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1、集合间的基本运算一、知识概述1、交集的定义一般地，由所有属于A且属于 B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集记作 AB（读作 A交 B），即 AB=x|xA，且 xB2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合 B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集记作：AB（读作 A并 B），即 AB=x|xA，或 xB3、补集：一般地，设S是一个集合，A是 S的一个子集（即），由 S中所有不属于 A的元素组成的集合，叫做 S中子集 A的补集（或余集），记作，即=性质：.全集：如果集合 S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S，U表示4、运算性质：（1）；名师资料
2、总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 13 页 -（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；二、例题讲解例 1、设集合 A=4，2m 1，m2，B=9，m 5，1m，又 AB=9，求实数m的值解：AB=9，2m 1=9或 m2=9，解得 m=5或 m=3或 m=3若 m=5，则 A=4，9，25，B=9，0，4与 AB=9矛盾；若 m=3，则 B中元素 m 5=1m=2，与 B中元素互异矛盾；若 m=3，则 A=4，7，9，B=9，8，4满足 AB=9m=3例 2、设 A=x|x2axb=0，B=x|x2cx15=0，又 AB=3，5，AB=3，求实数 a，b，c 的值解：AB=
3、3，3B，323c15=0，c=8，由方程 x28x15=0解得 x=3 或 x=5B=3，5由 A（AB）=3，5知，3A，5A（否则 5AB，与名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 13 页 -AB=3矛盾）.故必有 A=3，方程 x2axb=0有两相同的根 3由韦达定理得 33=a，33=b，即 a=6，b=9，c=8例 3、已知 A=x|x33x22x0，B=x|x2axb0，且 AB=x|0 x2，ABxx2，求 a、b 的值解：A=x|2x1 或 x0，设 B=x1，x2，由 AB=（0，2知 x22，且1x10，由 AB=（2，）知 2x11.由知 x11
4、，x22，a（x1x2）1，bx1x22例 4、已知 A=x|x2axa219=0，B=x|x25x8=2，C=x|x22x8=0.若AB，且 AC=，求 a 的值解：B=x|(x 3)(x 2)=0=3，2，C=x|(x 4)(x 2)=0=4，2，又AB，AB又AC=，可知 4A，2A，3A由 93aa219=0，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 13 页 -解得 a=5或 a=2当 a=5时，A=2，3，此时 AC=2，矛盾，a5；当 a=2 时，A=5，3，此时 AC=，AB=3，符合条件综上知 a=2例 5、已知全集 U=不大于 20的质数 ，M，N是 U
5、的两个子集，且满足 M （）=3，5，（）N=7，19，（）（）=2，17，求 M、N解：用图示法表示集合U，M，N（如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M=3，5，11，13，N=7，11，13，19.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素特别提示：下列四个区域：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 13 页 -对应的集合分别是：；一、选择题1、下列命题中，正确的是（）A若 U=R，AU，；B若 U为全集，表示空集，则=；C 若 A=1，2，则2A；D 若 A=1，2，3，B
6、=x|xA，则 AB2、设数集且 M、N都是集合 x|0 x1的子集，如果把 ba 叫做集合 x|a xb的“长度”，那么集合M N的“长度”的最小值是（）A BC D3、设 M、N是两个非空集合，定义M与 N的差集为 M N=x|x M且 xN，则M（M N）等于（）AN BM N C M N DM 4、已知全集，集合 M和的关系名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 13 页 -的韦恩（Venn）图如下图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（）A3 个 B2 个C 1 个 D无穷个1、=U，2 A，2 单独看是一个集合，但它又是 A中的一个元素2、集合 M的“长度”为
7、，集合 N的“长度”为，而集合x|0 x1的“长度”为1，故 M N的“长度”最小值为3、M N=x|x M 且 xN是指图（1）中的阴影部分同样 M（M N）是指图（2）中的阴影部分4、图形中的阴影部分表示的是集合，由解得集合，而 N是正奇数的集合，故选B二、填空题5、已知集合 A=x|x23x2=0，集合 B=x|ax 2=0（其中 a 为实数），且 A名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 13 页 -B=A，则集合 C=a|a 使得 AB=A=_ 5、0，1，2 解析：A=1，2，由 AB=A，得 BA1A，即得 a=2；或 2A，即得 a=1；或 B=，此时 a
8、=0.C=0，1，26、非空集合 S1，2，3，4，5，且若 aS，则 6aS，这样的 S共有_个6、6 解析：S=1，5或2，4 或3，或1，3，5，或2，4，3，或1，5，2，4 三、解答题7、设集合.（1）若，求实数 a 的值（2）若，求实数 a 的值7、解：（1）9，9A.则 a2=9或.解得 a=3 或 5.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 13 页 -当时，（舍）；当时，（符合）；当时，（符合）.综上知或.（2）由（1）知.8、已知全集 U R，0，或 x，若，求实数的取值范围8、解：依题设可知全集且05，由题设可知.分类如下：若，则 m 12m 1m
9、2.若，则 m 12m 1，且，解得 2m 3.由可得：m 3.实数 m的取值范围为 m|m3.9、已知全集 U=|a 1|，(a 2)(a 1)，4，6（1）若求实数 a 的值；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 13 页 -（2）若求实数 a 的值9、解：（1）且 BU，|a 1|=0，且(a 2)(a 1)=1，或|a 1|=1，且(a 2)(a 1)=0；第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a 1|=1 得 a=0或 a=2，a=2.（2）依题意知|a 1|=3，或(a2)(a 1)=3，若|a 1|=3，则 a=4，或 a=2；若(a2)(a 1)=3，
10、则经检验知 a=4时，(42)(4 1)=6，与元素的互异性矛盾a=2 或10、设集合 A=|，B=|，若 AB=B，求实数的值10、解：先化简集合 A=.由 AB=B，则 BA，可知集合 B可为，或为 0，或 4，或(i)若 B=，则，解得；(ii)若B，代入得=0=1或=，当=1时，B=A，符合题意；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 13 页 -当=时，B=0A，也符合题意(iii)若4B，代入得=7或=1，当=1时，已经讨论，符合题意；当=7时，B=12，4，不符合题意综上可得，=1或11、已知集合 A=x|x24mx 2m 6=0，B=x|x 0，若 AB，
11、求实数 m的取值范围11、解：设全集若方程 x24mx 2m 6=0的两根 x1，x2均非负，则解得m|关于 U的补集是 m|m1，实数 m的取值范围是m|m 11、（全国 I，1）设集合 A=4，5，7，9，B=3，4，7，8，9，全集 U=A B，则集合中的元素共有（）A3 个B4 个C5 个D6 个答案：A 解析：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 13 页 -2、（福建，2）已知全集 U=R，集合 A=x|x22x0，则等于（）Ax|0 x2 Bx|0 x2 Cx|x2 Dx|x 0 或 x2 答案：A 解析：x22x0，x(x 2)0，得 x2，A=x|x
12、2，.3、（山东，1）集合 A=0，2，a，B=1，a2若 AB=0，1，2，4，16，则 a 的值为（）A0 B1 C 2 D4 答案：D 解析：AB=0，1，2，a，a2，又 AB=0，1，2，4，16，a，a2=4，16，a=4，故选 D集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。图形不仅可以使各集合之间的相互关系直观明了，同时也便于将各元素的归属确定下来，使抽象的集合运算能建立在直观的形象思维基础上.因此图形既是迅速理解题意的工具，又是正确解题的手段.例 1、某地对农户抽样调查，结果如下：电冰箱拥有率为49，电视机拥有率为85，洗衣机拥有率为44，至少拥有上述三种电器中两种以上的占
13、63，三种电器齐全的为 25，那么一种电器也没有的相对贫困户所占比例为（）A10B12C15D 27分析：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 13 页 -这是一个小型应用题把各种人群看做集合，本题就是已知全集元素个数，求其某个子集的元素个数，可借助Venn图解法解：不妨设调查了100 户农户，U 被调查的 100 户农户，A100 户中拥有电冰箱的农户，B100 户中拥有电视机的农户，C 100 户中拥有洗衣机的农户，由图知，的元素个数为498544632590则的元素个数为10090=10答案：A 一般此类题利用Venn图直观手段，使集合中元素的个数，以及集合间的
14、关系更直接的显示，进而根据图逐一把文字陈述的语句“翻译”为数学符号语言，通过解方程和限制条件的运用解决问题。变式延伸 某车间有 120 人，其中乘电车上班的84 人，乘汽车上班的32 人，两车都乘的 18 人，求：(1)只乘电车的人数；(2)不乘电车的人数；(3)乘车的人数；(4)不乘车的人数；(5)只乘一种车的人数解：设只乘电车的人数为人，不乘电车的人数为人，乘车的人数为人，不乘车的人数为人，只乘一种车的人数为人，如图所示：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 13 页 -(1)66 人，(2)36 人，(3)98 人，（4）人，（5）人.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 13 页 -