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1、精品文档精品文档第三十三讲二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题班级 _姓名 _考号 _日期 _得分 _ 一、选择题：(本大题共 6 小题，每小题 6 分，共 36 分，将正确答案的代号填在题后的括号内)1已知点(3，1)和(4，6)在直线 3x2ya0的两侧，则a 的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：根据题意知(92a)(1212a)0，即(a7)(a24)0，7a24.答案：B 2若不等式组xy0，2xy2，y0，xya，表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是()Aa43B0a1 C1a43D0a1 或 a43解析：先把前三个
2、不等式表示的平面区域画出来，如图此时可行域为 AOB 及其内部，交点B 为23，23，故当 xya 过点 B 时 a43，所以 a43时可行域仍为 AOB，当 xya 恰为 A 点时，a101，故当 0a1 时可行域也为三角形故名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 10 页 -精品文档精品文档00)取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为()名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 10 页 -精品文档精品文档A.14B.35C.4 D.53解析：由题意分析知，目标函数zaxy(a0)所在直线与直线AC 重合时，满足题意，则由akAC225215，
3、得 a35.故选 B.答案：B 5如果实数x，y 满足x4y303x5y250，x1目标函数zkxy 的最大值为12，最小值为3，那么实数 k 的值为()A2 B 2 C.15D不存在解析：如图为x4y303x5y250 x1所对应的平面区域，由直线方程联立方程组易得点A 1，225，B(1,1)，C(5,2)，由于 3x5y250 在 y 轴上的截距为5，故目标函数zkxy 的斜率 k35.将 k2 代入，过点B 的截距 z2113.过点 C 的截距 z25212.符合题意故k2.故应选 A.答案：A 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 10 页 -精品文档精品文档
4、6在如图所示的坐标平面的可行域内(阴影部分且包括边界)，若目标函数zxay 取得最小值的最优解有无数个，则yxa的最大值是()A.23B.25C.16D.14解析：目标函数zxay 可化为 y1ax1az，由题意 a0，则可行域取到，不能在圆内；故 m0，即 m0.当 mxy0绕坐标原点旋转时，直线过 B点时为边界位置 此时 m43，m43.0m43.答案：0m439某实验室需购某处化工原料106 千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35 千克，价格为 140 元；另一种是每袋24 千克，价格是 120 元在满足需要的条件下，最少需花费 _解析：设需要 35 千克的 x 袋，24 千克
5、的 y 袋，则总的花费为z 元，则35x24y106，x0时，且 xZ，y0时，且 yZ.求 z140 x120y 的最小值由图解法求出zmin500，此时 x1，y3.另外，本题也可以列举出z的所有可能取值，再求其中的最小值由于 x0,1,2,3,4 时相应的y名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 10 页 -精品文档精品文档值和花费如下：当 x0，y5 时，z600；当 x1，y3 时，z500；当 x2，y2 时，z520；当 x3，y1 时，z540；当 x4，y0 时，z560.易见最少花费是500 元答案：500 元10当不等式组x0，y0，kxy2k0(k
6、0)所表示的平面区域的面积最小时，实数k 的值等于_解析：不等式组所表示的区域由三条直线围成，其中有一条直线kxy2k0(k0)是不确定的，但这条直线可化为y2k(x1)，所以它经过一个定点(1,2)，因此问题转化为求经过定点(1,2)的直线与两坐标轴在第一象限所围成的三角形的面积的最小值问题如图所示，设围成区域的面积为S，则S12|OA|OB|12|2k|12k，因为k0，有S124k4k124(k)4k12(424)4，当且仅当 k4k，即 k 2 时，平面区域最小故填2.答案：2 三、解答题：(本大题共3 小题，11、12 题 13 分，13 题 14 分，写出证明过程或推演步骤)11某
7、人有楼房一幢，室内面积共计180 m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积 18 m2，可住游客5名，每名游客每天住宿费40 元；小房间每间面积15 m2，可住游客3 名，每名游客每天住宿费为50 元；装修大房间每间需要1000 元，装修小房间每间需要600 元如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大效益？解：设 隔 出 大 房 间x间，小 房 间y间 时 收 益为z元，则x，y满 足18x15y180，1000 x600y8000，且z200 x150y.x0，y0，yZ.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页
8、，共 10 页 -精品文档精品文档6x5y60，5x3y40，x0，y0，x，yZ.可行域为如图所示的阴影(含边界)作直线 l：200 x150y0，即直线l：4x3y0 把直线 l 向右上方平移至l1的位置时，交点为B，且与原点的距离最大，此时z200 x150y解方程组6x5y60，5x3y40，得到 B207，607.由于点B 的坐标不是整数，而最优解(x，y)中的x，y 必须都是整数，所以，可行域内的点B207，607不是最优解，通过检验，要求经过可行域内的整点，且使z200 x150y 取得最大值，经过的整点是(0,12)和(3,8)此时 z 取最大值 1800 元于是，隔出小房间1
9、2 间，或大房间3 间，小房间8 间，可以获得最大收益评析：本题是一道用线性规划求解的实际应用问题，难点在于求 目标函数的最优整数解这里所用到的方法即是“局部微调法”，需要先判断出在B 点取得最大值，再在B 点附近区域做微调，找到满足题意的整数解12设实数 x、y 满足不等式组1xy4，y2|2x3|.(1)求作点(x，y)所在的平面区域；(2)设 a1，在(1)所求的区域内，求函数f(x，y)yax 的最大值和最小值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 10 页 -精品文档精品文档分析：先把已知不等式组转化为等价的线性约束条件，然后作出可行域，并找出最优解解：(1)已
10、知的不等式组等价于1xy4，y22x3，2x30，或1xy4，y2(2x3)，2x30.解得点(x，y)所在平面区域为如图所示的阴影部分(含边界)其中 AB：y2x5；BC：xy4；CD：y 2x1；DA：xy1.(2)f(x，y)表示直线 l：yaxb 在 y 轴上的截距，且直线l 与(1)中所求区域有公共点a1，当直线 l 过顶点 C 时，f(x，y)最大C 点的坐标为(3,7)，f(x，y)的最大值为73a.如果 12，那么直线l 过顶点 B(3,1)时，f(x，y)最小，最小值为13a.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 10 页 -精品文档精品文档评析：本题
11、是一道综合题，利用化归和讨论的思想将问题分解为一些简单问题，从而使问题迎刃而解13已知 x，y 满足条件：7x5y230，x7y110，4xy100.M(2,1)，P(x，y)求：(1)y7x4的取值范围；(2)OM OPuuuu r uuu rg的最大值；(3)|OPuuu r|cosMOP 的最小值解：如图所示，画出不等式组7x5y230，x7y110，4xy100所表示的平面区域：其 中 A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)(1)y7x4可以理解为区域内的点与点D(4，7)连线的斜率由图可知，连线与直线BD 重合时，倾斜角最小且为锐角；连线与直线 CD 重合时，倾斜角最大且为锐角kD
12、B13，kCD9，所以y7x4的取值范围为13，9.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 10 页 -精品文档精品文档(2)由于OM OPuuuu r uuu rg(2,1)(x，y)2xy，令 z2xy，则 y 2xz，z 表示 直线 y 2xz在 y 轴上的截距，由可行域可知，当直线y 2xz 经过 A 点时，z 取到最大值，这时z 的最大值为 zmax2419.(3)OPu uu rcosMOPcosOM OPMOPOMuuuu r uuu ruuuu r5OM OPuuuu r uuu rg2xy5，令 z2xy，则 y2xz，z表示直线 y 2xz 在 y 轴上的截距，由(3)可知，当直线y2xz 经过 B 点时，z取到最小值，这时z 的最小值为zmax2(1)6 8，所以OPuu u rcosMOP 的最小值等于858 55.评析：本题是一道求解线性约束条件下非线性目标函数的最优解问题的题目，这类问题有比较典型的解析几何背景和平面向量的意义，一般地，在解答时常常借助几何图形的直观性求解，体现了数形结合思想的应用名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 10 页 -