V，按照某一法则，总有唯一元素V与之对应，则=称 为，之和，记为。2.数 乘：对 于 任 意 一 个 kP 及 任 意 元 素V 按 照 某 一 法 则，总 有 唯 一 的 元 素=Vkk与之对应，称为 与的数乘，记为满足以下八种运算
4、规律，该空间为线性空间：1)=2)()()3)在 V 中存在一个元素0，使它对任意V，都有 0=。拥有这一性质的元素称为零元素4)对任意V，在 V 中存在相应元素，使得=0，称 为的负元素，记为-5)()kkk6)()kllk7)()()k lkl8)1*=名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 3 页 -1.2 线性子空间：定义：V 是线性空间，W 是 V 的一个非空子集，如果 W 中定义的加法与数乘对应于W封闭构成线性空间，则W 是 V 的子空间。记为WV。充要条件：W 对应于 V 中两种运算都必须封闭、1.3 内积空间定义：设 V 是数域 P 上的线性空间，对于V
5、上的两个向量和按照某一法则都有唯一的复数与他们相对应，且具有以下性质（,VkP，）(1)(,)(,);(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)(4)(,)0,=0(,)=0kk当且仅当时，称(,),为向量的内积1.4 线性变换定义 1：对于线性空间V 中任意一个向量，按照一定规律总存在 与之对应，则成这一规律为V 上的一个变换（映射）。记为：(),称为 的象，为的原象。线性变换定义：数域 P 上的线性空间V 的一个变换对于任意,VV kP，满足(1)()()();(2)(k)k()1.5 正交变换与酉变换：定 义1：若 数 域P 上 的 欧 式 空 间（酉 空 间）V上 的 线 性 变 换，对 任 意=V，都有（）则称V为上的正交变换。（酉变换）酉空间定义：设V 是复数域C 上的线性空间，对于V 上的 2 个向量 x，y 如果能给定某种规则，使得x,y 对应一个复数（x,y），它能满足以下条件：,;,z,z,0,0,0.x yy xxy zxykx yk x yx xxx x（1）=（2）=（3）（4）当且仅当时，则称该复数,x y是向量 x 与 y 的内积。如此定义了那内积的复数域C 上的线性空间叫做酉空间（U 空间）。HA表示转置共轭向量，即H-TA=AHHAA=A A=E 则，A 为酉矩阵。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 3 页 -