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1、-大学物理2-1第四章(刚体力学)习题答案-第 8 页习 题 四4-1 一飞轮的半径为2m，用一条一端系有重物的绳子绕在飞轮上，飞轮可绕水平轴转动，飞轮与绳子无相对滑动。当重物下落时可使飞轮旋转起来。若重物下落的距离由方程给出，其中。试求飞轮在t时刻的角速度和角加速度。解 设重物的加速度为，t时刻飞轮的角速度和角加速度分别为和，则因为飞轮与绳子之间无相对滑动，所以 则 由题意知 t=0时刻飞轮的角速度所以 4-2 一飞轮从静止开始加速，在6s内其角速度均匀地增加到200，然后以这个速度匀速旋转一段时间，再予以制动，其角速度均匀减小。又过了5s后，飞轮停止转动。若该飞轮总共转了100转，求共运转
2、了多少时间?解 分三个阶段进行分析10 加速阶段。由题意知 和 得 20 匀速旋转阶段。 30 制动阶段。 由题意知 联立得到 所以 因此转动的总时间 4-3 历史上用旋转齿轮法测量光速的原理如下：用一束光通过匀速旋转的齿轮边缘的齿孔A，到达远处的镜面反射后又回到齿轮上。设齿轮的半径为5cm，边缘上的齿孔数为500个，齿轮的转速，使反射光恰好通过与A相邻的齿孔B。(1)若测得这时齿轮的角速度为600，齿轮到反射镜的距离为500 m，那么测得的光速是多大?(2)齿轮边缘上一点的线速度和加速度是多大?解 (1) 齿轮由A转到B孔所需要的时间 所以光速 (2)齿轮边缘上一点的线速度 齿轮边缘上一点的
3、加速度 4-4 刚体上一点随刚体绕定轴转动。已知该点转过的距离s与时间t的关系为 。求证它的切向加速度每经过时间均匀增加。证明 该点的切向加速度 所以 因此，切向加速度每经过时间均匀增加4-5 如图所示的一块均匀的长方形薄板，边长分别为a、b。中心O取为原点，坐标系如图所示。设薄板的质量为M，求证薄板对Ox轴、Oy轴和Oz轴的转动惯量分别为解 根据转动惯量的定义 对 取图示微元，有 同理可得 对于 4-6 一个半圆形薄板的质量为m、半径为R，当它绕着它的直径边转动时，其转动惯量是多大?解 建立坐标系，取图示面积元 ，根据转动惯量的定义有4-7 一半圆形细棒，半径为R，质量为m，如图所示。求细棒
4、对轴的转动惯量。解 建立图示的坐标系，取图示线元，根据转动惯量的定义式有4-8 试求质量为m、半径为R的空心球壳对直径轴的转动惯量。解 建立如图所示的坐标系，取一的球带，它对y轴的转动惯量又 所以 此即空心球壳对直径轴的转动惯量。4-9 图示为一阿特伍德机，一细而轻的绳索跨过一定滑轮，绳的两端分别系有质量为和的物体，且。设定滑轮是质量为M，半径为r的圆盘，绳的质量及轴处摩擦不计，绳子与轮之间无相对滑动。试求物体的加速度和绳的张力。解 物体及滑轮M受力如图所示对 (1)对 (2)对 (3)又 (4) (5) (6) (7)联立（1）-（7）式，解得4-l0 绞车上装有两个连在一起的大小不同的鼓轮
5、(如图)，其质量和半径分别为m=2kg、r=0.05m，M=8kg、R=0.10m。两鼓轮可看成是质量均匀分布的圆盘，绳索质量及轴承摩擦不计。当绳端各受拉力=1 kg，=2kg时，求鼓轮的角加速度。解 根据转动定律，取顺时针方向为正 (1) (2)联立(1)，(2)式可得4-11 质量为M、半径为R的转盘，可绕铅直轴无摩擦地转动。转盘的初角速度为零。一个质量为m的人，在转盘上从静止开始沿半径为r的圆周相对圆盘匀角速走动，如果人在圆盘上走了一周回到了原位置，那么转盘相对地面转了多少角度?解一 取m和M组成的系统为研究对象，系统对固定的转轴角动量守恒。设人相对圆盘的速度为，圆盘的角速度为，设人转动
6、方向为正方向，则 (1)而 (2)联立（1）、（2）式可得人在转盘上走一周所用的时间转盘转过的角度为 负号表示方向与正方向相反。解二由角动量守恒定律可解（见上）又因为 所以代入即可4-12 如图所示，一质量为m的圆盘形工件套装在一根可转动的轴上，它们的中心线相互重合。圆盘形工件的内、外直径分别为和。该工件在外力矩作用下获得角速度，这时撤掉外力矩，工件在轴所受的阻力矩作用下最后停止转动，其间经历了时间t。试求轴处所受到的平均阻力f轴的转动惯量略而不计，圆盘形工件绕其中心轴的转动惯量为。解 根据角动量定理 联立上述三式得到 4-13 一砂轮直径为1m，质量为50kg，以900的转速转动，一工件以2
7、00 N的正压力作用于轮子的边缘上，使砂轮在11.8s内停止转动。求砂轮与工件间的摩擦系数(砂轮轴的摩擦可忽略不计，砂轮绕轴的转动惯量为，其中，m和R分别为砂轮的质量和半径)。解 根据角动量定理， 联立上述四式得到 4-14 以20的恒力矩作用于有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速由零增大到100。此时撤去该力矩，转轮因摩擦力矩的作用，又经100s而停止，试求转轮的转动惯量。解 设转轮的转动惯量为J，摩擦力矩为，则根据角动量定理考虑到本题力矩为常矢量，以外力矩方向为正方向，有 (1) (2)联立(1)、(2)式可得4-15 设流星从各个方向降落到某星球，使该星球表面均匀地积存了厚度为h的一层
8、尘埃(h比该星球的半径R小得多)。试证明：由此而引起的该星球自转周期的变化为原来的自转周期的倍。式中R是星球的半径，D和d分别为星球和尘埃的密度。解 取星球和尘埃为研究对象，在尘埃落向星球的过程中，系统的角动量守恒。设开始时星球的转动惯量为，角动量为，星球的自转周期为；当落上厚度为h的尘埃后，转动惯量为，角速度为，自转周期为，由角动量守恒得：而 得到 设尘埃对自转轴的转动惯量为，则 而 因此 所以 又因为 hR 所以 因此 4-16 如图所示的飞船以角速度绕其对称轴自由旋转，飞船的转动惯量。若宇航员想停止这种转动，启动了两个控制火箭。它们装在距转轴r1.5 m的地方。若控制火箭以=50的速率沿
9、切向向外喷气，两者总共的排气率。试问这两个切向火箭需要开动多长时间? 解 把飞船和喷出的气体当作研究系统。在喷气过程中，dt时间内喷出的气体为dm，在整个过程中，喷出的气体的总角动量为当飞船停止转动时，它的角动量为零。 (也可由系统角动量守恒得)所以 所求的时间为 4-17 一冲床飞轮的转动惯量为，转速为，每次冲压过程中，冲压所需的能量完全由飞轮供给。若一次冲压需要做功4000J，求冲压后飞轮的转速将减少至多少?解 设冲压后飞轮的转速为，由动能定理得所以 4-18 擦地板机圆盘的直径为D，以匀角速度旋转，对地板的压力为F，并假定地板所受的压力是均匀的，圆盘与地板间的摩擦系数为，试求开动擦地板机
10、所需的功率(提示：先求圆盘上任一面元所受的摩擦力矩，而整个圆盘所受摩擦力矩与角速度的乘积即是摩擦力矩的功率)。解 在圆盘上取一细圆环，半径r，宽度为dr，则其面积为此面积元受到的摩擦力为 所以此面元所受的摩擦力矩为 其方向与方向相反其大小 又因为各面元所受的摩擦力矩方向相同，所以整个圆盘所受的摩擦力矩为所以所需要的功率 4-19 如图所示，A、B两飞轮的轴可由摩擦啮合使之连结。轮A的转动惯量，开始时轮B静止，轮A以的转速转动，然后使A与B连结，轮B得以加速，而轮A减速，直至两轮的转速都等于为止。求：(1)轮B的转动惯量；(2)在啮合过程中损失的机械能是多少?解 (1)以飞轮A，B为研究对象，在啮合过程中,系统受到轴向的正压力和啮合的切向摩擦，前者对轴的力矩为零，后者对轴的力矩为系统的内力矩，整个系统对转轴的角动量守恒，按角动量守恒定律，有而 所以 在啮合的过程中，部分机械能转化为热能，损失的机械能为