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1、-2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题(解析版)-第 17 页2020届浙江省杭州市第二中学高三下学期3月月考数学试题一、单选题1已知集合，则集合（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出，根据集合的交集运算进行求解即可【详解】, 则集合故选:A【点睛】本题主要考查集合的基本运算，熟练计算是关键，比较基础2设双曲线的两焦点之间的距离为10，则双曲线的离心率为 （）ABCD【答案】C【解析】根据题意得出,再利用a,b,c的关系，离心率公式得解.【详解】因为双曲线的两焦点之间的距离为10，所以，所以，所以.所以离心率.故选C.【点睛】本题考查双曲线基本量a,b,c的关系,离心率的公
2、式,基础题.3已知x，yR，且xy0，若ab1，则一定有（ ）AlogaxlogbyBsinaxsinbyCaybxDaxby【答案】D【解析】举出反例说明ABC不正确，利用指数函数和幂函数性质证明D选项正确.【详解】对于A选项，令，显然logax=logby，所以该选项不正确；对于B选项，令，不满足sinaxsinby，所以该选项不正确；对于C选项，令，显然不满足aybx，所以该选项不正确；对于D选项，根据指数函数和幂函数的性质：x，yR，且xy0，若ab1，所以该选项正确.故选：D【点睛】此题考查根据已知条件比较大小关系，关键在于熟练掌握常见函数的性质，推翻一个命题只需举出反例即可.4将函
3、数ycos（2x）的图象向右平移个单位长度，得到的函数为奇函数，则|的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据平移方式求出平移后的解析式，是一个奇函数，则，即可求解.【详解】函数ycos（2x）的图象向右平移个单位长度，得到，是奇函数，则，要使|最小，即当时，.故选：B【点睛】此题考查根据函数的平移变换求函数解析式，根据函数的奇偶性求参数的取值，需要熟练掌握正弦型函数的基本性质.5函数的部分图象可能是（ ） A B C D 【答案】A【解析】先根据函数值舍去B，再根据函数值舍去D，最后根据上单调性确定选A.【详解】因为,所以舍去B，因为，所以舍去D，因为时，因此选A.【点睛】本题考查函数图
4、象与函数单调性，考查基本分析判断能力，属基础题.6随机变量的分布列如下：-101其中，成等差数列，则的最大值为（ ）ABCD【答案】A【解析】因为，成等差数列，则的最大值为7已知单位向量，且，若向量满足，则的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】根据题意求出，对已知等式变形处理为，结合，解不等式即可得解.【详解】由题可得：，即，所以，解不等式组，得故选：B【点睛】此题考查平面向量数量积的应用，根据已知单位向量关系求向量模长，利用数量积和夹角余弦值的范围求解不等式组得向量模长的取值范围.8在等腰梯形ABCD中，已知ABADCD1，BC2，将ABD沿直线BD翻折成ABD，如图，则直线BA与CD
5、所成角的取值范围是（ ）ABCD【答案】A【解析】根据翻折过程中ABD=30，BA可以看成以B为顶点，BD为轴的圆锥的母线，将问题转化为圆锥的母线与底面内的直线所成角的取值范围.【详解】由题：在等腰梯形ABCD中，已知ABADCD1，BC2，取BC中点M，连接AM，易得四边形AMCD是平行四边形，所以AM=DC=AB，所以ABM是等边三角形，则ABC=60，ABD=30，ABD=30，CDBD，在翻折过程中，BA绕着BD旋转，BA可以看成以B为顶点，BD为轴的圆锥的母线，CD为圆锥底面内的直线，将本问题转化为求解如图圆锥中母线与底面直线所成角的取值范围，其中母线与轴夹角为30，所以母线与底面直
6、线所成角的取值范围为故选：A【点睛】此题考查平面图形翻折问题，根据翻折变化求解直线所成角的取值范围，关键在于合理进行等价转化求解.9已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为ABCD【答案】A【解析】函数的零点为函数与图象的交点，在同一直角坐标下作出函数与的图象，如图所示，当函数的图象经过点（2，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象经过点（4，0）时满足条件，此时 ，当函数的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得， 综上所述，或或点睛:研究函数零点问题常常转化为函数的图象的交点个数问题.本题中已知函数有2个零点求参数k的取值范围，转化为函数与图象的交点，注意到函数过定点（2，0），并且
7、函数的图象是圆的一部分，即，在线的旋转过程中，求k可得结论.10已知数列满足，a11，a2，且3（1）nan22an2（1）n10，nN，记T2n为数列an的前2n项和，数列bn是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式1成立的最小整数n为（ ）A7B6C5D4【答案】C【解析】根据递推关系分奇偶求出数列的关系，求出，题目中的不等式等价于求使成立的最小整数n.【详解】由题，当n为偶数时，所以是以a2为首项，为公比的等比数列，当n为奇数时，所以是以a11为首项，2为公差的等差数列，所以数列bn是首项和公比都是2的等比数列，an（nN）；（2）设bn1an，是否存在实数M0，使得b1b2bnM对任意
8、nN成立？若存在，求出M的一个值；若不存在，请说明理由【答案】（1）证明见解析（2）不存在，理由见解析【解析】（1）构造函数证明即可得证；（2）先用数学归纳法证明，则bn1an，取，通过转化即可证明.【详解】考虑函数，则，由得，由得，所以函数在单调递减，单调递增，所以，即，当且仅当时取得等号，所以，当等号成立时，即，但a1，所以an1an（nN）；（2）不存在，理由如下：先用数学归纳法证明当n=1时，满足题意；假设当n=k时命题成立，即成立，那么当n=k+1时，即当n=k+1时，命题也成立，所以对于一切nN，都有，bn1an，取，即，所以对于任意实数M0，取t2M，且，有所以不存在满足条件的M
9、.【点睛】此题考查与数列相关的不等式证明问题，涉及利用导函数证明不等式，利用数学归纳法结合放缩法证明不等式.21如图，O为坐标原点，点F为抛物线的焦点，且抛物线上点P处的切线与圆相切于点Q，（1）当直线PQ的方程为时，求抛物线的方程； （2）当正数变化时，记分别为的面积，求的最小值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）根据切线的斜率和切点坐标列方程组即可求解；（2）设出切线方程根据位置关系求出，分别表示出两个三角形的面积，利用基本不等式求解最值.【详解】（1）设点，由得，因为直线PQ的的斜率为1，所以，且解得，所以抛物线方程；（2）点P处的切线方程为，即，切线与圆相切，则化简得：由方程组解得，
10、所以点到切线的距离所以，由得即，所以当且仅当时等号成立，即此时所以的最小值为所以的最小值为.【点睛】此题考查直线与抛物线位置关系，根据直线与曲线相切构造等量关系，表示出三角形的面积利用函数关系或基本不等式求解最值.22已知函数为自然对数的底数）（1）求函数的值域；（2）若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；（3）证明：【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【解析】（1）先对函数求导，判断出函数单调性，进而可得出值域；（2）先由题意，将问题转化为对任意恒成立，构造函数，对函数求导，用导数方法判断其单调性，求其最小值，即可得出结果.（3）令，对函数求导，用导数方法研究其单调性，求其最小值，只需最小值大于0即可.【详解】（1）因为，所以，所以，故函数在上单调递减，函数的最大值为；的最小值为，所以函数的值域为（2）原不等式可化为 （），因为恒成立，故（）式可化为令，则，当时，所以函数在上单调递增，故，所以；当时，令，得，所以当时，；当时，所以当，即时，函数成立；当，即时，函数在上单调递减，解得综上，（3）令，则由，故存在，使得，即 所以，当时，；当时，故当时，函数有极小值，且是唯一的极小值，故函数因为，所以，故，即【点睛】本题主要考查导数的应用，用导数的方法研究函数单调性、最值、以及由不等式恒成立求参数的问题，属于常考题型.