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1、-一、二、三、 固体物理练习(2011)附答案-第 8 页四、 简要回答以下问题：(每小题6分，共30分)1.试述晶态、非晶态、准晶、多晶和单晶的特征性质。 解：晶态固体材料中的原子有规律的周期性排列，或称为长程有序。非晶态固体材料中的原子不是长程有序地排列，但在几个原子的范围内保持着有序性，或称为短程有序。准晶态是介于晶态和非晶态之间的固体材料，其特点是原子有序排列，但不具有平移周期性。另外，晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。2.试述离子键、共价键、金属键、范德瓦尔斯和氢键的基本特征。解：（1）
2、离子键：无方向性，键能相当强；（2）共价键：饱和性和方向性，其键能也非常强；（3）金属键：有一定的方向性和饱和性，其价电子不定域于2个原子实之间，而是在整个晶体中巡游，处于非定域状态，为所有原子所“共有”；（4）范德瓦尔斯键：依靠瞬时偶极距或固有偶极距而形成，其结合力一般与成反比函数关系，该键结合能较弱；（5）氢键：依靠氢原子与2个电负性较大而原子半径较小的原子（如O，F，N等）相结合形成的。该键也既有方向性，也有饱和性，并且是一种较弱的键，其结合能约为50kJ/mol。3. 什么叫声子？对于一给定的晶体，它是否拥有一定种类和一定数目的声子？解：声子就是晶格振动中的简谐振子的能量量子，它是一种
3、玻色子，服从玻色爱因斯坦统计，即具有能量为的声子平均数为对于一给定的晶体，它所对应的声子种类和数目不是固定不变的，而是在一定的条件下发生变化。4. 周期性边界条件的物理含义是什么？引入这个条件后导致什么结果？如果晶体是无限大，的取值将会怎样？解：由于实际晶体的大小总是有限的，总存在边界，而显然边界上原子所处的环境与体内原子的不同，从而造成边界处原子的振动状态应该和内部原子有所差别。考虑到边界对内部原子振动状态的影响，波恩和卡门引入了周期性边界条件。其具体含义是设想在一长为的有限晶体边界之外，仍然有无穷多个相同的晶体，并且各块晶体内相对应的原子的运动情况一样，即第个原子和第个原子的运动情况一样，
4、其中1，2，3。引入这个条件后，导致描写晶格振动状态的波矢只能取一些分立的不同值。如果晶体是无限大，波矢的取值将趋于连续。5. 金属自由电子论作了哪些假设？得到了哪些结果？解：金属自由论假设金属中的价电子在一个平均势场中彼此独立，如同理想气体中的粒子一样是“自由”的，每个电子的运动由薛定谔方程来描述；电子满足泡利不相容原理，因此，电子不服从经典统计而服从量子的费米狄拉克统计。根据这个理论，不仅导出了魏德曼佛兰兹定律，而且而得出电子气对晶体比热容的贡献是很小的。6、简立方基本特征：晶胞常数为a，包括一个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a，配位数为6。故，则致密度为：7、面心立方基本特征：晶胞
5、常数为a，包括四个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为，配位数为12。故，则致密度为：8、体心立方基本特征：晶胞常数为a，包括两个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为，配位数为8。故，则致密度为：密排六方基本特征：晶胞常数为a，包括六个原子，半径为r，点阵内最近原子距离为a=2r，配位数为12。，则，c/2a2r则致密度为：9、米勒指数）六角晶系中见P343，晶面常用四个指数(h, k, l, m)表示，它们代表一个晶面在六角形半面基矢轴上的截距为；在六度轴上的截距为，试写出的面指数。 10、倒格子的实际意义是什么？一种晶体的正格矢和相应的倒格矢是否有一一对应的关系？解：倒格子的实际意义是由倒
6、格子组成的空间实际上是状态空间（波矢K空间），在晶体的X射线衍射照片上的斑点实际上就是倒格子所对应的点子。设一种晶体的正格基矢为、，根据倒格子基矢的定义：式中是晶格原胞的体积，即，由此可以唯一地确定相应的倒格子空间。同样，反过来由倒格矢也可唯一地确定正格矢。所以一种晶体的正格矢和相应的倒格矢有一一对应的关系。9、二、试证明体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。(20分)解：我们知体心立方格子的基矢为： （3分）根据倒格子基矢的定义，我们很容易可求出体心立方格子的倒格子基矢为： (5分)由此可知，体心立方格子的倒格子为一面心立方格子。同理可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子，所以体心立方
7、格子和面心立方格子互为正倒格子。（2分）三、已知由个相同原子组成的一维单原子晶格格波的态密度可表示为（10）式中是格波的最高频率。求证它的振动模总数恰好等于。解：由题意可知该晶格的振动模总数为 (3分)（2分） （5分）四、利用刚球密堆模型，求证球可能占据的最大体积与总体积之比为（20分）（1）简单立方；（2）体心立方；（3）面心立方（4）六角密积；（5）金刚石。解：（1）在简立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则简立方的致密度（即球可能占据的最大体积与总体积之比）为： （4分）（2）在体心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则体心立方的致密度为： （4分）
8、（3）在面心立方的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则面心立方的致密度为： （4分）（4）在六角密积的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则六角密积的致密度为： （4分）（5）在金刚石的结晶学原胞中，设原子半径为，则原胞的晶体学常数，则金刚石的致密度为： （4分）五、计算题1、用钯靶X射线投射到NaCl晶体上，测得其一级反射的掠射角为5.9，已知NaCl晶胞中Na与Cl的距离为2.8210-10m，晶体密度为2.16g/cm3。求：（1） X射线的波长；阿伏加德罗常数。（20分）解：（1）由题意可知NaCl晶胞的晶胞参数m，又应为NaCl晶胞为面心立方结构，根据面心立
9、方结构的消光规律可知，其一级反射所对应的晶面族的面指数为（111），而又易求得此晶面族的面间距为m （5分）又根据布拉格定律可知：m （5分）（2）由题意有以下式子成立 （5分） （5分）2、一维晶格，晶格由两种离子组成，间距为R0，计算晶格的Madelung常数。解：任取某一离子为原点，根据（+代表与参考离子异号，-代表与参考离子同号）则：当x=1时，故3、写出量子谐振子系统自由能，证明在经典极限，自由能为：证：经典极限 由教本P1434、一晶体原胞基矢大小，基矢间夹角，。试求：（1） 倒格子基矢的大小；（2） 正、倒格子原胞的体积；（3） 正格子(210)晶面族的面间距。 解：(1) 由题
10、意可知，该晶体的原胞基矢为：由此可知： 所以 (2) 正格子原胞的体积为：倒格子原胞的体积为：(3)根据倒格子矢量与正格子晶面族的关系可知，正格子(210)晶面族的面间距为：5、矢量，构成简单正交系。证明晶面族的面间距为解：由题意可知该简单正交系的物理学原胞的基矢为：由此可求得其倒格子基矢为：根据倒格子矢量的性质有：5、由个原子（离子）所组成的晶体的体积可写成。式中为每个原子（离子）平均所占据的体积；为粒子间的最短距离；为与结构有关的常数。试求下列各种结构的值：求：简单立方点阵；面心立方点阵；体心立方点阵；金刚石点阵； NaCl点阵；解：（1）在简单立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；（
11、2）在面心立方点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；（3）在体心立方点阵，每个原子平均所占据的体积，故；（4）在金刚石点阵中，每个原子平均所占据的体积，故；（5）在NaCl点阵中，每个原子平均所占据的体积；故。6、试求质量为，原子间距为，力常数交错为，的一维原子链振动的色散关系。当时，求在和处的，并粗略画出色散关系。解：下图3.3给出了该一维原子链的示意图a2m 22112x2n-2 x2n+1 x2n x2n+1 x2n+2 x2n+3 图3.3在最近邻近似和简谐近似下，第2n和第（2n+1）个原子的运动方程为 （1）当时，上述方程组（1）可变为 （2）为求格波解，令 （3）将（3）式代入（2）式，可导出线性方程组为 （4）令，从，有非零解的系数行列式等于零的条件可得 （5）由（5）式可解出当时，当时，其色散关系曲线如下图3.4所示：