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1、1 解析函数的孤立奇点类型判断及应用摘要孤立奇点的应用在解析函数的学习和对其性质分析研究中有着重要作用，而留数计算是复变函数中经常碰到的问题。解析函数在不同类型的孤立奇点处的计算方法不同，关键我们要先判断其类型。本文在分析整理了相关资料的基础上，首先给出了孤立奇点的定义、分类及其类型的判别定理和相关推及引理，其中在考虑极点处的留数求法时，又根据单极点、二阶极点，m阶极点的求法不同，结合例子给出极点阶数的判断方法。并通过有限孤立奇点的判别对解析函数无穷远点的性态进行研究，分析能否把有限孤立奇点的特征应用到无穷远点，进而探讨了孤立奇点在留数计算中的应用，使得孤立奇点的知识更加系统、全面。关键词孤立
2、奇点可去奇点极点本质奇点判断留数计算前言在复变函数论中，留数是非常重要的，而解析函数的孤立奇点是学习留数的基础，只有掌握了孤立奇点的相关性质，才能更好的学好留数。目前，在相关资料中，对孤立奇点的判别及应用已较为完备，如在许多版本的复变函数论中对孤立奇点的判别做了详细的说明和解释，使我们对孤立奇点的了解更透彻。但在现实中有时我们遇到的留数计算具体例子，运用定理判别会比较麻烦，还需要前后知识的衔接，这为留数计算增加了障碍。本文就是在此基础上作进一步的探讨，将判断这一工作拿出来单独讨论，通过对论文的撰写，将把孤立奇点类型的判别及在留数运算中的应用更全面化、系统化。此项研究内容可以对以后学习此部分内容
3、的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。在复变函数课程上我们已学过了孤立奇点的分类及其类型的判别和其在留数计算中的应用，为对其作进一步的研究奠定了基础。在此基础上查阅大量书籍，搜集相关资料，并对所搜集资料进行分析、研究、筛选和处理。通过指导教师的耐心指导，已具备了研究解析函数类型的判别及其在留数计算中的应用这一课题的初步能力，并能解决现实生活中的相关例题，使理论和实践达到真正的结合和统一。本文通过对已学知识的回顾总结，和相关资料的查阅，在老师的指导下自拟题目，将对孤立奇点的类型判别及应用进行说明，通过分析、整理、归纳、总结，对其进行更深入的研究。正文一、孤立奇点的定
4、义及类型（一）定义如果函数)(zf在点 a的某一 去心邻域RazaK0:(即除去圆心 a 的某圆)内解析，点 a 是)(zf的奇点，则称 a 为)(zf的一个孤立奇点。如果 a 为函数)(zf的一个孤立奇点，则必存在正数R，使得)(zf在点 a 的去心邻域RazaK0:内可展成洛朗级数。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 15 页 -2（二）孤立奇点的类型如0z为)(zf的孤立奇点，则)(zf在点0z的去心邻域RzzzK000:内可展成洛朗级数0(z)(z)nnnfzc。其中称负幂部分01(z)nnnzc为)(zf在点0z的主要部分。孤立奇点按函数在0z 的去心邻域内
5、的洛朗展开式中负幂项的个数分类：1.可去奇点：展开式中不含0zz的负幂项；201020fzcczzczz2.极点：展开式中含有限项0zz的负幂项；(1)21010201000()()()()()mmmmcccfzcc zzc zzzzzzzz0,()mg zzz其中1(1)01000()()()mmmmg zcczzczzc zz在0z解析，且00,1,0mg zmc；3.本性奇点：展开式中含无穷多项0zz的负幂项；1010000()()()()mmmmccfzcc zzczzzzzz二、孤立奇点类型的判别方法（一）可去奇点如果)(zf在0zz 的洛朗级数中不含0zz的负幂项，则称孤立奇点0z
6、是)(zf的可去奇点。以下三个条件是等价的：（1）0zz 是)(zf的可去奇点)(zf在0z的洛朗级数不含0zz的负幂项；名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 15 页 -3（2）0zz 是)(zf的可去奇点0lim(z)zzf存在；（3）0zz 是)(zf的可去奇点)(zf在0z的某去心邻域内有界.（二）极点如果)(zf在0z的洛朗级数中只有（0zz）的有限个负幂项，则孤立奇点0z称为极点。若负幂的最高项为0(zz)m，则0z称为 m 级极点。与之等价的条件是：0z是)(zf的极点0lim(z)zzf.零点和极点的关系：不恒等于零的解析函数)(zf若能表示为0(z)(
7、z z)(z)mf，其中(z)在0z解析，且0(z)0，m为一正整数，则称0z为)(zf的 m级零点.（1）若)(zf在0z解析，则0z为)(zf的 m级零点的充要条件是(n)0(z)0f，0,1,2,1nm；(m)0(z)0f.（2）一个不恒为零的解析函数的零点是孤立的.（3）若0z是)(zf的 m 级极点，则0z是1(z)f的 m级零点.反之也成立.下面的定理说明了怎样由m级零点得到 m级极点.定理 1假设（i）两个函数 p 和 q在点0z解析；（ii）0(z)0p,0z是 q的 m级零点.则0z是(z)(z)pq的m级极点.定理 2 设两个函数 p 和q 在0z解析.如果0(z)0p，0
8、(z)0q和0(z)0q，则0z是商(z)(z)pq的简单极点且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 15 页 -4)()()()(Re000zqzpzqzpszz.（三）本质奇点如果)(zf在0z的洛朗级数中含有（0zz）的无穷多个负幂项，则孤立奇点0z称为本质奇点。与之等价的条件是：0z是)(zf的本质奇点0lim(z)zzf不存在且不等于.在本质奇点的邻域内，复变函数)(zf具有以下性质：（1）维尔斯特拉斯定理若0zz 是)(zf的本质奇点，则对于任一复数0及任给的0，任意的0r，在区域00zzr 中必存在一点 z，使得0)(zf.推论在任意一个圆环域00zzr
9、中，必存在序列nz，使得00lim(z)nzzf.（2）皮卡定理解析函数)(zf在本质奇点0zz 的任何邻域内，能够取任意一个有限值（复数）无穷次，至多有一个值例外.（四）函数在无穷远点的性态如果)(zf在无穷远点 z的去心邻域zR内解析，则称点是)(zf的孤立奇点.作变换1tz（规定把扩充 z 平面上的无穷远点 z映射为扩充 t 平面上的点0t），把扩充 z 平面上的邻域0Rzz映射成扩充 t 平面的去心邻域10tR，且有)(zf=1()ft=(t).于是，可以把在zR上对)(zf的研究化为在10tR内对(t)的研究.（1）如果0t是(t)的可去奇点、m级极点或本质奇点，则z是)(zf的可去
10、奇点、m级极点或本质奇点.（2）若)(zf在zR内可以展开为洛朗级数，那么，在)(zf的洛朗级数中，如果：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 15 页 -5 不含正幂项，则 z为)(zf的可去奇点；含有限个正幂项，则z为)(zf的极点；含无穷多正幂项，则z为)(zf的本质奇点.三、留数定理及留数计算方法（一）留数定义若0zz 是解析函数)(zf的一个孤立奇点，)(zf在0z的去心邻域内解析，C 为0z邻域内任一简单闭曲线，则称dzzfiC)(21为)(zf在0z处的留数，记作),(Re0zzfs，即10)(21),(RecdzzfizzfsC.1c是)(zf在以0z为
11、中心的圆环域内的洛朗级数中10)(zz项的系数.（二）留数定理设函数)(zf在区域 D 内除有限个孤立奇点1z，2z，nz外处处解析，C 是 D 内包围诸奇点的一条简单闭曲线，则nkkCzzfsidzzf1),(Re2)(.利用定理，可以将求沿封闭曲线 C 的积分，转化为求被积函数在C内各孤立奇点处的留数.（三）留数的计算与极点处留数的计算规则.计算留数最基础的依据是定义10)(21),(Recdzzfizzfsc,C 为0z某去心邻域内一条简单闭曲线，1c是以0z为中心某邻域内洛朗级数10)(zz项的系数.即，可通过求积分dzzfiC)(21的值或求洛朗级数10)(zz项系数来计算留数，所以
12、若0z为)(zf的可去奇点，则0),(Re0zzfs.若0z为)(zf的本质奇点，则10),(Reczzfs.若0z为)(zf的极点，则有以下规则：规则 I若0z是)(zf的一级极点，有)()(lim),(Re000zfzzzzfszz.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 15 页 -6 规则 II若0z是)(zf的 m级极点，有)()(lim)!1(1),(Re01100zfzzdzdmzzfsmmmzz.规则 III当)()()(zQzPzf，)(zP和)(zQ都在0z解析，如果0)(0zP，0)(0zQ，0)(0zQ，则0z为)(zf的一级极点，且有)()(),
13、(Re000zQzPzzfs.实际计算时，可以用规则，也可以用定义求洛朗级数的1c，或计算Cdzzfi)(21.（四）若函数)(zf在zR解析，C为圆环域内绕原点的任何一条正向简单闭曲线，则称积分Cdzzfi)(21为)(zf在点的留数，记为Ccdzzfizfs1)(21),(Re.定理如果函数)(zf在扩充的复平面内只有有限个孤立奇点，则)(zf在所有各奇点（包括点）的留数总和比等于零.规则 IV0,1)1(Re),(Re2zzfszfs.以上定理和规则提供了计算复变函数沿闭曲线积分的一种方法，这些方法使用恰当的话会使计算更简便.四、孤立奇点类型的判别及其在留数计算中的应用相关例题例 1 指
14、出下列函数在零点z=0的级：（1）)1(22zez（2）)6(sin6633zzz.解（1）用求导数验证：记0)0(,)1()(22fezzfz，不难计算,0)0(,)(22)(23fezzzzfz,0)0(,2)2104()(224fezzzfz,0)0(,)24368()(235fezzzzfz,24)0(,)2415611216()()4(24642fezzzzfz）（名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 15 页 -7 即0)0(,0)0()0()0()0()4(fffff故0z为函数)1(22zez的四阶零点.由泰勒展式：由展开式)(!1!2112422zzn
15、zzenz可知)()!21()1(442222zzzzzezz其中)(!1!211)(222zznzzn在内解析，10）（.故0z为函数)1(22zez的四阶零点.（2）由展开式)()!12()1(!51!31sin3615933znzzzzznn可知)6(sin6633zzz393615936)!12()1(!51!316zznzzzznn)(15zz其中)!12()1(!71!516)(1266nzzznn在 z内解析，0560！）（.故0z是函数)6(sin6633zzz的 15阶零点.例 2 判断下列函数的奇点类型？如果是极点，指出它的级数.（1）22)1(1zz；（2）3sinzz；
16、（3）1123zzz；（4）zz)1ln(；（5）)1)(1(2zezz；（6）11ze；（7）)1(12zez；（8）nnzz12（n为正整数）.解（1）令0)1(22zz，得izz,0。因函数22)1(1)(zzzf在点0z及名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 15 页 -8 iz处无定义，所以izz,0是此函数的奇点，且都是孤立奇点。又由izz,0分别是函数2222)()()1()(1izizzzzzf的一级零点，二级零点，故0z与iz分别是)(zf的一级极点与二级极点。（2）显然0z是3sin)(zzzf的孤立奇点。由于)(zf在点0z处的洛朗展开式为,!5!
17、311sin)(223zzzzzfz0故0z是)(zf的二级极点。（3）令0123zzz，即0)1()1(2zz，得1z为11)(23zzzzf的奇点，且均为孤立奇点。由于1z与1z分别是函数)1()1()(12zzzf的一级与二级零点，故1z与1z分别为)(zf的一级与二级极点。（4）显然0z是zzzf)1ln()(的孤立奇点。且由1)1ln(lim0zzz知，0z是)(zf的可去奇点。另外，1z也是zzzf)1ln()(的奇点，但它不是孤立奇点。因为)1ln(z在负实轴（1z的左侧）上处处不解析（即在1z的无论多小的邻域内总有)(zf的不解析点）。（5）令0)1)(1(2zez，即012z
18、或01ze，得ikz)12(（,2,1,0k）。故)1)(1()(2zezzzf的奇点分别为ikz)12(（,2,1,0k）。对于iz，由于iz是zeizz)1)(的零点，且名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 15 页 -9 0)1()1()1)(2izzzizzeziezizeiz所以iz是zeizz)1)(的一级零点，从而可知iz是)(1zf的二级零点，故iz是)(zf的二级极点。对于iz，用类似的方法可知，它也是)(zf的二级极点。对于ikz)12(（,2,1,0k），由于ikzzikzzezzf)12(2)12()1)(1()(10)1()1)(11()12(
19、2ikzzzezzez所以ikz)12(（，3,2,1,0k）都是)(1zf的一级零点，故它们都是)(zf的一级极点。（6）显然11)(zezf只有一个奇点1z。由于11)(zezf在1z的去心邻域10z内的洛朗展开式为nzznzzezf)1(!1)1(!21111)(211其中含有无数多个)1(z的负幂项，故1z是)(zf的本质奇点。（7）令0)1(2zez，得。),2,1,0(2kikz因此，)1(1)(2xezzf的奇点分别是),2,1,0(2kikz，且是孤立奇点。对于0z，由于它是1)(xez的零点，且01)(00zzzez所以0z是1)(xez的一级零点，从而可知0z是)()(12
20、zzzf的三级零点，故0z是)(zf的三级极点。名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 15 页 -10（8）令01nz，即1nz，得nikez)12(，1,2,1,0nk故nnzzzf1)(2共有 n 个孤立奇点)1,1,0()12(nkeznik。由于它们都是函数)(1zf的零点，且易知0)12()(1nikzfez所以它们都是nnzzzf21)(1的一级零点，因此可知它们都是)(zf的一级极点。例 3 证明不恒为零的解析函数的零点是孤立的.即若不恒为零的函数)(zf在Raz内解析，0)(af，则必有a 的一个领域，使得)(zf在其中无异于a的零点（解析函数零点的孤立
21、性）.分析由于解析函数)(zf不恒为零且0)(af，所以利用)(zf在点 a 的泰勒展开式可知，总存在自然数1m，使0)()()()1(afafafm，0)()(afm（否则独所有 m，0)()(afm，由泰勒定理0)(!)()(0)(mmmazmafzf矛盾）.于是可设 a 为)(zf的 m阶零点，然后由零点的特征来讨论.证（不 妨 设）a 为)(zf的m 阶 零 点)()()(zazzfm，其 中Razz 在)(内解析，0)(a.因)(z在 a 处解析，则有0)()(limazaz，可取)(a，存在着0，当az时，)()()(aaz，由三角不等式)()()(zaaz）（便知当az时)()(
22、)()(aazza）（名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 15 页 -11 即有0)(z，故在 a 的邻域内使0)(z.例 4 判断点是不是下列函数的奇点：（1）ztan；（2）21lnzz；（3）bzazezln；（4）)1sin(1sinz.解（1）zzzcossintan，kzk2（,1,0k）是ztan 的一级极点.当k时，kz，所以是)(zf的极点的极限点，不是孤立奇点.（2）函 数 在 复 平 面 除 去1z，2z和 连 接 它 们 的 线 段 外 单 值 解 析.又0)21(lnlimzzz，所以是)(zf的可去奇点.（3）z是ze的本质奇点，又是bz
23、azln的可去奇点，所以是)(zf的本质奇点.（4）因为)1sin1sin(limzz不存在，所以是)(zf的本质奇点.例 5 求下列函数)(zf的有限奇点处的留数：（1）zzz212；（2）42-1zez；（3）224)1(1zz；（4）zzcos；（5）z11cos；（6）zz1sin2；（7）zzsin1；（8）chzshz.解：（1）因为)2(22zzzz，所以2.0z为)(zf的一级极点，故依 规则 I，有2121lim21lim0),(Re020zzzzzzzfszz，23)2(12-lim0),(Re0zzzzzfsz）（.(2)0z是分母四级零点，分子一级零点，因而是)(zf的
24、三级极点，于是依规则 II，有341lim!210),(Re423220zezdzdzfszz.(3)因3332)()()1(izizz，所以iz为)(zf的三级极点，于是，依规则 II，有名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 15 页 -12 iizzdzdzzizdzdizfsiziz83)(1212lim!21)1(1)(lim!21),(Re5222324322.izzizdzdizfsiz83)1(1)(lim!21),(Re324322.(4),1,0(2kkzk是zcos 一级零点，所以是)(zf的一级极点，于是依 规则 III，有)2()1()2sin
25、(2)(cos),(Re1kkkzzzzfskzzkk.(5)因为，在10z内，有42)1(!41)1(!21111coszzz，故0 1,11cosRe1czs.(6)因为，在z0内，有)!51!311(1sin5322zzzzzz,故610,1sinRe12czzs.（7）0z是)(zf二级极点，),2,1(kkzk是)(zf一级极点.依规则 II 和规则 III，有0sin1lim0),(Re20zzzdzdzfsz，.,2,1,)1()sin(1),(Rekkzzkzfskzzk（8）),2,1,0()21(kikzk为一级极点，依 规则 III，有1)(),(Rekzzkchzshz
26、zzfs.例 6 用多种方法求)1(25)(zzzzf的留数.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 15 页 -13 解1,0 zz和是)(zf的一级极点.方法 1 用洛朗展开法.)11(2)1(5)(25)1(25220zzzzzzzzzzznn，10z.0)1()1()135()1(11)1(3)1(5)1(25nnnzzzzzzzz)1(111 3)1()1(1 52zzzz，z1.022235)1()25(111)25()1(2nnzzzzzzzzzzz，z1.所以20),(Re1czfs，3 1),(Re1czfs，5),(Re1czfs.方法 2 用极限法
27、（规则 I）.2)1(25lim0),(Re0zzzzzfsz，3)1(25)1(lim 1),(Re1zzzzzfsz.由留数和定理知5 1),(Re0),(Re),(Rezfszfszfs.方法 3 用柯西公式（积分）.212125210),(Rezzdzzzizfs，211325211),(Rezzdzzzizfs.同极限法，有5),(Rezfs.注意，C内只有一个奇点.方法 4 用求导法（规则 III）.2)1(250),(Re0zzzzzfs，3)1(25 1),(Re1zzzzzfs.同极限法，有5),(Rezfs.例 7 求下列函数在 z的留数.（1）21ze；（2）zzsinc
28、os；（3）232zz；（4）12zez；（5）)4()1(14zzz.名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 15 页 -14 解（1）421!21112zzez，不含正幂项，因而点是可去奇点，所以0),(Rezfs（2）!4!3!21sincos432zzzzzz，含无穷多正幂项，所以点本质奇点，有.0),(Rezfs（3）)931(23112)31(12324222222zzzzzzzzzz531862zzz，z3.所以2),(Rezfs.（4）因为1z是)(zf的一级极点，且21lim1),(Re1ezezfszz，11211lim 1),(Reezezfszz
29、，所以2)(21 1),(Re1),(Re),(Re11eeeezfszfszfs.（5）)4()1(1)(4zzzzf只有三个有限远奇点，40zz，是一级极点，1z是四级极点，其留数分别为41)4()1(1lim)(lim0),(Re400zzzzfzfszz4444541)1(1lim)()4(lim4),(Rezzzfzzfszz)4(1lim61)()1(lim!311),(Re141zzzfzzfszz14141lim611zzz6)4(6lim241441zzz名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 15 页 -15 454141故1),(Re4),(Re0
30、),(Re),(Rezfszfszfszfs0结论本文通过对资料，及相关文献的研究分析，总结了解析函数孤立奇点的判别方法并对函数在无穷远处的性态进行分析，并通过对具体实例的研究分析进一步论述了孤立奇点在留数计算中的应用使得孤立奇点的知识更加系统、全面，对以后学习此部分内容的同学提供一定的帮助，使其对孤立奇点的理解更加清晰，应用得更加自如。但本文中的例题并未包含此部分的全部类型，如不能求出极点的级数的类型题，本文并未涉及，遇到此类型提示还需进一步探讨。参考文献1 钟玉泉，复变函数论，第三版，北京：高等教育出版社，2004 2 钟玉泉，复变函数学习指导书，北京：高等教育出版社，1995 3（美）布朗（Brown,J.W.）等著；邓冠铁等译，,复变函数及应用，第七版，北京：机械工业出版社，2005 4 孙清华孙昊，复变函数疑难分析与解题方法，第二版，武汉：华中科技大学出版社，2010 5 谭欣欣刚家泰，复变函数习题全解全析，大连：大连理工大学出版社，2004 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 15 页 -