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1、专题07大题专攻（四）（解决极值点偏移问题的四大技巧）目录题型一：构造对称和（或差）题型二：比值代换法题型三：消参减元题型四：对数平均不等式应用体验 精选好题做一当十题型一：构造对称和（或差）1. （2021 山西太原五中高三月考（理）设函数x） = 21nx-g2+1（1）当/（%）有极值时，若存在/,使得了（%）根-1成立，求实数加的取值范围;（2）当m=1时，若在/（X）定义域内存在两实数与满足玉 工2且/（%）=/-2），证明：玉+%2.【答案】（1）（0,1）； （2）证明见解析.【详解】22（1）/（工）定义域为（。,+功，r（x）=_2如=_（_g2+1）,XX当机0时，尸（司2
2、0,即/（X）在（0,+8）上单调递增,不合题意，.加0；令-nvc2 +1=0,解得:令-nvc2 +1=0,解得:当0，J,时，1（司0;当XW、+00 时,/广（同0；/（九）在上单调递增，在上单调递减，/（司网=/存在使得/（%）加一1成立，则加一1/（%）皿，存在使得/（%）加一1成立，则加一1/（%）皿，即2 I /又/又/2 InF1 = - In m, :,m- -lnm, m即 m+ln/72-1 0,2. (2021 浙江模拟预测)已知函数x) = lnx.(1)设函数g(%) = lnx(/eR),且g(x) ；e ex(3)设函数y = /(x)-依-一(qeR)的两个
3、零点玉、乙，求证：xx2 2e? JC【答案】(1) t - e(2)证明见解析(3)证明见解析(1) 解:由可得，-lnx0,则“(%) = 2(l + lnx),当。时，/iz(x)0,此时函数网力单调递增, e二一一，即证xlnxr , e exe e由(1)可知，xnx-由(1)可知，xnx-当且仅当x = L时，等号成立,e令加(力=2一2,其中工。，贝叫，(%)=二, e ee当Ovxvl时，w (x)0,此时函数加(x)单调递增,当xl时，m(x)0,此时函数加(x)单调递增,当xl时，m(x)0,此时函数加(x)单调递减，所以，m(41ax=m(1) = -；因为公心-：和g)
4、1(3)解：由题知lnx，=时，111尤2-=2,+得In9） 一士=。（%+）,一得ln（ +三二 =。（电一百）.%工2.得如(%)- 2& +%) = 土*in 正, XX2 x2 - %1%不妨设。为0,所以/在（L+8）上单调递增,所以尸(。/(1) = 0,则hu止II,即 In 逗 2rJ,X X + x2所以In(中2)-2&+)=土土三仙土2. XxX2 x2 -Xj X,因为 In (a：1% ) 2(斗 +尤2) 2 ,即 In J% / 1J XX2y/ XX?21令夕(x) = lnx,夕(x) = 一XX7+ 0,则夕（力在（0,+8）上单调递增.X01又 In (
5、不 =In 2 +1 01又 In (不 =In 2 +1 旦1,e22所以In嘉一去不1111（缶）一耳,即0（）夕（血6）,所以X|%2/.3. （2021 全国高二单元测试）已知函数/（力=1以）+ ,加-2，a0.（1）求函数x）的增区间；（2）设X，/是函数/（X）的两个极值点，且看2.【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【详解】(1)由题意得r(x)+ g2-2 2x+(x0). XX令r(x)0,则以22x + i0.,即/(x)的增区间为0,1 J1 - La 当 = (-2)2-40在(0,+8)上恒成立，即“X)的增区间为(0,+8)；当 = (2)240,即0q1
6、 时，或xlE aa1 + Jl - a ,+00 .I a )综上，当心1时，/(X)的增区间为(0,+8)；当01时，力的增区间为0,综上，当心1时，/(X)的增区间为(0,+8)；当00), x)有两个极值点再，x2 X所以王，是方程以22x + l = 0的两个不相等的正实数根，可求出从而A = (-2)2-46?0, q0,解得0av 1 .2% 1由依2一2%+ 1 = 0得。因为0vq1,所以旦XW1.2令g(x) = K，且xwi,则/(力=共立，厂2x所以当：%0,从而g(x)单调递增；当1时，g(x)0,从而g(x)单调递减, 乙2x, 1 2x9 1 1于是-L= -2(
7、Xj 12,只要证2-,只要证明g(w)vg(2-%j.因为g(xj = g(w)，所以只要证g(%)vg(2-石).令/(%)=8(百)一8(2 一 %)=巴=一专芈口王 (2-百)则小)当二里西 (2-xJ二 2(1J 2。-1)%； Of= 2(1-%)二I T%；(2一内)4(1-xj2(2_再+(2_丹)玉+x；年(2-)3因为;X 0,即尸(5)在6，1)上单调递增，所以尸&)尸(1) = 0,即 g(x) 2 - ,即玉+ 2.应用体验精选好题做一当十(2021 贵州贵阳一中高三月考(理)已知函数f(%) = ( + 2) eg(x) = ln% +必士 (其中e为 x自然对数的
8、底数，。为常数).(1)讨论函数/(幻的单调性；(2)证明：当函数Ax)有极大值，且极大值为，时，若方程g(x) =根(勿为常数)有两个不等实根X，W则X +工22.【答案】(1)答案见解析；(2)证明见解析.【详解】(1)解：由题意可得尸(X)= 当。0时，/(x) = a-e0时，令 ff(x)0=xlna ,令(x) x In。,：.函数/(x)在(y)/n a)上单调递增，在(In a, +x)上单调递减；综上所述：当，。时，函数在(-泡In0上单调递增，在(Ina,田)上单调递减.；(2)证明：由(1)可知，当a0时,函数/(x)有极大值/(Ina),且 /(In a) = Q(ln
9、 q + 2) - a = a(ln q +1) = q ,解得 a = l, g(九) = lnx + + 2 (其中 x0),则/(%) = -y =,xxx x当0 v x v 1时，g(x) 1时，g V) 0, g。)在(L +8)上单调递增.不妨设X 2.令/z(x) = g(x) g(2 x) = lnx + -ln(2-x)(1 x 2),x2-x、1111-4(x-l)2八则 hx) =- += = 0 ,x厂2-x(2-x)2x2(2-x)2(%)在(1,2)上单调递减,于是 (x)/2 =0,即 g(x)g(2-X),当 12 时，g(x2)g(2-2), 又g(xj =
10、 g(x2)，g(xjvg(2 一%)，又01,02- 2 - x2,2.（2021 重庆市开州中学高三月考）设函数x） = 21nx-如2+1.（1）讨论函数/（x）的单调性；（2）当机=1时，若在“X）定义域内存在两实数为，工2满足g且/（不）=/伍），证明：%+%2.【答案】（1）函数力的单调性见解析；（2）证明见解析.【详解】依题意，函数力定义域为（。，+勾）,f（x） = -2mx=2（imx2 XX当加0时,由八%） = 0得% =匝,当0x亚时，当巫时，r（x）0时，”在（0,巫）上单调递增，在（巫,+00）上单调递减； mm当加=1时，%） = 21nl+i,由知力在（0,1）
11、上单调递增,在（1,口）上单调递减，因实数X，%满足玉%2且/（%） = /（工2），于是得。%1 0 ,即 F（x）在（0,1）上单调递增，V% （0,1）, F（x） 1） = 0 ,即/（幻 f（2 x）, x 2-xx（2 - x）而0%1,于是得/（）=/（为）/（2-）,显然12-王1,又/（另在+8）上单调递减， 因此,x2 2-Xj,即 +犬22, 所以百十2.3. （2021 江苏周市高级中学高三开学考试）已知函数/（尤）二二xe（O）. e（1）求函数的单调区间;（2）若%且/（由）=/（吃），证明：西+工2.71【答案】（1）在0-上单调递增，在兀上单调递减；（2）证明见
12、解析.4 ）71【详解】/“、 rfi cosx-sinx 八(1 ) /(X)= , 0X7T ,当 0x0；当今vxv 7时,尸(x)0,1/（X）在。，1兀上单调递增，在7小上单调递减.14（2）。尸马， 且 了（%） = /（%2），JI:由（1）知，不妨设。为1犬2万.ji.ji要证% + % ，只需证明/ ,一 ，而5/（九）在、n上单调递减,4 ）故只需证明3一芯.又% ) = /(9)，jr只需证明/(xj x,故gx)0,ji当。0 , 4小）在哈上单调递增,乃、4J（兀、（八故在 0,-上g（x）g - =f71，fM彳成立2/2(2021 全国高二课时练习)已知函数x)
13、= x(l Inx).(1)讨论的单调性；(2)设，为两个不相等的正数，bna-axb = a-b ,证明：2 + -O,当 X（l,+8）时，/Z（X）O,故/（x）的递增区间为（0,1），递减区间为（1,+8）.（2）因为加na aln = a 人，故人（111 + 1） = Q（lnb+1）,即 121 =a b设！=%!二工2，由（1）可知不妨设。1.a b因为（0,1）时，/（x） = x（l-lnx）0, x（e,y）时，/（x） = x（l-lnx）0, 故1 2 ,若22 , X + 2必成立.若 W 2 ,即证 %2-2，而 02-工2/（2-9），即证：/（x2）/（2-x
14、2）,其中 1%2.设 g（%） = x）-/（2r）,l%2,则 g（x） = /（x） + r（2-x） = -lnx-ln（2-x） =-lnx（2-x）,因为lvx2,故0%（2 x）。，故g(x)在(L2)为增函数,所以g(x)g(l) = O,故x)2尤),即w)/(2-w)成立,所以+2成立,综上，石+2成立.设2 =枕，则， 1 ,结合 ln + l =口, _1 =4：=%可得：X(l_lnxJ = %(l_lnx2), a b a b即：1 lnX =l - ln，-lnxj , 故ln%=?-,，一1要证：% +z e，即证G + 1)X e,即证ln + l) + ln
15、X 1 ,即证：ln + l)+T Li,即证：(Z-i)in(r + l)-Hnr 1,则 S= ln(，+ l)则 S= ln(，+ l)Z4-1(n一 1-In In 1 + -0；当x0时，故“(X)在(一1,0)上为增函数，在(。,+8)上为减函数，故(X%然=(。)=0,故ln(x+l)x成立由上述不等式可得当A时,g + ；小3由上述不等式可得当A时,g + ；小3故S0恒成立,故s在(1,+8)上为减函数，故Ss=。, 故(，-l)ln3 + l)八n，0成立，即 +e成立.综上所述，2+ !e a b(2021 新疆克拉玛依市第一中学高二月考)已知定义在0,”)上的函数/(x
16、) = Jx2+k + cosx.(1)若了(x)为定义域上的增函数，求实数。的取值范围；(2)若 =一1, / (%!)= /(%2) = 0,/国)为了(X)的极小值，求证：%+工22).【答案】（1） 0,y）; （2）证明见解析.【详解】(1) li f(x) = - x2 +ax + cosx得：/X)= x+a-sinx.(x)为0, +x)上的增函数，1(x) = x+a -sin x 2 0在0, +oo)上恒成立,令 g(x) = sinx-x(x2O),则 g(x) = cosxl 0, g(力在0,”)上单调递减，.,.0,在0,”)上单调递增, 又/“(0)= 10,.
17、现（0,%）,使得/（%）=0,且当X（O,%o）时，/（x）v0；当工伉收）时，/（力0；.“X）在（。,天）上单调递减，在（入0,-3）上单调递增，则/（方）为了（X）的极小值.万2设王 工2， Vf（0）= l0, /（不）=万一1。，.0玉/ 工2 4，设 F(x) = f(x0+x)-/(x() -x)(O v x v 乃),/. Z7 (x) = 2x0 一 2 2 sin % cos x,(x) = 2 sin a0 sin x.vx0 e(0,7T), ?. sin x0 0,又 sinx0, .F(%)0,（同在（0,万）上单调递增,.F/(O)= 2xo -2-2sinx0
18、cosO = 2x0 -2-2sinx0 =2(x0 -l-sinxo) = 2/,(xo) = O, .F（x） 尸=0,.F（x）在（0,万）上单调递增, .-.F(x)F(O)= /(xo)-/(xo) = O,/(可) = /(x2)= /(Xo+(WXo)/(%O-(x2Xo) = /(2%o-X2)*.* j = 1 - sin _ = 2 0 ,_ x0 7T ,0 2x0 x2 % ,、2)2222又在(。,不)上单调递减，.X 2%0-，即玉+工20(e)0J - o,故函数/(x)的两个零点为X，%满足0 xt 1 x2,令 F(幻=/(冗)一/(2一幻,0冗 1,b(x)
19、=八幻 + :(2 : U + 1 J x)- 二 2。二 X)：0 在(0,)恒成立, x 2-xx(2-x)M(x)在(0, 1)递增,耳。)/(1) = 0在(0, 1)恒成立，/(西)0(e)0J - o,故函数/(x)的两个零点为X，%满足0 xt 1 x2,令 F(幻=/(冗)一/(2一幻,0冗 1,b(x)=八幻 + :(2 : U + 1 J x)- 二 2。二 X)：0 在(0,)恒成立, x 2-xx(2-x)M(x)在(0, 1)递增,耳。)/(1) = 0在(0, 1)恒成立，/(西)/(2%)，又/(与)=/()，/(9) 0,m m丁/2(相)在(。,+8)上单调递
20、增，X A(l) = l+lnl-l = O, /.0m2 212=2(1.当 X(0,l)时，/(%)0；当 X(l,+co)时，/(%)0； .f（x）在（0,1）上单调递增,在（1,+8）上单调递减,.由西且/（%） = /（）知：0JC, 1X2;令尸（力= /（%）-xe（O,l）,则尸，（上也上2（1-（2-“半x2-xx（2 - x）Rx）在（0,1）上单调递增，.*x）/=0,即x）2-x）；，百）/（2|）,又/（5） =/（），.&） 2 - Xj ,即 X + % 2 .2.（2021 北京临川学校高三期末）已知函数方+ 81nx.6（1）若函数/（x）在定义域内单调递增
21、，求实数。的取值范围；（2）若函数/（x）存在两个极值点不,，求证：+4.【答案】（1）。3； （2）证明见解析.【详解】解： 易知）（X）的定义域为（。，+8）,丫2只丫2 4由题意知/（x） = 2a + N0,即。0），则 g（x） = _3 = 7 4 x2 尸 2厂当x2时，g（x）单调递增；当 0 v x v 2时，g（x） 1,2 % 1 ,又/(x)在(1,y)单调递减，/. x2 2 - ,即 % 十 % 2 .7. (2021 四川川大附中高二期中)已知函数/。) = ；/一Qx + inx(QR).(1)若/(x)在定义域上不单调，求。的取值范围；(2)设。2 ； (2)
22、易知q2 ,设/。)=。的两个根为玉O,6ze7?), X(1)若在定义域上单调递增，则r(x0,即x + L在(0,+上恒成立，X而x +,2,+oo),所以a2； x若“X)在定义域上单调递减，则(x)W0,即。在(o,y)上恒成立，而 X +,2,+00),所以 Q0. X因为“X)在定义域上不单调，所以2,即。2,转).(2)由(1)知，欲使/(可在(。,转)有极大值和极小值，必须。2.乂a eH ,以 2qgh.ee令f，(x) = X + _L _ Q =依+1 = 0的两根分别为A. , x2 , XXX += 6Z即d火+ i = o的两根分别为, x2,于是勺- .不妨设。玉
23、1，则“X）在（0/）上单调递增，在%,%上单调递减，在（私收）上单调递增,所以加=/（%）， =/（尤2），=/ (xI)-/(x2) = %)2 -axx 4-lru：1 - - xf -ax2 + wc2/(X； x；) q (% X) + QnXj Irx?)i(22i4)+吟 f+4( x x2%，+ ln .x2令，=土（，1）,于是S = -1X】LP-lLlnZ. t，1 x2 + ?+- = XX2xx2a2-2e 2,/+：,由1 + /+7，t e2 9t e e又0v，l,所以 ei (1 1因为S，= +3+-= 2( r) ti (1 1因为S，= +3+-= 2(
24、 r) t 所以s = ”匕卜血在小）上为减函数,(14/3 所以 Se 0,I 2e J九2（2021 江苏吴江中学高二月考）已知函数/（x） = -21nx（R,awO）. a（1）求函数/（X）的极值;（2）若函数“X）有两个零点西,工2（西0时，若（O,G）, /r（x）O, X）在（&,+8）上是增函数，故当x = 五时，x）在（。,+8）上的极小值为/（6） = l-21n& = l-ln ,无极大值. 2（2）当a = 4时，/（x） = -21ar,由（1）知，“X）在（0,2）上是减函数，在（2,收）上是增函数，x = 2是极值点，又l2为函数/（X）零点，所以。用24,只需
25、证94-西.:/（4 5）二（4 ；）21n（4-x（） =- 2 + 4- 21n（4-,又丫2*.* /（xj = 21aX1 =0 , /（4%） = 21叫2x1 +4-21n（4_xJ ,令/z（x） = 21nx-2x+421n（4x）（0vx0 ,x 4-x x（4-x）Mx）在（0,2）上是增函数，/1（力（2）= 0,4玉）0 = /（），/. 4 - Xj 4得证.令关注有礼(1今学科网中小学资源库扫码关注可免费领取180套PPT教学模版令海量教育资源一触即达 令新鲜活动资讯即时上线学科网所以当x = 2时，g(x)有最小值g(2) = 3,所以於3；4r2 4(2)因为r
26、(x) = 土一2。+ 义，由/(%)=。知，2x4 xx 4设 g(x)=+ (x0)4 x则ga)= g(Z)，且g(x)在(2,+8)上单调递增，在。2)上单调递减,所以可令，0 2 A(0) = 0 .又% (0,2),所以2(2,0)所以版芯-2) = g0)-g(4-)0.所以 g(X2)= g(X)g(4 - X).因为不2且8。)在(2,+4 % ,%+工2 4.3.(2021 全国全国模拟预测)已知函数/(x) = F(f3),其中为自然对数的底数.(1)求函数/(x)的单调区间和极值;(2)设方程同=。(。0)的两个根分别为芯，x2,求证：xi+x2。；当x_3/)时，r(
27、x)o； /(力的单调递增区间为(-8,-3), (1,4-00)；单调递减区间为(-3,1);/(X)的极大值为/(-3)=1 ；极小值为/(I) = -2e ；(2)当 X -8 时，令,f(x)=O，解得：x = y/3 ,二当”0时，方程同=1(。)的两个根在区间内.设函数/(力=/(2_力_/(*=/-12_4工+ 1)_/任_3)卜百工6),，/、 el)(x 5) 丫/ 、/、/、e (x 5) v,、则b(x) =-e (x-l)(x +3)=-(%-1) + e (x + 3) =_(1)/(1)+0%+3), _石“百令 A(x) = e2 (x5)+ /(x+3), 一行
28、 x 0, /z(x)在向上为增函数，又砍1) = 0,则当光46)时，/i(x)0；二当 xe(6,1)时，F(x)0,当x = l 时，F(x) = 0,当x(l,6)时，F(x)0,/在x6,g)上单调递减.不妨设-7 玉x2尸(1) =。,./(2)/(%),又%) = /(%),/(2-3)/(工2)，/ 2 - %1 1, x2 1,由(1)知：“X)在(1,y)上单调递增，.2-内马，题型二：比值代换法1. (2021 全国高三月考)已知函数/(x) = xlnx /nr2x,2R(1)若 g(x) = /(%)，(1)若 g(x) = /(%)，为了(X)的导函数)，求函数g(
29、x)在区间Le上的最大值;(2)若函数“X)有两个极值点不，求证：西工2/11( A【答案】(1)当加一时,g(x) =g(e) = l“；当一机 / niilX /1 1 lcl AWlecn Jg(x)max =且(1)= 一；证明见解析【详解】(1)因为g(x) = lnx/nx,l-mx当机40时，因为所以碇x)0,所以函数g(x)在Le上单调递增，则且3=g(e) = l-箔;当即0根时,所以函数g(x)在l,e上单调递增，则且3=g(e) = l-把；,当 1 e , g|J m(11时，函数g(x)在L7上单调递增，在上单调递减，则v m )ML =-In 772 - 1 ：当。
30、即三21时,xel,e, gr(x)0,函数g(x)在l,e上单调递减,贝ij g(x)1n=g(l) = 一瓶. 综上，当相,时，g(x)mx =g(e) = l-兹；当 L 机 e，只需证：In % + In % 2,若/(x)有两个极值点不，/，即函数有两个零点，又/(x) = lnx-mx,所以X，W是方程/X) =0的两个不同实根,In % - mx, = 0Inx, + In x,解得加二力广，另一方面，由Inx -mx1 =0,得 In / - In% -m(x2-x1),In x2 - twc2 = 0从而可得In x2 - In xl _ In % + In x2一 ,于是
31、lnF+lnx2 = n%lnxJ(/+xJx2 -x上一%土.不妨设。不1.因止匕，Inx, + Inx2 = ,?1.xt 要证ln%+lnx22,即证：(, + 1)32/1,即当时，有hw二D,Z + 1设函数/z= ln2（1 + 1）-2（/-1）（，-1）1 + 1）2 千+ 10,所以/2为（1,+?）上的增函数.注意到，/2=0,因此，2/2=0.于是，当，1口寸，Win? .Z4-1所以 In% +ln%2 2成立，xx2 e2.2. （2021 全国高三专题练习）已知函数x） = 3-Inx有两个零点七,（1）求的取值范围；（2）求证：中2/.【答案】（1）（0,：）； （2）证明见解析.【详解】“X）有两个零点也有两个相异实根.X人、 lar ei c/ 1 一血令 G（x） =,则 G0得：0xe,由 Gx）0得：C G（x）在（00单调递增,在亿+8）单调递减，G（x）max=G（e） = J又.G（l） = 0,当Ovxvl时，G（x）1 时,G（x）0（1 /（同有两个零点时，实数。的取值范围为0，- e）（2）不妨设X 工2,由题意得OXx - llLTjax2 = lrir2/、（、Inx. - InXjq（玉 4-%2） = InXj +lnx2 , q（%2一与）= ln%2 _1叫， =,2 X