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1、关于数列不等式的放缩法第1页，此课件共24页哦2311111()2222nnN求证：例例1 1231232()2222nnnN求证：变变式式1 12311111()2 1212121nnN求证：变变式式2 2231232()2122232nnnnN求证：变变式式3 31(niiak k为常数）形形（一一）如如第2页，此课件共24页哦不等式左边可用等比数列前不等式左边可用等比数列前n项和公式求和项和公式求和.分析分析左边左边11(1)22112n112n 12311111()2222nnN求证：例例1 1表面是证数列不等式，实表面是证数列不等式，实质是质是数列求和数列求和第3页，此课件共24页哦
2、不等式左边可用不等式左边可用“错位相减法错位相减法”求和求和.分析分析由错位相减法得由错位相减法得 222nn2231232()2222nnnN求证：变变式式1 1表面是证数列不等式，实表面是证数列不等式，实质是质是数列求和数列求和231232222nn第4页，此课件共24页哦左边不能直接求和，须先将其左边不能直接求和，须先将其通项放缩通项放缩后求和后求和，如何放缩？，如何放缩？分析分析2311111()2 1212121nnN求证：变变式式2 2将通项放缩为将通项放缩为等等比数列比数列注意到注意到11212nn左边左边11(1)22112n112n 12311112222n第5页，此课件共2
3、4页哦左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？如何放缩？分析分析注意到注意到222nn2231232()2 122232nnnnN求证：变变式式3 3231232222nn左边22nnnnn将通项放缩为将通项放缩为 错错位相减位相减模型模型第6页，此课件共24页哦【方法总结之一方法总结之一】第7页，此课件共24页哦11111()1 332055 7(21)(21)213)nnnN求证：(广东文例例2 222211112()23nnN求证：变变式式1 122211171()234(2013)nnN求证：广东理变变式式2 222211151()
4、233nnN求证：变变式式3 3第8页，此课件共24页哦左边可用左边可用裂项相消法裂项相消法求和，先求和再放缩求和，先求和再放缩.分析分析11(1)221n1211111()1 332055 7(21)(21)213)nnnN求证：(广东文例例2 2表面是证数列不等式，实表面是证数列不等式，实质是质是数列求和数列求和111111(1)()()23352121nn左边1111()(21)(21)2 2121nnnn第9页，此课件共24页哦左边不能求和，应先将通项放缩为左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型裂项相消模型后求和后求和.分析分析11 1n 22()n保留第一项，保留第一项，从从第二
5、项第二项开始开始放缩放缩111111(1)()()2231nn 左边21n22211112()23nnN求证：变变式式1 11(1)n n11()12nnn当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第10页，此课件共24页哦变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将强，要达目的，须将变式变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析22211171()234(2013)nnN求证：广东理变变式式2 2保留前两项，从保留前两项，从第三第三项项开始放缩开始放缩思路一思路一211(1)nn n左边左边111142n 714n374()n2
6、11111111()()()223341nn 111nn(3)n 将变式将变式1 1的通项从第三项才开始放缩的通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第11页，此课件共24页哦变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将变式强，要达目的，须将变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析2221117(201319(3)1()234nnN广东理第：问求证变变式式2 2保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩思路二思路二22111nn左边左边11111(1)221nn 111(1)22 27
7、4()n1111111(1)()()232411nn 111()211nn(2)n 将通项放得比变式将通项放得比变式1 1更小一点更小一点.当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第12页，此课件共24页哦变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强，要达目的，须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留前两项保留前两项，从，从第三项第三项开始放缩开始放缩思路一思路一左边左边11 11111()42 231nn 11 111()42 23 353()n2111111111()()()22243511nn 22
8、211151()233nnN求证：变变式式3 322111nn111()211nn(3)n 将变式将变式2 2思路二中通项从第三项才开始放缩思路二中通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第13页，此课件共24页哦变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强，要达目的，须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留保留第一第一项，项，从从第第二项二项开始开始放缩放缩思路二思路二221114nn左边左边1112()321n 1123 253()n11111112()()()355721
9、21nn 112()2121nn(2)n 将通项放得比变式将通项放得比变式2 2思路二更小一点思路二更小一点.22211151()233nnN求证：变变式式3 32441n当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第14页，此课件共24页哦评注评注第15页，此课件共24页哦【方法总结之二方法总结之二】放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要中，很多时候要“留一手留一手”，即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第保留数列的第一项或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩二项或第三项开始放缩，这样
10、才不致使结果放得过，这样才不致使结果放得过大或缩得过小大或缩得过小.第16页，此课件共24页哦牛刀小试牛刀小试（变式练习（变式练习1 1）*22211151()35(21)4nnN求证：证明证明21(21)n111(1)4n 114 254n1111111(1)()()42231nn 14(1)n n(2)n 2144nn111()41nn左边当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第17页，此课件共24页哦223311113()323232322nnnN求证：变式123111117()3232323214nnN求证：练习.2311115()2 12121213nnN求证：例例3
11、32231117()42424224nnnN变求证：式2第18页，此课件共24页哦分析分析思路思路左边32nn211111333n 223311113()323232322nnnN求证：例例3 3利用指数函数的单调性放缩为等比模型利用指数函数的单调性放缩为等比模型23 1()3nn123 1()3n13n*111()323nnnnN11331213n第19页，此课件共24页哦分析分析左边左边32n21111(1)733n 23111117()3232323214nnN求证：例例3 3 变变式式2=3(1)3nn223(1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n(2)n
12、 保留第一项，从保留第一项，从第二第二项项开始放缩开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩的方法将通项也放缩为为等比模型等比模型后求和？后求和？3171141(2)4n 当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第20页，此课件共24页哦【方法总结之三方法总结之三】第21页，此课件共24页哦分析分析左边左边32n21111(1)733n 23111117()3232323214nnN求证：例例3 3 变变式式2=3(1)3nn223(1)3n27 3n21117 3(2)nnan1311(1)143n(2)n 保留第一项，从保留第一项，从第
13、二第二项项开始放缩开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩的方法将通项也放缩为为等比模型等比模型后求和？后求和？3171141(2)4n 当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第22页，此课件共24页哦左边32nn012111115 333n 2233111113()3232323210nnnN（变求证牛刀小试：式练习2）23 1()3nn223 1()3n25 3n 21113253nnn231131110310n(2)n(2)n 当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第23页，此课件共24页哦2022-9-6感谢大家观看感谢大家观看第24页，此课件共24页哦