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1、1启发式搜索算法A启发式搜索算法A，一般简称为A 算法，是一种典型的启发式搜索算法。其基本思想是：定义一个评价函数f，对当前的搜索状态进行评估，找出一个最有希望的节点来扩展。评价函数的形式如下：f（n）g（n）h（n）其中 n 是被评价的节点。f（n）、g（n）和 h（n）各自表述什么含义呢？我们先来定义下面几个函数的含义，它们与f（n）、g（n）和 h（n）的差别是都带有一个*号。g*(n)：表示从初始节点s到节点 n 的最短路径的耗散值；h*(n)：表示从节点n 到目标节点 g 的最短路径的耗散值；f*(n)=g*(n)+h*(n)：表示从初始节点s 经过节点n 到目标节点g的最短路径的耗
2、散值。而 f（n）、g（n）和 h（n）则分别表示是对f*（n）、g*（n）和 h*（n）三个函数值的的估计值。是一种预测。A 算法就是利用这种预测，来达到有效搜索的目的的。它每次按照f(n)值的大小对 OPEN 表中的元素进行排序，f 值小的节点放在前面，而f值大的节点则被放在OPEN 表的后面，这样每次扩展节点时，都是选择当前 f 值最小的节点来优先扩展。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 8 页 -利用评价函数f（n）g（n）h（n）来排列OPEN 表节点顺序的图搜索算法称为算法A。过程 A OPEN:（s），f（s）:g（s）+h（s）;LOOP：IF OPE
3、N（）THEN EXIT（FAIL）；n:FIRST（OPEN）；IF GOAL（n）THEN EXIT（SUCCESS）；REMOVE（n，OPEN），ADD（n，CLOSED）；EXPAND（n）mi，计算 f（n，mi）g（n，mi）+h（mi）；g（n，mi）是从 s 通过 n 到 mi 的耗散值，f（n，mi）是从 s 通过 n、mi 到目标节点耗散值的估计。ADD（mj，OPEN），标记 mi 到 n 的指针。IF f（n，mk）f（mk）THEN f（mk）:f（n，mk），标记mk 到 n 的指针；比较 f（n，mk）和 f（mk），f（mk）是扩展 n之前计算的耗散值。IF
4、f（n，m1）f（m1）THEN f（m1）:f（n，m1），标记m1 到 n 的指针，ADD（m1，OPEN）；当 f（n，m1）f（m1）时，把 m1 重放回 OPEN 中，不必考虑修改到其子节点的指针。OPEN 中的节点按 f 值从小到大排序；GO LOOP；A 算法同样由一般的图搜索算法改变而成。在算法的第 7步，按照 f 值从小到大对OPEN 表中的节点进行排序，体现了 A 算法名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 8 页 -的含义。算法要计算 f(n)、g(n)和 h(n)的值，g(n)根据已经搜索的结果，按照从初始节点s到节点 n 的路径，计算这条路径的耗
5、散值就可以了。而 h(n)是与问题有关的，需要根据具体的问题来定义。有了 g(n)和 h(n)的值，将他们加起来就得到f(n)的值了。在介绍一般的图搜索算法时我们就曾经让大家注意过，在这里我们再强调一次，请大家注意 A 算法的结束条件：当从 OPEN中取出第一节点时，如果该节点是目标节点，则算法成功结束。而不是在扩展一个节点时，只要目标节点一出现就立即结束。我们在后面将会看到，正是由于有了这样的结束判断条件，才使得A 算法有很好的性质。算法中 f（n）规定为对从初始节点s出发，约束通过节点n到达目标点 t，最小耗散值路径的耗散值f*(n)的估计值，通常取正值。f（n）由两个分量组成，其中g（n
6、）是到目前为止，从s到 n 的一条最小耗散值路径的耗散值，是作为从 s 到 n 最小耗散值路径的耗散值g*(n)的估计值，h（n）是从 n 到目标节点 t，最小耗散值路径的耗散值h*(n)的估计值。设函数 k（ni，nj）表示最小耗散路径的实际耗散值（当ni到 nj 无通路时则 k（ni，nj）无意义），则 g*（n）k（s，n），h*（n）min k（n，ti），其中 ti 是目标节点集，k（n，ti）就是从 n 到每一个目标节点最小耗散值路径的耗散值，h*（n）是其中最小值的那条路径的耗散值，而具有h*（n）值的路径是n名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 8 页
7、-到 ti 的最佳路径。由此可得f*（n）g*（n）h*（n）就表示sti 并约束通过节点n 的最佳路径的耗散值。当 ns 时，f*（s）=h*（s）则表示sti 无约束的最佳路径的耗散值，这样一来，所定义的 f（n）=g（n）+h（n）就是对 f*(n)的一个估计。g（n）的值实际上很容易从到目前为止的搜索树上计算出来，不必专门定义计算公式，也就是根据搜索历史情况对g*(n)作出估计，显然有 g(n)g*(n)。h(n)则依赖于启发信息，通常称为启发函数，是要对未来扩展的方向作出估计。算法 A 是按 f(n)递增的顺序来排列 OPEN 表的节点，因而优先扩展f（n）值小的节点，体现了好的优先
8、搜索思想，所以算法A 是一个好的优先的搜索策略。图 2.6 表示出当前要扩展节点n 之前的搜索图，扩展n 后新生成的子节点m1（mj）、m2（mk）、m3（m1）要分别计算其评价函数值：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 8 页 -图 2.6 搜索示意图f(m1)=g(m1)+h(m1)f(n，m2)=g(n，m2)+h(m2)f(n，m3)=g(n，m3)+h(m3)然后按第 6 步条件进行指针设置和第7 步重排 OPEN 表节点顺序，以便确定下一次要扩展的节点。用 A 算法来求解一个问题，最主要的就是要定义启发函数h(n)。对于 8 数码问题，一种简单的启发函数的
9、定义是：h(n)不在位的将牌数什么是 不在位的将牌数 呢？我们来看下面的两个图。其中左边的图是8 数码问题的一个初始状态，右边的图是 8 数码问题的目标状态。我们拿初始状态和目标状态相比较，看初始状态的哪些将牌不在目标状态的位置上，这些将牌的数目之和，就是不在位的将牌数。比较上面两个图，发现1、2、6 和 8 四个将牌不在目标状态的位置上，所以初始状态的 不在位的将牌数 就是 4，也就是初始状态的h 值。其他状态的h 值，也按照此方法计算。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 8 页 -下面再以八数码问题为例说明好的优先搜索策略的应用过程。设评价函数 f(n)形式如下：
10、f(n)=d(n)+W(n)其中 d(n)代表节点的深度，取g(n)=d(n)表示讨论单位耗散的情况；取 h(n)=W(n)表示 不在位 的将牌个数作为启发函数的度量，这时 f(n)可估计出通向目标节点的希望程度。图2.7 表示使用这种评价函数时的搜索树，图中括弧中的数字表示该节点的评价函数值 f。算法每一循环结束时，其 OPEN 表和 CLOSED 表的排列如下：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 8 页 -根据目标节点L 返回到 s 的指针，可得解路径S(4)，B(5)，E(5)，I(5)，K(5)，L(5)图 2.7 给出的是使用A 算法求解 8 数码问题的搜索图。其中A、B、C 等符号，只是为了标记节点的名称，没有特殊意义。这些符号旁边括弧中的数字是该节点的评价函数值f。而圆圈中的值，则表示节点的扩展顺序。从图中可以看出，在第二步选择节点B 扩展之后，OPEN 表中 f 值最小的节点有D 和 E 两个节点，他们的f 值都是 5。在出现相同的f 值时，A 算法并没有规定首先扩展哪个节点，可以任意选择其中的一个节点首先扩展。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 8 页 -图 2.7 八数码问题的搜索树名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 8 页 -