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1、-七宝中学数列中的整除问题-0210(完整)-第 13 页数列中的整除问题数列中的不等关系数列中的整除问题基础知识1、 整数的基本性质（1） 整数的和、差、积仍为整数（2） 整数的奇偶性，运算规律（3） 若a,bZ,且ab，则ab-1.（4） 最小数原理：自然数集的任何非空子集，均有一个最小的自然数。2、整数性质的应用（1）若变量属于整数，则利用方程与不等式均可求出变量的值；在实数范围内，若要求得变量的值，通常要依赖方程，而不等式只能求出变量的范围，但是在整数范围内，除了方程，在不等式中也可以利用整数的离散型求出变量的值（2）整除问题：若表达式形式较为简单，可通过对常熟进行因数分解，进而确定变
2、量的取值；若表达式次数较高，则可以先利用二项式定理去掉高次的项，再进行处理。（3）多元整数不定方程：当变量的值为整数时，不定方程的解可能有有限多组解，通常处理方式有两个：通过对表达式进行因式分解，对另一侧的常数进行因数分解，进而将不定方程拆成多个方程的方程组，进而解出变量将一个字母视为变量（其余视为参数）进行参变分离，求出含变量函数的值域，进而将参数置于一个范围内，再利用整数离散型求得参数的值（4）反证法：运用反证法处理整数问题时，常见的矛盾有一下几点： 解得变量非整数，或不符合已知范围 等式两侧为一奇一偶3、 问题通常会与数列联系起来，其特征就是数列中项的序数，以及前n项和的项数，均为正整数
3、。典型例题1. 已知数列的通项公式为，若为数列中的项，则答案：2. 若数列，求的值，使得。引申探究：若将改成，试求值。答案：3. 已知数列的前项和为，且（1） 求数列的通项公式；（2） 设是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。答案：（1）；（2）4. 已知各项均为正数的数列满足，前6项依次成等差数列，从第五项起一次成等比数列（1） 求数列的通项公式；（2） 求出所有的正整数，使得答案：（1）；（2）5. 已知数列的前项和为，且满足（1） 求的值；（2） 求数列的通项公式；（3） 是否存在整数对，使得等式成立？若存在，请求出所有满足条件的；若不存在，请说明理由。答案：（1）
4、；（2）；（3）6. 已知数列是各项均不为0的等差数列，是其前项和，且满足，令，数列的前项和为（1） 求数列的通项公式及；（2） 是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，请求出所有的；若不存在，请说明理由。答案：（1），；（2）；（3）7. 已知各项均为正数的数列满足：，且（1） 设求数列的通项公式；（2） 设，求，并确定最小正整数，使得为整数。答案：（1）；（2）8. 已知为等差数列，前项和为，若（1） 求；（2） 对，将中落入区间内项的个数记为，求；记，的前项和记为，是否存在，使得成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由。答案：（1）；（2）；9. 已知数列为等差数列，数列为等比数列，
5、且对任意的，都有，若，则：（1） 求数列，的通项公式；（2） 试探究：数列中是否存在一项，它可以表示为该数列中其他项的和？若存在，请求出该项，若不存在，请说明理由。答案：（1）；（2）不成立10. 已知等差数列的首项为，公差为，对于任意的，均存在，使得成立，则答案：历年好题精选1. 用部分自然数构造如图的数表：用表示第行第个数，使得，每行中的其他各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和，设第行中的各数之和为（1） 写出，并写出与的递推关系（不要求证明）（2） 令，证明：是等比数列，并求出的通项公式；（3） 数列中是否存在不同的三项恰好成等差数列？若存在，求出的关系，若不存在，说明理由。122343
6、477451114115答案：2. 已知满足，其中是数列的前项和。（1） 若数列是首项为，公比为的等比数列，求数列的通项公式（2） 若，求数列的通项公式；（3） 在（2）的条件下，设，求证：数列中的任意一项总可以表示成该数列其他两项之积。答案：3. 已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列，数列的前项和为，且满足（1） 求数列的通项公式（2） 若，求正整数的值；（3） 是否存在正整数，使得恰好为数列中的一项？若存在，求出所有满足条件的的值，若不存在，请说明理由。答案：4. 已知数列满足（1） 求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；（2） 设数列；满足，对于任意给定的
7、正整数，是否存在正整数，使得成等差数列？若存在，试用表示；若不存在，请说明理由。答案：数列中的不等关系一、 基础知识1、 在数列中涉及到的不等关系通常与数列的最值有关，而要求得数列中的最值项，要依靠数列的单调性，所以判断数列的单调性往往是此类问题的入手点。2、 如何判断数列的单调性（1） 函数角度：从通项公式入手，将其视为关于n的函数，然后通过函数的单调性来判断数列的单调性。（2） 相邻项比较：在通项公式不便于直接分析单调性时，可考虑进行相邻项的比较得出数列的单调性。通常的手段就是作差或作商典型例题1. 已知数列，前项和满足（1） 求的通项公式；（2） 设，若数列是单调递减数列，求实数的取值范
8、围。答案：（1）；（2）2. 已知数列中，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则整数的最小值是（）A. 5B. 4C. 3D. 2答案：B3. 已知数列,满足，若为等比数列，且（1） 求；（2） 设，记数列的前项和为 求 求正整数，使得对于，均有答案：（1）；（2）；4. 已知数列的前项和为，且，数列满足，其前9项和为63（1） 求；（2） 设，记数列的前项和为，对，均有，求最小值。答案：（1）；（2）5. 数列的前项和，数列满足，其前9项和为63（1） 求数列的通项公式；（2） 求证：当时，数列为等比数列；（3） 在（2）的条件下，设数列的前项和为，若数列中只有最小，求的取值范围。答案：（1
9、）；（2）略；（3）6. 设为数列的前项和，且（1） 求数列的通项公式；（2） 设数列的前项和为，若存在正数，使得对任意整数都有成立，求的最大值。答案：（1）；（2）177. 已知各项都为整数的数列的前项和为，且对任意的都有（其中且为常数），记数列的前项和为（1） 求数列的通项公式及；（2） 当时，将数列的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前三项，记的前项和为，若存在，使得对任意都有恒成立，求实数的取值范围。答案：（1）；（2）8. 已知数列的前项和，数列满足（1） 求证：数列的是等差数列，并求数列的通项公式；（2） 设数列满足（为非零整数，）问是否存在整数使得对任意，都有
10、答案：（1）；（2）9. 已知数列的前项和为，且（1） 求的通项公式；（2） 设，若集合恰有4个元素，则实数的取值范围。答案：（1）；（2）10. 已知数列满足（1） 当时，求数列的前项和；（2） 若对任意，都有成立，求的取值范围。答案：（1），为奇数；，为偶数；（2）数列中的不等关系 历年好题1. 已知数列的前项和为，且（1） 若，求数列的前项和；（2） 若，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（3） 记，若对任意的恒成立，求实数的最大值。答案：2. 已知数列是首项的等比数列，其前项和中成等差数列（1） 求数列的通项公式；（2） 设，若，求证：答案：3. 已知数列满足：，（1） 证明：数列
11、为等比数列；（2） 求数列的通项公式；（3） 设（为非零整数），试确定的值，使得对任意，都有成立。答案：4. 已知数列中，（为非零常数），其前项和满足（1） 求数列的通项公式；（2） 若，且，求的值；（3） 是否存在实数使得对任意正整数，数列中满足的最大项恰为第项？若存在，分别求出的取值范围；若不存在，请说明理由。答案：5. 数列的前项和为，且对一切正整数都有（1） 求证：；（2） 求数列的通项公式；（3） 是否存在实数，使得不等式对一切正整数都成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由。答案：6. 已知函数，数列满足（1） 求的通项公式；（2） 令，若对一切成立，求最小正整数；答案：
12、7. 已知数列的前项和为，且，数列满足，对任意，都有（1） 求数列，的通项公式；（2） 令，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围。答案：新信息背景下的数列问题一、 基础知识1、 问题常涉及的知识点（1） 等差数列与等比数列的性质和求和公式（2） 数列的单调性（3） 放缩法证明不等式（4） 简单的有关整数论（5） 数学归纳法与反证法2、 解决此类问题的一些技巧（1） 此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义域背景，第（2）（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用。
13、（2） 尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是所学的一些基础知识与方法。所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索。（3） 在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中发现重复情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循。典型例题1. 定义：若对任意，数列的前项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别的，存在，使得数列的前项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”；（1） 若数列为“部分平方数列”，且，求使数列的前项和为完全平方数时的值；（2） 若
14、数列的前项和，那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出的值；若不是，请说明理由；（3） 试求所有为“完全平方数列”的等差数列答案：（1）（2）不是“完全平方数”；（3）2. 已知数列的前项和为，且满足，设（1） 求证：数列是等比数列；（2） 若，求实数的最小值；（3） 当时，给出一个新数列，其中，设这个新数列的前项和为，若可以写成的形式，则称为“指数型”和，问：中是的项是否存在“指数型”和，若存在，求出所有“指数型”和；若不存在，请说明理由。答案：（1）（2）；（3）存在为“指数型”和3. 如果存在常数使得数列满足：若是数列中的一项，则也是数列中的一项，那么就称数列为“兑换数列”，常数是它的
15、“兑换系数”（1） 若数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求和的值；（2） 若又穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”，求证：数列的前项和；（3） 已知又穷等差数列的项数是，所有项之和是B，试判断数列是否为“兑换数列”？如果是，给欲证明，并用和B表示它的“兑换系数”；如果不是，请说明理由。答案：（1）（2）略；（3）4. 设数列满足：；所有项；设集合，将集合中的元素的最大值记为，即是数列中满足不等式的所有项项数的最大值，我们称数列为数列的伴随数列。入数列1，3，5的伴随数列为1，1，2，2，3（1） 若数列的伴随数列为1，1，1，2，2，2，3，请写出数列；（2） 设，求数列的伴随数列的前3
16、0项和；（3） 若数列的前项和（其中为常数），求数列的伴随数列的前项和答案：（1）（2）84；（3）5. 对于数列，若满足：则称数列A为“0-1数列”，定义变换将“0-1数列”A中原有的每个1变成0，1，原有的每个0变成1，0，例如：则；设是“0-1数列”，令（1） 若数列，求数列；（2） 若数列共有10项，则数列中连续两项相等的数对至少有多少对？请说明理由；（3） 若，记数列中连续两项都是0的数对个数为，求关于的表达式答案：（1）（2）10对；（3）6. 已知数列是正整数的一个全排列，若对每个都有，则称为H数列（1） 写出满足的所有H数列；（2） 写出一个满足的H数列的通项公式（3） 在H数
17、列中，记，若数列是公差为的等差数列，求证：答案：（1）（2）；（3）略7. 若有穷数列满足：（1）；（2），则称该数列为“阶非凡数列”（1） 分别写出一个单调递增数列的“3阶非凡数列”和一个单调递减的“4阶非凡数列”；（2） 设，若设“阶非凡数列”是等差数列，求其通项公式；（3） 记“阶非凡数列”的前项的和为，求证：；答案：（1）“3阶非凡数列”：；“4阶非凡数列”（2）；（3）略8. 对于数列，把作为新数列的第一项，把或作为新数列的第项，数列成为数列的一个生成数列。例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是；已知数列为数列的生成数列，为数列的前项和。（1） 写出的所有可能值；（2） 若生成
18、数列满足，求数列的通项公式；（3） 证明：对于给定的的所有可能值组成的集合为答案：（1）；（2）；（3）略9. 有限数列同时满足下列两个条件：对于任意的对于任意的三个数中至少有一个数是数列中的项（1） 若，且，求的值；（2） 证明：2，3，5不可能是数列中的项；（3） 求的最大值。答案：（1）；（2）略；（3）10. 对于实数，将满足“且为整数”的实数称为实数的小数部分，用记号表示，对于实数，无穷数列满足如下条件：，其中（1） 若，求数列；（2） 当时，对任意的，都有，求符合要求的实数构成的集合；（3） 若是有理数，设（是整数，是正整数，互质），问对于大于的任意正整数，是否都有成立，并证明你的
19、结论。答案：（1）；（2）；（3）存在拓展练习1. 设数列和的项均为，则将数列和的距离定义为（1） 求出该数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；（2） 设为满足递推关系的所有数列的集合，和为中的两个元素，且项数均为，若，和的距离小于2016，求的最大值；（3） 记是所有7项数列的集合，且由任何两个元素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16答案：2. 已知数列满足，且当时，记（1） 写出的所有可能的值；（2） 求的最大值；答案：3. 设数列共有项，记该数列前项中的最大项为，该数列后项中的最小项为（1） 若数列的通项公式为，求数列的通项公式；（2） 若数列满足，求数列的通项公式；（3） 试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由。答案：4. 设是关于的次多项式，数列的首项，前项和为，对于任意的正整数都成立（1） 若，求证：数列是等比数列；（2） 试确定所有的自然数，使得能成等差数列；答案：5. 数列的前项和为，若对任意的正整数，总存在正整数，使得，则称是“E数列”（1） 数列的前项和为，判断数列是否为“E数列”，并说明理由；（2） 数列是等差数列，其首项，公差，若数列是“E数列”，求的值；（3） 证明：对任意的等差数列，总存在两个“E数列”，使得成立。答案：