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1、-大学高等数学知识点-第 21 页大学高等数学知识点整理公式，用法合集极限与连续一. 数列函数: 1. 类型: (1)数列: *; * (2)初等函数: (3)分段函数: *; *;* (4)复合(含)函数: (5)隐式(方程): (6)参式(数一,二): (7)变限积分函数: (8)级数和函数(数一,三): 2. 特征(几何): (1)单调性与有界性(判别); (单调定号) (2)奇偶性与周期性(应用). 3. 反函数与直接函数: 二. 极限性质: 1. 类型: *; *(含); *(含) 2. 无穷小与无穷大(注: 无穷量): 3. 未定型: 4. 性质: *有界性, *保号性, *归并性
2、三. 常用结论: 四. 必备公式: 1. 等价无穷小: 当时, 2. 泰勒公式: (1); (2); (3); (4); (5).五. 常规方法: 前提: (1)准确判断(其它如:); (2)变量代换(如:) 1. 抓大弃小, 2. 无穷小与有界量乘积 () (注:) 3. 处理(其它如:) 4. 左右极限(包括): (1); (2); ; (3)分段函数: , , 5. 无穷小等价替换(因式中的无穷小)(注: 非零因子) 6. 洛必达法则 (1)先”处理”,后法则(最后方法); (注意对比: 与) (2)幂指型处理: (如: ) (3)含变限积分; (4)不能用与不便用 7. 泰勒公式(皮亚
3、诺余项): 处理和式中的无穷小 8. 极限函数: (分段函数)六. 非常手段 1. 收敛准则: (1) (2)双边夹: *, * (3)单边挤: * * * 2. 导数定义(洛必达?): 3. 积分和: , 4. 中值定理: 5. 级数和(数一三): (1)收敛, (如) (2), (3)与同敛散七. 常见应用: 1. 无穷小比较(等价,阶): * (1) (2) 2. 渐近线(含斜): (1) (2),() 3. 连续性: (1)间断点判别(个数); (2)分段函数连续性(附:极限函数, 连续性)八. 上连续函数性质 1. 连通性: (注:, “平均”值:) 2. 介值定理: (附: 达布定
4、理) (1)零点存在定理: (根的个数); (2). 第二讲:导数及应用(一元)(含中值定理)一. 基本概念: 1. 差商与导数: ; (1) (注:连续) (2)左右导: ; (3)可导与连续; (在处, 连续不可导; 可导) 2. 微分与导数: (1)可微可导; (2)比较与的大小比较(图示);二. 求导准备: 1. 基本初等函数求导公式; (注: ) 2. 法则: (1)四则运算; (2)复合法则; (3)反函数三. 各类求导(方法步骤): 1. 定义导: (1)与; (2)分段函数左右导; (3) (注: , 求:及的连续性) 2. 初等导(公式加法则): (1), 求:(图形题);
5、(2), 求: (注: ) (3),求及 (待定系数) 3. 隐式()导: (1)存在定理; (2)微分法(一阶微分的形式不变性). (3)对数求导法. 4. 参式导(数一,二): , 求: 5. 高阶导公式: 注: 与泰勒展式: 四. 各类应用: 1. 斜率与切线(法线); (区别: 上点和过点的切线) 2. 物理: (相对)变化率速度; 3. 曲率(数一二): (曲率半径, 曲率中心, 曲率圆) 4. 边际与弹性(数三): (附: 需求, 收益, 成本, 利润)五. 单调性与极值(必求导) 1. 判别(驻点): (1) ; ; (2)分段函数的单调性 (3)零点唯一; 驻点唯一(必为极值,
6、最值). 2. 极值点: (1)表格(变号); (由的特点) (2)二阶导() 注(1)与的匹配(图形中包含的信息); (2)实例: 由确定点“”的特点. (3)闭域上最值(应用例: 与定积分几何应用相结合, 求最优) 3. 不等式证明() (1)区别: *单变量与双变量? *与? (2)类型: *; * (3)注意: 单调性端点值极值凹凸性. (如: ) 4. 函数的零点个数: 单调介值六. 凹凸与拐点(必求导!): 1. 表格; () 2. 应用: (1)泰勒估计; (2)单调; (3)凹凸.七. 罗尔定理与辅助函数: (注: 最值点必为驻点) 1. 结论: 2. 辅助函数构造实例: (1
7、) (2) (3) (4); 3. 有个零点有个零点 4. 特例: 证明的常规方法:令有个零点(待定) 5. 注: 含时,分家!(柯西定理) 6. 附(达布定理): 在可导,使:八. 拉格朗日中值定理 1. 结论: ; () 2. 估计: 九. 泰勒公式(连接之间的桥梁) 1. 结论: ; 2. 应用: 在已知或值时进行积分估计十. 积分中值定理(附:广义): 注:有定积分(不含变限)条件时使用 第三讲: 一元积分学一. 基本概念: 1. 原函数: (1); (2); (3) 注(1)(连续不一定可导); (2) (连续) 2. 不定积分性质: (1); (2); 二. 不定积分常规方法 1.
8、 熟悉基本积分公式 2. 基本方法: 拆(线性性) 3. 凑微法(基础): 要求巧,简,活() 如: 4. 变量代换: (1)常用(三角代换,根式代换,倒代换): (2)作用与引伸(化简): 5. 分部积分(巧用): (1)含需求导的被积函数(如); (2)“反对幂三指”: (3)特别: (*已知的原函数为; *已知) 6. 特例: (1); (2)快速法; (3)三. 定积分: 1. 概念性质: (1)积分和式(可积的必要条件:有界, 充分条件:连续) (2)几何意义(面积,对称性,周期性,积分中值) (3)附: , ) (4)定积分与变限积分, 反常积分的区别联系与侧重 2: 变限积分的处
9、理(重点) (1)可积连续, 连续可导 (2); ; (3)由函数参与的求导, 极限, 极值, 积分(方程)问题 3. 公式: (在上必须连续!) 注: (1)分段积分, 对称性(奇偶), 周期性 (2)有理式, 三角式, 根式 (3)含的方程. 4. 变量代换: (1), (2) (如:) (3), (4); , (5), 5. 分部积分 (1)准备时“凑常数” (2)已知或时, 求 6. 附: 三角函数系的正交性:四. 反常积分: 1. 类型: (1) (连续) (2): (在处为无穷间断) 2. 敛散; 3. 计算: 积分法公式极限(可换元与分部) 4. 特例: (1); (2)五. 应
10、用: (柱体侧面积除外) 1. 面积, (1) (2); (3); (4)侧面积: 2. 体积: (1); (2) (3)与 3. 弧长: (1) (2) (3): 4. 物理(数一,二)功,引力,水压力,质心, 5. 平均值(中值定理): (1); (2), (以为周期:) 第四讲: 微分方程一. 基本概念 1. 常识: 通解, 初值问题与特解(注: 应用题中的隐含条件) 2. 变换方程: (1)令(如欧拉方程) (2)令(如伯努利方程) 3. 建立方程(应用题)的能力二. 一阶方程: 1. 形式: (1); (2); (3) 2. 变量分离型: (1)解法: (2)“偏”微分方程: ; 3
11、. 一阶线性(重点): (1)解法(积分因子法): (2)变化: ; (3)推广: 伯努利(数一) 4. 齐次方程: (1)解法: (2)特例: 5. 全微分方程(数一): 且 6. 一阶差分方程(数三): 三. 二阶降阶方程 1. : 2. : 令 3. : 令四. 高阶线性方程: 1. 通解结构: (1)齐次解: (2)非齐次特解: 2. 常系数方程: (1)特征方程与特征根: (2)非齐次特解形式确定: 待定系数; (附: 的算子法) (3)由已知解反求方程. 3. 欧拉方程(数一): , 令五. 应用(注意初始条件): 1. 几何应用(斜率, 弧长, 曲率, 面积, 体积); 注: 切
12、线和法线的截距 2. 积分等式变方程(含变限积分); 可设 3. 导数定义立方程: 含双变量条件的方程 4. 变化率(速度) 5. 6. 路径无关得方程(数一): 7. 级数与方程: (1)幂级数求和; (2)方程的幂级数解法: 8. 弹性问题(数三) 第五讲: 多元微分与二重积分一. 二元微分学概念 1. 极限, 连续, 单变量连续, 偏导, 全微分, 偏导连续(必要条件与充分条件), (1) (2) (3) (判别可微性) 注: 点处的偏导数与全微分的极限定义: 2. 特例: (1): 点处可导不连续; (2): 点处连续可导不可微;二. 偏导数与全微分的计算: 1. 显函数一,二阶偏导:
13、 注: (1)型; (2); (3)含变限积分 2. 复合函数的一,二阶偏导(重点): 熟练掌握记号的准确使用 3. 隐函数(由方程或方程组确定): (1)形式: *; * (存在定理) (2)微分法(熟练掌握一阶微分的形式不变性): (要求: 二阶导) (3)注: 与的及时代入 (4)会变换方程.三. 二元极值(定义?); 1. 二元极值(显式或隐式): (1)必要条件(驻点); (2)充分条件(判别) 2. 条件极值(拉格朗日乘数法) (注: 应用) (1)目标函数与约束条件: , (或: 多条件) (2)求解步骤: , 求驻点即可. 3. 有界闭域上最值(重点). (1) (2)实例:
14、距离问题四. 二重积分计算: 1. 概念与性质(“积”前工作): (1), (2)对称性(熟练掌握): *域轴对称; *奇偶对称; *字母轮换对称; *重心坐标; (3)“分块”积分: *; *分片定义; *奇偶 2. 计算(化二次积分): (1)直角坐标与极坐标选择(转换): 以“”为主; (2)交换积分次序(熟练掌握). 3. 极坐标使用(转换): 附: ; ; 双纽线 4. 特例: (1)单变量: 或 (2)利用重心求积分: 要求: 题型, 且已知的面积与重心 5. 无界域上的反常二重积分(数三)五: 一类积分的应用(): 1. “尺寸”: (1); (2)曲面面积(除柱体侧面); 2.
15、 质量, 重心(形心), 转动惯量; 3. 为三重积分, 格林公式, 曲面投影作准备. 第六讲: 无穷级数(数一,三)一. 级数概念 1. 定义: (1), (2); (3) (如) 注: (1); (2)(或); (3)“伸缩”级数:收敛收敛. 2. 性质: (1)收敛的必要条件: ; (2)加括号后发散, 则原级数必发散(交错级数的讨论); (3); 二. 正项级数 1. 正项级数: (1)定义: ; (2)特征: ; (3)收敛(有界) 2. 标准级数: (1), (2), (3) 3. 审敛方法: (注:,) (1)比较法(原理):(估计), 如; (2)比值与根值: * * (应用:
16、 幂级数收敛半径计算)三. 交错级数(含一般项): () 1. “审”前考察: (1) (2); (3)绝对(条件)收敛? 注: 若,则发散 2. 标准级数: (1); (2); (3) 3. 莱布尼兹审敛法(收敛?) (1)前提: 发散; (2)条件: ; (3)结论: 条件收敛. 4. 补充方法: (1)加括号后发散, 则原级数必发散; (2). 5. 注意事项: 对比 ; ; ; 之间的敛散关系四. 幂级数: 1. 常见形式: (1), (2), (3) 2. 阿贝尔定理: (1)结论: 敛; 散 (2)注: 当条件收敛时 3. 收敛半径,区间,收敛域(求和前的准备) 注(1)与同收敛半
17、径 (2)与之间的转换 4. 幂级数展开法: (1)前提: 熟记公式(双向,标明敛域) (2)分解: (注:中心移动) (特别: ) (3)考察导函数: (4)考察原函数: 5. 幂级数求和法(注: *先求收敛域, *变量替换): (1) (2),(注意首项变化) (3), (4)的微分方程 (5)应用:. 6. 方程的幂级数解法 7. 经济应用(数三): (1)复利: ; (2)现值: 五. 傅里叶级数(数一): () 1. 傅氏级数(三角级数): 2. 充分条件(收敛定理): (1)由(和函数) (2) 3. 系数公式: 4. 题型: (注: ) (1)且(分段表示) (2)或 (3)正弦
18、或余弦 *(4)()*5. 6. 附产品: 第七讲: 向量,偏导应用与方向导(数一)一. 向量基本运算 1. ; (平行) 2. ; (单位向量(方向余弦) ) 3. ; (投影:; 垂直:; 夹角:) 4. ; (法向:; 面积:)二. 平面与直线 1.平面 (1)特征(基本量): (2)方程(点法式): (3)其它: *截距式; *三点式 2.直线 (1)特征(基本量): (2)方程(点向式): (3)一般方程(交面式): (4)其它: *二点式; *参数式;(附: 线段的参数表示:) 3. 实用方法: (1)平面束方程: (2)距离公式: 如点到平面的距离 (3)对称问题; (4)投影问
19、题.三. 曲面与空间曲线(准备) 1. 曲面 (1)形式: 或; (注: 柱面) (2)法向 (或) 2. 曲线 (1)形式, 或; (2)切向: (或) 3. 应用 (1)交线, 投影柱面与投影曲线; (2)旋转面计算: 参式曲线绕坐标轴旋转; (3)锥面计算.四. 常用二次曲面 1. 圆柱面: 2. 球面: 变形: , , 3. 锥面: 变形: , 4. 抛物面: , 变形: , 5. 双曲面: 6. 马鞍面: , 或五. 偏导几何应用 1. 曲面 (1)法向: , 注: (2)切平面与法线: 2. 曲线 (1)切向: (2)切线与法平面 3. 综合: , 六. 方向导与梯度(重点) 1.
20、 方向导(方向斜率): (1)定义(条件): (2)计算(充分条件:可微): 附: (3)附: 2. 梯度(取得最大斜率值的方向) : (1)计算: (2)结论 取为最大变化率方向; 为最大方向导数值. 第八讲: 三重积分与线面积分(数一)一. 三重积分() 1. 域的特征(不涉及复杂空间域): (1)对称性(重点): 含: 关于坐标面; 关于变量; 关于重心 (2)投影法: (3)截面法: (4)其它: 长方体, 四面体, 椭球 2. 的特征: (1)单变量, (2), (3), (4) 3. 选择最适合方法: (1)“积”前: *; *利用对称性(重点) (2)截面法(旋转体): (细腰或
21、中空, , ) (3)投影法(直柱体): (4)球坐标(球或锥体): , (5)重心法(): 4. 应用问题: (1)同第一类积分: 质量, 质心, 转动惯量, 引力 (2)公式二. 第一类线积分() 1. “积”前准备: (1); (2)对称性; (3)代入“”表达式 2. 计算公式: 3. 补充说明: (1)重心法: ; (2)与第二类互换: 4. 应用范围 (1)第一类积分 (2)柱体侧面积 三. 第一类面积分() 1. “积”前工作(重点): (1); (代入) (2)对称性(如: 字母轮换, 重心) (3)分片 2. 计算公式: (1) (2)与第二类互换: 四: 第二类曲线积分(1
22、): (其中有向) 1. 直接计算: , 常见(1)水平线与垂直线; (2) 2. Green公式: (1); (2): *换路径; *围路径 (3)(但内有奇点) (变形) 3. 推广(路径无关性): (1)(微分方程)(道路变形原理) (2)与路径无关(待定): 微分方程. 4. 应用 功(环流量): (有向,)五. 第二类曲面积分: 1. 定义: , 或 (其中含侧) 2. 计算: (1)定向投影(单项): , 其中(特别:水平面); 注: 垂直侧面, 双层分隔 (2)合一投影(多项,单层): (3)化第一类(不投影): 3. 公式及其应用: (1)散度计算: (2)公式: 封闭外侧, 内无奇点 (3)注: *补充“盖”平面:; *封闭曲面变形(含奇点) 4. 通量与积分: (有向,)六: 第二类曲线积分(2): 1. 参数式曲线: 直接计算(代入) 注(1)当时, 可任选路径; (2)功(环流量): 2. Stokes公式: (要求: 为交面式(有向), 所张曲面含侧) (1)旋度计算: (2)交面式(一般含平面)封闭曲线: 同侧法向或; (3)Stokes公式(选择): ()化为; ()化为; ()化为