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1、传感器静态特性的一般知识传感器作为感受被测量信息的器件，总是希望它能按照一定的规律输出有用信号，因此需要研究其输出输入的关系及特性，以便用理论指导其设计、制造、校准与使用。理论和技术上表征输出输入之间的关系通常是以建立数学模型来体现，这也是研究科学问题的基本出发点。由于传感器可能用来检测静态量(即输入量是不随时间变化的常量)、准静态量或动态量(即输入量是随时间而变化的量)，理论上应该用带随机变量的非线性微分方程作为数学模型，但这将在数学上造成困难。由于输入信号的状态不同，传感器所表现出来的输出特性也不同，所以实际上，传感器的静、动态特性可以分开来研究。因此，对应于不同性质的输入信号，传感器的数
2、学模型常有动态与静态之分。由于不同性质的传感器有不同的内在参数关系(即有不同的数学模型)，它们的静、动态特性也表现出不同的特点。在理论上，为了研究各种传感器的共性，本节根据数学理论提出传感器的静、动态两个数学模型的一般式，然后，根据各种传感器的不同特性再作以具体条件的简化后给予分别讨论。应该指出的是，一个高性能的传感器必须具备有良好的静态和动态特性，这样才能完成无失真的转换。1.传感器静态特性的方程表示方法静态数学模型是指在静态信号作用下(即输入量对时间t的各阶导数等于零)得到的数学模型。传感器的静态特性是指传感器在静态工作条件下的输入输出特性。所谓静态工作条件是指传感器的输入量恒定或缓慢变化
3、而输出量也达到相应的稳定值的工作状态，这时，输出量为输入量的确定函数。若在不考虑滞后、蠕变的条件下，或者传感器虽然有迟滞及蠕变等但仅考虑其理想的平均特性时，传感器的静态模型的一般式在数学理论上可用n 次方代数方程式来表示，即2n012nyaa xa xa x（1-2）式中x为传感器的输入量，即被测量；y为传感器的输出量，即测量值；0a为零位输出；1a为传感器线性灵敏度；2a，3a，,，na为非线性项的待定常数。0a，1a，2a，3a，,，na决定了特性曲线的形状和位置，一般通过传感器的校准试验数据经曲线拟合求出，它们可正可负。在研究其特性时，可先不考虑零位输出，根据传感器的内在结构参数不同，它
4、们各自可名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -能含有不同项数形式的数学模型，理论上为了研究方便，式(1-2)可能有以下四种情况，如图 1-7 所示，这种表示输出量与输入量之间的关系曲线称为特性曲线。(1)理想的线性特性通常是所希望的传感器应具有的特性，只有具备这样特性才能正确无误地反映被测的真值，这时，传感器的数学模型如图1-7（a）所示。由图1-7(a)有0230naaaa因此得到1ya x因为直线上任何点的斜率均相等，所以传感器的灵敏度为1ySax常数(2)仅有偶次非线性项，如图1-7(c)所示。其数学模型为24124ya xa xa x方程仅包含一次方项
5、和偶次方项，因为它没有对称性，所以线性范围较窄。一般传感器设计很少采用这种特性。通常，实际特性可能不过零点。(3)仅有奇次非线性，如图1-7(b)所示。其数学模型为35135ya xa xa x具有这种特性的传感器，一般在输入量x 相当大的范围内具有较宽的准线性，这是较接近理想线性的非线性特性，它相对坐标原点是对称的，即()()yxy x，所队它具有相当宽的近似线性范围。通常，实际特性也可能不过零点。图 1-7 传感器的静态特性351135ay=a xby=a x+a x+a x+（）；（）；2423124123cy=a x+a x+a x+dy=a x+a x+a x+（）；（）名师资料总结
6、-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -(4)一般情况下传感器的数学模型应包括多项式的所有项数，即23123ya xa xa x如图 1-7(d)所示。这是考虑了非线性和随机等因素的一种传感器特性。当传感器的特性出现了图1-7（b）、(c)、(d)所示的非线性的情况时，就必须采用线性补偿措施。传感器及其元部件的静态特性方程除在多数情况下可用代数多项式表示以外，在一些情况下则以非多项式的函数形式来表示更为合适，如双曲线函数、指数函数、对数函数等。2.静态特性的曲线表示法要使传感器和计算机联机使用，传感器的静态特性用数学方程表示是必不可少的，但是，为了直观地、一目了然地看出传感
7、器的静态特性，使用图线（静态特性曲线）来表示静态特性显然是较优越的方式。图线能表示出传感器特性的变化趋势以及何处有最大或最小的输出，何处传感器灵敏度高，何处低。当然，也能通过其特性曲线，粗略地判别出是线性或非线性传感器。作曲线的步骤大体是：图纸选择、坐标分度、描数据点、描曲线、加注解说明。通常，传感器的静态特性曲线可绘在直角坐标中，根据需要，也可以采用对数或半对数坐标。x轴永远表示被测量，y轴则永远代表输出量。坐标的最小分格应与传感器的精度级别相应。分度过细，超出传感器的实际精度需要，将会造成曲线的人为起伏，表现出虚假精度和读出无效数字；分度过粗将降低曲线的读数精度，曲线表现得过于平直，可读性
8、大为削弱。图1-8 所示为同一特性的三种不同曲线表示。可以看出图1-8(a)分度比较合理，图1-8(b)纵轴分度过细，而图1-8(c)纵轴分度过粗。图 1-8 同一特性不同分度所绘曲线比较3.静态特性数据的列表表示法列表法就是把传感器的输入输出数据按一定的方式顺序排列在一个表格之中。列表的优名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页 -点是：简单易行；形式紧凑；各数据易于进行数量上的比较；便于进行其他处理，如绘制曲线、进行曲线拟合、进行插值计算，或求一组数据的差分或差商等。4.静态特性的求法传感器的静态特性主要是通过校准试验来获取的。所谓校准试验，就是在规定的试验条件
9、下，给传感器加上标准的输入量而测出其相应的输出量。在传感器的研制过程中，也可以通过其已知的元部件的静态特性，采用图解法或解析法而求出传感器可能具有的静态特性。152 传感器的主要静态性能指标传感器的静态特性是通过各静态性能指标来表示的，它是衡量传感器静态性能优劣的重要依据。静态特性是传感器使用的重要依据，传感器的出厂说明书中一般都列有其主要的静态性能指标的额定数值。传感器可完成将某一输入量转换为可用信息，因此，总是希望输出量能不失真的反映输入量。在理想情况下，输出输入给出的是线性关系，但在实际工作中，由于非线性(高次项的影响)和随机变化量等因素的影响，不可能是线性关系。所以，衡量一个传感器检测
10、系统静态特性的主要技术指标有：灵敏度、分辨率、线性度、迟滞（滞环）、重复性，以下分别介绍：1.灵敏度(sensitivity)灵敏度（静态灵敏度）是传感器或检测仪表在稳态下输出量的变化量y与输入量的变化量x之比，用K表示，有yKx如果输入输出特性为线性的传感器或仪表，则xyK如果检测系统的输入输出特性为非线性，则灵敏度不是常数，而是随输入量的变化而改变，应以/dydx表示传感器在某一工作点的灵敏度。实际使用中，由于需要外加辅助电源的传感器的输出量与供给传感器的电源电压有关，因此，其灵敏度的表达式往往需要包括电源电压的因素。灵敏度是一个有单位的量，其单位决定于传感器输出量的单位和输入量的单位以及
11、有关的电源电压的单位。例如：某位移传感器，当电源电压为1V 时，每1mm位移变化引起的输出电压变化为100mV，则其灵敏度可表示为100mV/（mm V）。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -例题：某铂丝热敏传感器。（1）在小测量温度范围内，铂丝传感器阻值与温度可近似看作线性关系，如图1-9 所示。有，0(1)tRRT灵敏度为：0/tKdR dTR其中，0R是铂丝传感器在零度时的阻值，t是铂丝传感器的温度系数。（2）将此铂丝传感器构成电桥进行温度测量，输出电压信号与温度的关系呈非线性关系，如图 1-10 所示，有：2012Uaa Ta T图 1-9 铂丝热敏
12、传感器温度特性图 1-10 铂丝非线性温度特性其中0a、1a、2a是常数。灵敏度可表示为：122dUKaa TdT工程上近似表示为：1Ka2.分辨率分辨率也称灵敏度阈值，即引起输出量产生可观测的微小变化所需的最小输入量的变化量。因为传感器的输入输出关系不可能都做到绝对连续，有时，输入量开始变化，但输出量名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -并不随之相应变化，而是输入量变化到一定程度时输出才突然产生一小的阶跃变化。这就出现了分辨率和阈值问题。从微观来看，传感器的特性曲线并不是十分平滑的，而是有许多微小的起伏。当输入量改变x时，输出量变化y，x变小，y也变小。但是
13、一般来说，x小到某种程度，输出量就不再变化了，这时的x就是分辨率或灵敏度阈值。存在灵敏度阈值的原因有两个。一个是输入的变化量通过传感器内部被吸收，因而反映不到输出端上去。典型的例子是螺丝或齿轮的松动。螺丝和螺帽，齿条和齿轮之间多少都有空隙，如果x相当于这个空隙的话，那么x是无法传递出去的。又例如，装有轴承的旋转轴，如果不加上能克服轴与轴之间摩擦的力矩的话，轴是不会旋转的。第二个原因是传感器输出存在噪声。如果传感器的输出值比噪声电平小，就无法把有用信号和噪声分开。如果不加上最起码的输入值（这个输入值所产生的输出值与噪声的电平大小相当）是得不到有用的输出值的，该输入值即灵敏度阈值，也叫灵敏阈、门槛
14、灵敏度、或阈值。对数字显示的测量系统，分辨率是数字显示的最后一位所代表的值。对指针式测量仪表，分辨率与人们的观察能力和仪表的灵敏度有关。举例说明：（1）数字天平如图 1-11 所示的数字天平分辨率是多少？答：因为对数字显示的测量系统，分辨率是数字显示的最后一位所代表的值。所以，数字天平的分辨率是0.01g。（2）已知人们所能观察的指针最小偏移量为0.3mm。如图 1-12 所示的指针式称重计的灵敏度 S为 10mm/Kg。则此称重计的分辨率是多少？答：因为人们所能观察的指针最小偏移量y 0.3mm。称 重 计 的 灵 敏 度S 10mm/Kg，所 以，分 辨 率x y/S=0.3/10=0.0
15、3Kg。图 1-11 数字天平图 1-12 指针式称重计3.线性度名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -通常为了标定和数据处理的方便，总希望得到线性关系，可采用各种方法如硬件或软件的补偿即进行线性化处理，这样就使得输出不可能丝毫不差的反应被测量的变化，总存在一定的误差（线性或非线性），即使实际是线性关系的特性，测量的线性关系也并不完全与其重合，而常用一条拟合直线近似代表实际的特性曲线。线性度就是用来评价传感器的实际输入输出特性对理论拟合的线性输入输出特性的接近程度的一个性能指标，即传感器特性的非线性程度的参数。线性度的定义为：传感器的实测输入输出特性曲线与理论
16、拟合直线（理想输入输出特性曲线）的最大偏差对传感器满量程输出之比的百分数表示。线性度也称为“非线性误差”或“非线性度”。如图 1-13 所示，非线性误差（线性度）为：%100maxA式中max为实测特性曲线与理想线性曲线间的最大偏差；A为传感器满量程输出平均值；为非线性误差（线性度）。非线性误差（线性度）的大小是以一拟合直线或理想直线作为基准直线计算出来的，基准直线不同，所得出的线性度就不一样，因而不能笼统地提线性度或非线性误差，必须说明其所依据的拟合基准直线，比较传感器线性度好坏时必须建立在相同的拟合方法上。按照所依据的基准直线的不同，线性度可分为理论线性度、端基线性度、独立线性度、最小二乘
17、法线性度等等。理论线性度：又称绝对线性度，其拟合直线为理论直线，通常取零点作为理论直线的零点，满量程输出100作为终止点，这两点的连线即为理论直线，所以理论直线与实际测试点无关。优点是简单、方便，但通常是最大偏差max很大。端基线性度：将传感器校准数据的零点输出平均值和满量程输出平均值连成直线（实际特性曲线首、末两端点的连线），作为拟合直线。其方程式为：ybkx式中，b 和 k 分别为截距和斜率。这种方法简单，但最大偏差max也很大。独立线性度：作两条与端基直线平行的直线，使之恰好包围所有的标定点（试验点），图 1-13 输入输出特性图名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，
18、共 8 页 -以与二直线等距离的直线作为拟合直线。独立线性度方法也称最佳直线法，其实质就是使实际输出特性相对于所选拟合直线的最大正偏差等于最大负偏差的一条直线作为拟合直线。最小二乘法线性度：最小二乘法原理是一数学原理，它在误差的数据处理中作为一种数据处理手段。最小二乘法原理就是要获得最可信赖的测量结果，使各测量值的残余误差平方和为最小。在等精度测量和不等精度测量中，之所以用算术平均值或加权算术平均值作为多次测量的结果，是因为它们符合最小二乘法原理。最小二乘法在组合测量的数据处理、实验曲线的拟合及其它多种学科等方面，均获得了广泛的应用。最小二乘法线性度就是按最小二乘原理求取拟合直线，该直线能保证
19、传感器校准数据的残差平方和为最小，一般是用式ybkx来表示最小二乘法拟合直线，式中系数b 和 k可按下述分析求得。设实际校准测试点有n 个，则第 i 个校准数据yi与拟合直线上相应值之间的残差为。()iiiybkx按最小二乘法原理，应使21nii最小，故由21nii分别对 k 和 b 求一阶偏导数并令其等于零，即可求得 k 和 b：由2()0iiybkxk2()0iiybkxb解得22()iiiiiinx yxyknxx222()iiiiiiixyxx ybnxx式中12inxxxx12inyyyy1122iinnx yx yx yx y222212inxxxx最小二乘法的拟合精度很高，但校准曲线相对于拟合直线的最大偏差的绝对值并不一定最小，最大正、负偏差的绝对值也不一定相等。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -