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1、-沪教版初中总复习专题训练中考总复习：实数-知识讲解(提高)-第 7 页沪教版初中数学中考总复习知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习中考总复习：实数知识讲解 （提高）【考纲要求】1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小；2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用；4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.【知识网络】【考点梳理】考点一、实数的分类1.按定义
2、分类：2.按性质符号分类：有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如（m，n是整数n0）”的数叫有理数无理数：无限不循环小数叫无理数实数：有理数和无理数统称为实数要点诠释：常见的无理数有以下几种形式：（1）字母型：如是无理数，等都是无理数，而不是分数；（2）构造型：如2.10100100010000（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；（3）根式型：都是一些开方开不尽的数；（4）三角函数型：sin35、tan27、cos29等.考点二、实数的相关概念1.相反数（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数0的相反数是0；（2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与
3、原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数；（3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.2.绝对值（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0可用式子表示为： （2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数用式子表示：若a是实数，则|a|03.倒数（1)实数的倒数是；0没有倒数；（2)乘积是1的两个数互为倒数a、b互为倒数.4.平方根（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，
4、它是0本身；负数没有平方根a（a0）的平方根记作（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根a（a0）的算术平方根记作5.立方根如果x3=a，那么x叫做a的立方根一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0要点诠释：若则则表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.考点三、实数与数轴规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数要点诠释：（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度.（2）实数和数轴上的点是一一对应的.考点四、实数大小的比较1.对于数轴上的任意两
5、个点，靠右边的点所表示的数较大.2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小.3.对于实数a、b， 若a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab，bc，则ac.5.无理数的比较大小：利用平方转化为有理数：如果ab0， a2b2ab；或利用倒数转化：如比较与.要点诠释：实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.考点五、实数的运算1.加法同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对
6、值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)2.减法减去一个数等于加上这个数的相反数3.乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负几个数相乘，有一个因数为0，积就为0乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac4.除法（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数（2）两个数相除，同号得正，异号得
7、负，并把绝对值相除0除以任何一个不等于0的数都得05.乘方与开方（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，a所表示的意义是n个a相乘.正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数（2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方（3)零指数与负指数要点诠释：（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算这三级运算的顺序是三、二、一如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算（2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)
8、 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc考点六、有效数字和科学记数法1.近似数一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字.2.有效数字一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字3.科学记数法把一个数用a10（其中110，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法要点诠释：（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a10，其中110，n为负整数
9、，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.考点七、数形结合、分类讨论、建模思想1.数形结合思想实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口；2.分类讨论思想（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏；3. 从实际问题中抽象出数学模型以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.【典型例题】类型一、实数的有关概念1（2015春杭锦后旗校级期末）在下列各数中，无理数有（ ）.，0，0.5757757775
10、（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）A2个 B3个 C4个 D5个【答案】D；【解析】无理数有：，0.5757757775（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）共有5个故答案是：D【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：，2等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001，等有这样规律的数举一反三：【高清课程名称： 实数 高清ID号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题2-4】【变式】（2015安徽）与1+最接近的整数是（）A4B3C2D1【答案】B.459，23又5和4比较接近，最接近的整数是2，与1+最接近的整数是3，故选：B类型二、实数有关的计算【
11、高清课程名称： 实数 高清ID号：369214关联的位置名称（播放点名称）：经典例题8-9】2(1)有一列数，那么依此规律，第7个数是_；（2）已知依据上述规律，则 【答案】(1)； （2）.【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是.（2）【点评】(1) 规律：（n为正整数）；（2）规律：（n为正整数）.举一反三：【变式】a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数如：2的差倒数是，的差倒数是已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，依此类推，则 【答案】因为，.三个一循
12、环，因此类型三、实数大小的比较3若，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小【答案与解析】a=，b， ab【点评】通过通分进行比较.举一反三：【变式】当时，比较1b与1的大小.【答案】（1）b0时，b0或b0当b0时，1b1，当b0时，1b1.类型四、平方根的应用4已知，求的值.【答案与解析】0，0，0，. 解得 则.【点评】利用0，0，0（为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、的值，代入后本题得以解决。举一反三：【变式】已知x、y是实数，且+（y26y+9）=0，若axy3x=y，则实数a的值是（ ） A B C D【答案】A. +（y3）2=0，
13、 3x+4=0，y3=0， x=，y=3 axy3x=y，3a3（）=3， a= 答案选A.类型五、实数运算中的规律探索5在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了下面两个图框是用法国“小九九”计算89和67的两个示例（1）用法国“小九九”计算78，左、右手依次伸出手指的个数是多少？（2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算ab的正确性？【答案与解析】（1）按照题中示例可知：要计算78，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指；（2）按照题中示例可知：要计算ab，左手应伸出（a-5）个手
14、指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10，未伸出的手指数的积为（10-a）（10-b）=100-10a-10b+ab根据题中的规则，ab的结果为10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）而10（a+b-10）+（100-10a-10b+ab）=10a+10b-100+100-10a-10b+ab=ab所以用题中给出的规则计算ab是正确的【点评】此题是定义新运算题型通过阅读规则，得出一般结论解题关键是对号入座不要找错对应关系6探究数字“黑洞”：“黑洞”原
15、指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（）A363 B153 C159 D456【答案】B；【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到1
16、41；第四次得到66；第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153故选B【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求的黑洞数可以任意找一个3的倍数，如6第一次立方后得到216；第二次得到225；第十次得到153；开始重复，则可知T=153举一反三：【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：（1）第四个图形中火柴棒的根数是 ；（2）第个图形中火柴棒的根数是 .【答案】（1）13；（2）.【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数；当按顺序从第个数到第个数（）时，共数了 个数。【答案】5；.