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1、-小学奥数-几何五大模型(鸟头模型)-第 3 页三角形等高模型与鸟头模型模型二 鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比如图在中,分别是上的点如图 (或在的延长线上,在上如图 2),则图 图【例 1】 如图在中,分别是上的点,且,平方厘米,求的面积【解析】 连接,所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比 【巩固】如图,三角形中,是的5倍,是的3倍,如果三角形的面积等于1,
2、那么三角形的面积是多少?【解析】 连接又【巩固】如图,三角形ABC被分成了甲(阴影部分)、乙两部分,乙部分面积是甲部分面积的几倍?【解析】 连接又,【例 2】 如图在中,在的延长线上,在上,且,平方厘米,求的面积【解析】 连接, ,所以,设份,则份,平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,的面积是平方厘米由此我们得到一个重要的定理,共角定理:共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例 3】 如图所示,在平行四边形ABCD中,E为AB的中点,三角形AFE(图中阴影部分)的面积为8平方厘米平行四边形的面积是多少平方厘米?【解析】 连接FB三角形AFB面积是三角形CFB面
3、积的2倍,而三角形AFB面积是三角形AEF面积的2倍,所以三角形ABC面积是三角形AEF面积的3倍;又因为平行四边形的面积是三角形ABC面积的2倍,所以平行四边形的面积是三角形AFE面积的倍因此,平行四边形的面积为(平方厘米)【例 4】 已知的面积为平方厘米,求的面积设份,则份,份,份,份,恰好是平方厘米,所以平方厘米【例 5】 如图,三角形的面积为3平方厘米,其中,三角形的面积是多少?【解析】 由于,所以可以用共角定理,设份,份,则份, 份,由共角定理,设份,恰好是平方厘米,所以份是平方厘米,份就是平方厘米,三角形的面积是平方厘米【例 6】 (2007年”走美”五年级初赛试题)如图所示,正方
4、形边长为6厘米,三角形的面积为_平方厘米【解析】 由题意知、,可得根据”共角定理”可得,;而;所以;同理得,;,故(平方厘米)【例 7】 如图,已知三角形面积为,延长至,使;延长至,使;延长至,使,求三角形的面积【解析】 (法)本题是性质的反复使用连接、同理可得其它,最后三角形的面积(法)用共角定理在和中,与互补,又,所以同理可得,所以【例 8】 如图,平行四边形,平行四边形的面积是, 求平行四边形与四边形的面积比【解析】 连接、根据共角定理 在和中,与互补,又,所以同理可得,所以所以【例 9】 如图,四边形的面积是平方米,求四边形的面积【解析】 连接由共角定理得,即同理,即所以连接,同理可以
5、得到所以平方米【例 10】 如图,将四边形的四条边、分别延长两倍至点、,若四边形的面积为5,则四边形的面积是 【解析】 连接、由于,于是,同理于是再由于,于是,同理于是那么【例 11】 如图,在中,延长至,使,延长至,使,是的中点,若的面积是,则的面积是多少?【解析】 在和中,与互补,又,所以同理可得,所以【例 12】 如图,求【解析】 本题题目本身很简单,但它把本讲的两个重要知识点融合到一起,既可以看作是”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”的反复运用,也可以看作是找点,最妙的是其中包含了找点的种情况最后求得的面积为【例 13】 如图所示,正
6、方形边长为厘米,是的中点,是的中点,是的中点,三角形的面积是多少平方厘米?【解析】 连接、因为,根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,再根据”当两个三角形有一个角相等或互补时,这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比”,得到,所以平方厘米【例 14】 四个面积为的正六边形如图摆放,求阴影三角形的面积【解析】 如图,将原图扩展成一个大正三角形,则与都是正三角形假设正六边形的边长为为,则与的边长都是,所以大正三角形的边长为,那么它的面积为单位小正三角形面积的49倍而一个正六边形是由6个单位小正三角形组成的,所以一个单位小正三角形的面积为,三角形的面积为由于,所以与三角形的面积之比为同理可知、与三角形的面积之比都为,所以的面积占三角形面积的,所以的面积的面积为【巩固】已知图中每个正六边形的面积都是1,则图中虚线围成的五边形的面积是 【解析】 从图中可以看出,虚线和虚线外的图形都等于两个正六边形的一半,也就是都等于一个正六边形的面积;虚线和虚线外的图形都等于一个正六边形的一半,那么它们合起来等于一个正六边形的面积;虚线外的图形是两个三角形,从右图中可以看出,每个三角形都是一个正六边形面积的,所以虚线外图形的面积等于,所以五边形的面积是