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1、14.抛物线的参数方程主备：审核：学习目标：1.了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义；2.掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题.学习重点：椭圆参数方程的应用，学习难点：椭圆参数方程中参数的意义.学习过程：一、课前准备：阅读教材3334PP的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题：1.将下列参数方程化为普通方程：（1）223xtytt（t为参数），答：253xxy；（2）224xmym（m为参数），答：28xy.2.将下列普通方程化为参数方程：（1）22xy，其中1xtt（t为参数），答：221224xttytt；（2）234yx，其中xt（0t为参数），答：2 33xt
2、ty.二、新课导学：（一）新知：抛物线的参数方程的推导过程：如图：设(,)M x y为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线OM为终边的角记为，当在(,)22内变化时，点M在抛物线上运动，并且对于的每一个值，在抛物线上都有唯一的M点与对应.因此，可以取为参数探求抛物线的参数方程.根据三角函数的定义得，tanyx，即tanyx，联立22ypx，得22tan2tanpxpy（为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁，设1tant，(,0)(0,)tU，则222xptypt（t为参数），当0t时，由参数方程得，正好为顶点(0,0)O，因此当(,)t时，上式为22ypx的参数方程.注
3、意：参数t的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.动动手：（1）选择适当的参数t，建立抛物线22xpy的参数方程.yxOM(x,y)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 1 页，共 4 页 -【解析】如图，(0,)(,)22U，根据三角函数的定义得，tanytx，即yxt，联立22xpy，得222xptypt（t为参数）.（2）可选择M到准线的距离t为参数，22ypx的参数方程是怎样的？【解析】如图，|MAt，则2pxt，代入抛物线方程，得22yptt，所以，抛物线的参数方程为222pxtyptt（t为参数）.（二）典型例题：【例 1】A、B是抛物线22
4、yx上异于顶点的两动点，且OAOB，OMAB并与AB相交于M，求点M的轨迹方程.【解析】方法一：设(,)M x y，211(2,2)Att，222(2,2)Btt1212(,0)tttt且.由OAOBuuu ruuu r，所以0OA OBuuu ru uu r，221 21 2(2)20t tt t，1 21t t又OMABuuu u ruu u r，所以0OMABuuuu r uuu r，2221212()2()0 x tttt.所以12()0 x tty，12(0)yttxx又211(2,2)AMxtytuuuu r，222(2,2)MBtxtyu uu r且A，M，B共线.221212(
5、2)(2)(2)(2)xttyyttx，即121 2()20y ttt tx由，代入，得到2220(0)xyxx，这就是所求M点的轨迹方程.方法二：设2111(,)(0)2yAyy，2222(,)(0)2yByy，因为OAOB，所以221212022yyy y，124y y，直线AB的方程为：211122()2yyyxyy，即122(2)yxyy，所以直线AB过定点(2,0)Cp又OMAB，所以点M的轨迹是以OC为直径的圆，则M的轨迹方程为222()(0)xpypy.动动手：已知O是坐标原点，A、B是抛物线222xptypt（t为参数）上异于顶点的两动点，且OAOB，求ABM中点的轨迹方程【解
6、析】设)2,2(121ptptA，)2,2(222ptptB，由OAOB，得121tt，AyxOM(x,y)M(x,y)OxyABAyxOM(x,y)名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 2 页，共 4 页 -又中点),(yxM由)(222)(222212122212221ttpptptyttpptptx，结合121tt，得点M的方程为:)2(2pxpy.三、总结提升：1.弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.2.抛物线22(0)ypx p上任意一点可以设为2(2,2)Mptpt.3.在求轨迹方程时，可以考虑用参数的
7、方式设出动点的坐标.四、反馈练习：1.若点(3,)Pm在以点F为焦点的抛物线24()4xttyt为参数上，则PF等于（C）A2B3C4D52.抛物线22xmym（m为参数）的焦点坐标是（B）A(1,0)B(0,1)C(0,2)D(2,0)3.已知曲线22()2xpttpypt为参数为正常数,上的两点,M N对应的参数分别为12tt和，120tt且，那么MN（C）A1p tB12p tC14p tD18p t4.若曲线222xptypt（t为参数）上异于原点的不同的两点1M、2M所对应的参数分别是1t、2t，求12M M所在直线的斜率.【解析】由于1M、2M所对应的参数分别是1t、2t，所以可设
8、两点1M、2M坐标分别为22111222(2,2),(2,2)MptptMptpt，所以，112222121222122M Mptptkptpttt.5.A、B是抛物线22yx上异于顶点的两动点，且OAOB，点A、B在什么位置时，AOB的面积最小？最小值是多少？【解析】设211(2,2)Att，222(2,2)Btt1212(,0)tttt且，则211|2|1OAtt，222|2|1OBtt，因为OAOB，所以1 21t t，所以221 2122|(1)(1)AOBSt ttt221222tt2122()4tt4，当且仅当12tt时，即A、B关于x轴对称时AOB面积最小，最小面积为4.五、学后反思：名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 3 页，共 4 页 -名师资料总结-精品资料欢迎下载-名师精心整理-第 4 页，共 4 页 -