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1、精品文档精品文档2015 年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5 分，共 40 分）1（5 分）（2015?北京）复数i（2i）=（）A1+2i B12i C1+2i D12i 考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则解答解答：解：原式=2i i2=2i（1）=1+2i；故选：A点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则注意i2=12（5 分）（2015?北京）若 x，y 满足，则 z=x+2y 的最大值为（）A0B1CD2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y
2、对应的直线进行平移，即可求出 z 取得最大值解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的三角形及其内部阴影部分，由解得 A（，），目标函数z=x+2y，将直线 z=x+2y 进行平移，当 l 经过点 A 时，目标函数z 达到最大值z最大值=故选：C名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 16 页 -精品文档精品文档点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y 的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题3（5 分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A（2，2）B（4，0）C（4，4）D（0，8）
3、考点：程序框图专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k 的值，当 k=3 时满足条件k 3，退出循环，输出（4，0）解答：解：模拟执行程序框图，可得x=1，y=1，k=0 s=0，i=2 x=0，y=2，k=1 名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 16 页 -精品文档精品文档不满足条件k 3，s=2，i=2，x=2，y=2，k=2 不满足条件k 3，s=4，i=0，x=4，y=0，k=3 满足条件k 3，退出循环，输出（4，0），故选：B点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k 的值是解题的关
4、键，属于基础题4（5 分）（2015?北京）设，是两个不同的平面，m 是直线且m?，“m“是“”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分不要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：m并得不到 ，根据面面平行的判定定理，只有 内的两相交直线都平行于，而 ，并且 m?，显然能得到m，这样即可找出正确选项解答：解：m?，m得不到 ，因为 ，可能相交，只要m 和 ，的交线平行即可得到 m；，m?，m 和 没有公共点，m，即 能得到 m；“m”是“”的必要不充分条件故选 B点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定
5、理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念5（5 分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A2+B4+C2+2D5考点：由三视图求面积、体积专题：空间位置关系与距离分析：根据三视图可判断直观图为：A面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC 面 AEO，AC=，OE=判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积解答：解：根据三视图可判断直观图为：OA 面 ABC，AC=AB，E 为 BC 中点，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 16 页 -精品文档精品文档EA=2，EC=EB=1，O
6、A=1，可得 AEBC，BCOA，运用直线平面的垂直得出：BC 面 AEO，AC=，OE=SABC=2 2=2，SOAC=SOAB=1=SBCO=2=故该三棱锥的表面积是2，故选：C点评：本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直观图，得出几何体的性质6（5 分）（2015?北京）设 an 是等差数列，下列结论中正确的是（）A若 a1+a20，则 a2+a30 B若 a1+a30，则若 a1+a20，C若若 0 a1a2，则 a2D若 a10，则（a2a1）（a2a3）0 考点：等差数列的性质专题：计算题；等差数列与等比数列分析：对选项分别进行判断，即可得出结论解
7、答：解：若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0时，结论成立，即 A 不正确；若 a1+a20，则 2a1+d0，a2+a3=2a1+3d2d，d0 时，结论成立，即B 不正确；an 是等差数列，0a1a2，2a2=a1+a32，a2，即 C 正确；若 a10，则（a2a1）（a2a3）=d20，即 D 不正确故选：C点评：本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础7（5分）（2015?北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）log2（x+1）的解集是（）名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 16 页 -精品文
8、档精品文档Ax|1 x 0 Bx|1 x 1 C x|1x 1 D x|1x 2 考点：指、对数不等式的解法专题：不等式的解法及应用分析：在已知坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集解答：解：由已知 f（x）的图象，在此坐标系内作出y=log2（x+1）的图象，如图满足不等式f（x）log2（x+1）的 x 范围是 1x 1；所以不等式f（x）log2（x+1）的解集是 x|1x 1；故选 C点评：本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移8（5 分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不
9、同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A消耗 1 升汽油，乙车最多可行驶5 千米B以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 5 页，共 16 页 -精品文档精品文档C甲车以 80 千米/小时的速度行驶1 小时，消耗10 升汽油D某城市机动车最高限速80 千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油考点：函数的图象与图象变化专题：创新题型；函数的性质及应用分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可解答：解：对于选项A，消耗 1 升汽油，乙车行驶的距离比5 小的很多，故A 错误
10、；对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B 错误，对于选项C，甲车以 80 千米/小时的速度行驶1 小时，里程为80 千米，燃油效率为10，故消耗 8 升汽油，故C 错误，对于选项D，因为在速度低于80 千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故D正确点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题二、填空题（每小题5 分，共 30 分）9（5 分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40（用数字作答）考点：二项式定理的应用专题：二项式定理分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x 的指数为 3，求出 r，然后求解所求数值解答：解：（
11、2+x）5的展开式的通项公式为：Tr+1=25rxr，所求 x3的系数为：=40故答案为：40点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力10（5 分）（2015?北京）已知双曲线 y2=1（a0）的一条渐近线为x+y=0，则 a=考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：运用双曲线的渐近线方程为y=，结合条件可得=，即可得到a 的值解答：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 6 页，共 16 页 -精品文档精品文档解：双曲线y2=1 的渐近线方程为y=，由题意可得=，解得 a=故答案为：点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方
12、程的求法，属于基础题11（5 分）（2015?北京）在极坐标系中，点（2，）到直线 （cos+sin）=6 的距离为1考点：简单曲线的极坐标方程专题：坐标系和参数方程分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出解答：解：点 P（2，）化为 P直线 （cos+sin）=6 化为点 P 到直线的距离d=1故答案为：1点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题12（5 分）（2015?北京）在 ABC 中，a=4，b=5，c=6，则=1考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理专题：计算题；解三角形分析：利用余弦定理求出cosC，co
13、sA，即可得出结论解答：解：ABC 中，a=4，b=5，c=6，cosC=，cosA=sinC=，sinA=，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 7 页，共 16 页 -精品文档精品文档=1故答案为：1点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础13（5 分）（2015?北京）在 ABC 中，点 M，N 满足=2，=，若=x+y，则 x=，y=考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到 x，y 值解答：解：由已知得到=；由平面向量基本定理，得到x=，y=；故答案为：点评：本题考查了平面
14、向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立14（5 分）（2015?北京）设函数f（x）=，若 a=1，则 f（x）的最小值为1；若 f（x）恰有 2 个零点，则实数a的取值范围是 a1 或 a 2考点：函数的零点；分段函数的应用专题：创新题型；函数的性质及应用分析：分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；分别设 h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a），分两种情况讨论，即可求出a的范围解答：解：当 a=1 时，f（x）=，当 x 1 时，f（x）=2x1 为增函数，f（x）1，当 x 1 时，f（x）=4（x1）（x2）=4（x2
15、3x+2）=4（x）21，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 8 页，共 16 页 -精品文档精品文档当 1 x时，函数单调递减，当x时，函数单调递增，故当 x=时，f（x）min=f（）=1，设 h（x）=2xa，g（x）=4（xa）（x2a）若在 x1 时，h（x）=与 x 轴有一个交点，所以 a0，并且当x=1 时，h（1）=2a0，所以 0a2，而函数 g（x）=4（xa）（x2a）有一个交点，所以2a 1，且 a1，所以 a1，若函数 h（x）=2xa 在 x1 时，与 x 轴没有交点，则函数 g（x）=4（xa）（x2a）有两个交点，当 a 0 时，h（x）与 x 轴
16、无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），当 h（1）=2a 时，即 a 2 时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题意的，综上所述a 的取值范围是 a1，或 a 2点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题三、解答题（共6 小题，共 80 分）15（13 分）（2015?北京）已知函数f（x）=sin cossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间 ，0上的最小值考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质分析：（）运用
17、二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；（）由x 的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值解答：解：（）f（x）=sincos sin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），则 f（x）的最小正周期为2；（）由 x 0，可得 x+，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 9 页，共 16 页 -精品文档精品文档即有 1，则当 x=时，sin（x+）取得最小值1，则有 f（x）在区间 ，0上的最小值为1点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，
18、属于中档题16（13 分）（2015?北京）A，B 两组各有 7 位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：A 组：10，11，12，13，14，15，16 B 组；12，13，15，16，17，14，a 假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B 两组随机各选1 人，A 组选出的人记为甲，B组选出的人记为乙（）求甲的康复时间不少于14 天的概率；（）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（）当a为何值时，A，B 两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：设事件 Ai为“甲是 A 组的第 i
19、 个人”，事件 Bi为“乙是 B 组的第 i 个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，?，7（）事件等价于“甲是 A 组的第 5 或第 6 或第 7 个人”，由概率公式可得；（）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间长”C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，易得 P（C）=10P（A4B1），易得答案；（）由方差的公式可得解答：解：设事件 Ai为“甲是 A 组的第 i 个人”，事件 Bi为“乙是 B 组的第 i 个人”，由题意可知P（Ai）=P（Bi）=，i=1，2，?，7（）事件“甲的康复时间不少于14 天”等价于“甲是 A 组的第
20、 5 或第 6 或第 7 个人”甲的康复时间不少于14 天的概率 P（A5A6A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；（）设事件C 为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，则 C=A4B1A5B1A6B1A7B1A5B2A6B2A7B2A7B3A6B6A7B6，P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=（）当a 为 11 或 18 时，A，B 两组病人康复时间的方差相等点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公
21、式和方差，属基础题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 10 页，共 16 页 -精品文档精品文档17（14 分）（2015?北京）如图，在四棱锥AEFCB 中，AEF 为等边三角形，平面 AEF 平面 EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O 为 EF 的中点（）求证：AO BE（）求二面角FAEB 的余弦值；（）若 BE平面 AOC，求 a 的值考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质专题：空间位置关系与距离；空间角分析：（）根据线面垂直的性质定理即可证明AO BE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB 的余弦
22、值；（）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a 的值解答：证明：（）AEF 为等边三角形，O 为 EF 的中点，AOEF，平面 AEF平面 EFCB，AO?平面 AEF，AO平面 EFCB AOBE（）取BC 的中点 G，连接 OG，EFCB 是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面 EFCB，OG?平面 EFCB，OA OG，建立如图的空间坐标系，则 OE=a，BG=2，GH=a，BH=2 a，EH=BHtan60 =，则 E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，0），=（a，0，a），=（a2，0），设平面 AEB 的法向量为=（x，y，z），则，即，令 z=1，则 x=，y=1，名师资
23、料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 11 页，共 16 页 -精品文档精品文档即=（，1，1），平面 AEF 的法向量为，则 cos=即二面角FAEB 的余弦值为；（）若BE平面 AOC，则 BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得 a=点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法18（13 分）（2015?北京）已知函数f（x）=ln，名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 12 页，共 16 页 -精品文档精品文档（）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（）求
24、证，当x（0，1）时，f（x）；（）设实数k 使得 f（x）对 x（0，1）恒成立，求k 的最大值考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立（3）对 k 进行讨论，利用新函数的单调性求参数k 的取值范围解答：解答：（1）因为 f（x）=ln（1+x）ln（1x）所以又因为 f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程为y=2x（2）证明：令g（x）=f（x）2（x+），则g（x）=f（x）2（1+x2）=，因为 g（x）0（0 x1
25、），所以 g（x）在区间（0，1）上单调递增所以 g（x）g（0）=0，x（0，1），即当 x（0，1）时，f（x）2（x+）（3）由（2）知，当 k 2 时，f（x）对 x（0，1）恒成立当 k 2 时，令 h（x）=f（x），则h（x）=f（x）k（1+x2）=，所以当时，h（x）0，因此 h（x）在区间（0，）上单调递减当时，h（x）h（0）=0，即 f（x）所以当 k2 时，f（x）并非对 x（0，1）恒成立综上所知，k 的最大值为2点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明在高考中属常考题型，难度适中名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 13 页，共 16
26、 页 -精品文档精品文档19（14 分）（2015?北京）已知椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，点 P（0，1）和点 A（m，n）（m 0）都在椭圆C 上，直线 PA 交 x 轴于点 M（）求椭圆C 的方程，并求点M 的坐标（用m，n 表示）；（）设 O 为原点，点B 与点 A 关于 x 轴对称，直线PB 交 x 轴于点 N，问：y 轴上是否存在点 Q，使得 OQM=ONQ？若存在，求点Q 的坐标，若不存在，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可（II）求解得出M（
27、，0），N（，0），运用图形得出tanOQM=tan ONQ，=，求解即可得出即yQ2=xM?xN，+n2，根据 m，m 的关系整体求解解答：解：（）由题意得出解得：a=，b=1，c=1+y2=1，P（0，1）和点 A（m，n），1n1 PA 的方程为：y1=x，y=0 时，xM=M（，0）（II）点 B 与点 A 关于 x 轴对称，点A（m，n）（m 0）点 B（m，n）（m 0）直线 PB 交 x 轴于点 N，N（，0），名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 14 页，共 16 页 -精品文档精品文档存在点Q，使得 OQM=ONQ，Q（0，yQ），tanOQM=tan ONQ，
28、=，即 yQ2=xM?xN，+n2=1 yQ2=2，yQ=，故 y 轴上存在点Q，使得 OQM=ONQ，Q（0，）或 Q（0，）点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题20（13 分）（2015?北京）已知数列 an满足：a1 N*，a1 36，且 an+1=（n=1，2，），记集合 M=an|n N*（）若a1=6，写出集合M 的所有元素；（）如集合M 存在一个元素是3 的倍数，证明：M 的所有元素都是3的倍数；（）求集合M 的元素个数的最大值考点：数列递推式专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法分析：（）a1=6
29、，利用 an+1=可求得集合M 的所有元素为6，12，24；（）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是 3 的倍数，由an+1=（n=1，2，），可归纳证明对任意n k，an是 3 的倍数；（）分 a1是 3 的倍数与 a1不是 3 的倍数讨论，即可求得集合M 的元素个数的最大值名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 15 页，共 16 页 -精品文档精品文档解答：解：（）若 a1=6，由于 an+1=（n=1，2，），M=an|n N*故集合 M 的所有元素为6，12，24；（）因为集合M 存在一个元素是3 的倍数，所以不妨设ak是 3 的倍数，由an+1=（n=1
30、，2，），可归纳证明对任意n k，an是 3 的倍数如果 k=1，M 的所有元素都是3 的倍数；如果 k1，因为 ak=2ak1，或 ak=2ak136，所以 2ak1是 3 的倍数；于是ak1是 3的倍数；类似可得，ak2，a1都是 3 的倍数；从而对任意n 1，an是 3 的倍数；综上，若集合M 存在一个元素是3 的倍数，则集合M 的所有元素都是3 的倍数（）对 a1 36，an=（n=1，2，），可归纳证明对任意n k，an 36（n=2，3，）因为 a1是正整数，a2=，所以 a2是 2 的倍数从而当 n 3 时，an是 2 的倍数如果 a1是 3 的倍数，由（）知，对所有正整数n，an是 3 的倍数因此当 n 3 时，an 12，24，36，这时 M 的元素个数不超过5如果 a1不是 3 的倍数，由（）知，对所有正整数n，an不是 3 的倍数因此当 n 3 时，an 4，8，16，20，28，32，这时 M 的元素个数不超过8当 a1=1 时，M=1，2，4，8，16，20，28，32，有 8 个元素综上可知，集合M 的元素个数的最大值为8点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 16 页，共 16 页 -