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1、弹力空间问题的基本理论第一页，讲稿共三十页哦8 81 1 平衡微分方程平衡微分方程一点的应力状态弹性力学分析：弹性力学分析：静力学方面、几何方面、物理方面静力学方面、几何方面、物理方面AxyzBCyyxyzdyyyydyyyxyxdyyyzyzdxxxxdxxxyxydxxxzxzzzxzyzzdzzzxzxdzzzyzydzzxxyxz第二页，讲稿共三十页哦力互等：由单元体平衡导出剪应yxxyzyyzxzzx ,平衡方程：000zxzyzxzzyxyzyyxyxxfyxzfxzyfzyxdyyyydxzzzzdxxxxxydyyyxyxdyyyzyzyxyzdxxxyxydxxxzxzxyx
2、zxyAzBCba第三页，讲稿共三十页哦8 82 2 物体内任一点的应力状态物体内任一点的应力状态一点的应力状态受力构件内一点处不同方位截面应力的集合受力构件内一点处不同方位截面应力的集合,xyzzxxzyzzyxyyx应 ，已已知知力力分分量量求斜面上的应力第四页，讲稿共三十页哦yyxyzzpxpypxxyxzAxyzBCN求斜面上的应力zzxzy面上的应力面上的应力由微元体平衡，求出斜由微元体平衡，求出斜第五页，讲稿共三十页哦应斜面上的力斜面上的力yzxzyxzyzxyxmlnplnmpnmlpzzyyxx222yzzxxy22222 222NxyzxyzNxyzNlpmpnplmnmnn
3、llmppp第六页，讲稿共三十页哦边界条件：zssszysssyxsssxpmlnplnmpnml)()()()()()()()()(yzxzxyzyzxyx第七页，讲稿共三十页哦8 83 3 主应力与主应力与应力应力主向主向)(nmlN，：，方向设主应力npmplpzyx，0)(1l 0)(0)(222zyzxzzyyxyzxyxxnmlnmnmlnml0zyzxzzyyxyzxyxx 特征方程：第八页，讲稿共三十页哦03223 xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyx222232222为该点的三个主应力，三个实根321比较不变量证明：与方程0)()(3213213
4、2113322321第九页，讲稿共三十页哦1111nml、相应的方向余弦求主方向：与主应力0)(0)(0)(1zyzxzzyyxyzxyxxnmll nmlnml得：中前两式除以0)(0)(11111111xyzyyxzxyxlnlmlnlm得：再考虑、由此可求出1,221111nmlln lm22112111)()(11lnlml）三个主方向相互垂直（321第十页，讲稿共三十页哦8 84 4 最大与最小的应力最大与最小的应力面上正应力：取主轴坐标系，任意斜3222122322212)1(nmnmnmlN321、的三个极值为求得N正应力剪应力321npmplpzyx，2322212232222
5、2122)(nmlnmlN求极值：)0,21,21()21,0,21()21,21,0()(21)(21)(21211332 第十一页，讲稿共三十页哦8 85 5 几何方程。刚体位移。体积应变几何方程。刚体位移。体积应变几何方程：yuxv xwzu zvywzw yv xuxyzxyzzyx,(0)xyzxyyzzx刚体位移，由零应变状态导出：xyw wzxv vyzuuyxxzzy000第十二页，讲稿共三十页哦体积应变：zyxV变形前：)()(zzyyxxV zyx变形后：e xyzVVV体积应变：（小变形）第十三页，讲稿共三十页哦8 86 6 物体内任一点的形变状态物体内任一点的形变状态n
6、mldrPN,方向余弦ndrdz mdrdy ldrdx,点位移：，点位移N wv uP,dzzwdyywdxxwwwdzzvdyyvdxxvvvdzzudyyudxxuuuNNNxyzPNNdrO),(zyxdxdydz第十四页，讲稿共三十页哦在坐标轴上的投影为：变形后PNdzzwdyywdxxwdzwwdzdzzvdyyvdxxvdyvvdydzzudyyudxxudxuudxNNN：的正应变 PNN2222)()()()(wwdzvvdyuudxdrdrNNNNxyzPNNdrO),(zyxdxdy第十五页，讲稿共三十页哦：的正应变 PNN2222)()()()(wwdzvvdyuudx
7、drdrNNNNxyzxyzzyxNlmnlmnnml xvyulmxwzunl zvywmnzwnyvmxul222222)()()(PNPN任意线段和夹角的改变第十六页，讲稿共三十页哦变。主向的正应变称为主应形变保持为直角，沿这三个三个直角，在变形之后所构成的个相互垂直的形变主向主应变、形变主向：三 xyzxyzzyxNxyzxyzzyxNlmnlmnnmllmnlmnnml222222222444222322221xyzxyzxyzzxyyzxzyxxyzxyzyxxzzyzyx形变状态的不变量第十七页，讲稿共三十页哦8 87 7 物理方程、方程总结物理方程、方程总结各向同性体：xyxy
8、yxzzzxzxzxyyyzyzzyxxE EE EE E)1(2)(1)1(2)(1)1(2)(1力与主应变方向一致在各向同性体中，主应和的关系：正应力之和与正应变之)(21zyxzyxEE21即即：第十八页，讲稿共三十页哦示应力）：另一种形式（用应变表xyxyzxzxyzyz)1(2)1(2)1(22)21(12)21(12)21(1GEGEGEGEGEGExyzxyzzzzyyyxxx)1(1 )(1xzyxxEE)(11xxE第十九页，讲稿共三十页哦方程总结：个未知量：15wvuzxyzxyzyxzxyzxyzyx，个位移分量：，个形变分量：，个应力分量：366个基本方程：15个物理方
9、程个几何方程个平衡微分方程663边界条件：应力边界条件位移边界条件第二十页，讲稿共三十页哦8 88 8 轴对称问题的基本方程轴对称问题的基本方程)(都是对称面通过这个轴的任意平面某一轴、荷载、约束都对称于轴对称问题：几何形状 z，用柱坐标：用柱坐标：平衡微分方程：zOdzddxy第二十一页，讲稿共三十页哦平衡微分方程：ddzzzdzzzzdzzzzzzdzzdzOdzddxyfzfdxydddd)1(第二十二页，讲稿共三十页哦平衡微分方程：ddzzzdzzzzdzzzzzzdzzdfzfdxydddd)1()2sin20zzzdddd dzd dzd dzdzd dd dfd d dzz 第二
10、十三页，讲稿共三十页哦00zzzzzfzfz),(0),(zwuzu，移移：位位zwwzuuuzz，几几何何方方程程：本构关系：)(1)1(21 )(1)(1zzzzzzzEEGEE第二十四页，讲稿共三十页哦z)1(2)21(1)21(1)21(1EEEEzzzz：用应变表示应力本构关系)(第二十五页，讲稿共三十页哦8 89 9 球对称问题的基本方程球对称问题的基本方程球对称问题球对称问题弹性体的几何形状、约束及外载都对称弹性体的几何形状、约束及外载都对称 于某一点（通过这一点的任意面都是对称面），则于某一点（通过这一点的任意面都是对称面），则 弹性体的所有应力、形变和位移也对称于这一点，弹性
11、体的所有应力、形变和位移也对称于这一点，这种问题成为点对称问题，又称球对称问题。这种问题成为点对称问题，又称球对称问题。rrdrTTrrdOrfdrT,r坐标：第二十六页，讲稿共三十页哦rrdrTTrrdOrfdr平衡微分方程：222()()()4()sin()02rrrTrdrdr drdddr rdfrddr0)(2rTrrfrdrd第二十七页，讲稿共三十页哦rudrdurTrr，几几何何方方程程：本构关系：)1(1)2(1rTTTrrEE第二十八页，讲稿共三十页哦一、空间问题的基本方程与基本概念一、空间问题的基本方程与基本概念本章小结本章小结a)基本概念基本概念一点的应力状态一点的应力状态斜面上的应力公式斜面上的应力公式主应力主应力b)基本方程基本方程平衡方程平衡方程几何方程、几何方程、本构方程本构方程c)边界条件边界条件第二十九页，讲稿共三十页哦二、空间轴对称、球对称问题二、空间轴对称、球对称问题1、空间轴对称问题、空间轴对称问题2、球对称问题、球对称问题第三十页，讲稿共三十页哦