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1、第6讲 追及、相遇问题【教学目标】1会画汽车运动示意图，分析汽车运动规律及安全行驶问题；2运用所学的物理知识解决汽车刹车问题和追及相遇问题；【重、难点】1临界问题的分析；2二次追及问题处理追及、相遇问题的方法有多种，同学们在复习的过程中，可以尝试一题多解，培养一下自己的发散思维。 重点知识回顾一、汽车行驶安全问题1安全距离是指在同车道行驶的机动车，后车与前车保持的最短距离安全距离包含反应距离和刹车距离两部分2反应时间和反应距离（1）反应时间：驾驶员从发现情况到采取相应的措施经过的时间（2）反应时间内汽车的运动：汽车仍以原来的速度做匀速直线运动（3）反应距离：汽车在反应时间内行驶的距离，即s1v
2、t3刹车时间和刹车距离（1）刹车时间：从驾驶员采取制动措施到汽车完全停下来经历的时间（2）刹车时间内汽车的运动：汽车做匀减速直线运动（3）刹车距离：汽车在刹车时间内前进的距离由s2可知，刹车距离由行驶速度和加速度决定，而刹车的最大加速度由路面和轮胎决定二、追及、相遇问题概述当两个物体在同一条直线上运动时，由于两物体的运动情况不同，所以两个物体之间的距离就会发生变化，两物体间距越来越大或越来越小时，就会涉及追及、相遇问题。1追及、相遇问题的实质研究两物体能否在同一时刻到达同一空间位置的问题。2解相遇和追及问题的关键画出物体运动的情景图，理清三大关系：（1）时间关系：tA=tBt0； （2）位移关
3、系：sA=sBs0；（3）速度关系：两者速度相等时，物体间有最大（或最小）位移，这通常是追及问题中能否追上的临界条件，也是分析问题的切入点3追及、相遇问题的分析思路（1）根据运动过程，画出两个物体运动的示意图；（2）根据两个物体的运动性质，列出两个物体的位移方程；（3）找出两个物体在运动时间上的关系、位移关系、临界条件（即“两个关系，一个条件”）；（4）联立方程求解4提示：（1）利用图象法解决追及相遇问题时，有时可以减少计算量，使问题简化；（2）若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意追上前该物体是否已经停止运动典例精析考点一 安全驾驶问题例1、据统计，开车时看手机发生交通事故的概率是安全驾驶的
4、23倍，开车时打电话发生交通事故的概率是安全驾驶的2.8倍。一辆小轿车在平直公路上以某一速度行驶时，司机低头看手机2s，相当于盲开50m，该车遇见紧急情况，紧急刹车的距离（从开始刹车到汽车停下来所行驶的距离）至少是25m，根据以上提供的信息：（1）求汽车行驶的速度和刹车的最大加速度大小；（2）若该车以108km/h的速度在高速公路上行驶时，前方100m处道路塌方，该司机因用手机微信抢红包，2s后才发现危险，司机的反应时间为0.5s，刹车的加速度与（1）问中大小相等。试通过计算说明汽车是否会发生交通事故。考点二 汽车安全通过ETC通道问题例2、我国不少省市ETC联网已经启动运行，ETC是电子不停
5、车收费系统的简称。汽车分别通过ETC通道和人工收费通道的流程如图所示。假设汽车以正常行驶速度v116m/s朝收费站沿直线行驶，如果过ETC通道，需要在距收费站中心线前d8m处正好匀减速至v24m/s，匀速通过中心线后，再匀加速至v1正常行驶；如果过人工收费通道，需要恰好在中心线处匀减速至零，经过t025s缴费成功后，再启动汽车匀加速至v1正常行驶。设汽车在减速和加速过程中的加速度大小分别为a12 m/s2、a21 m/s2求：（1）汽车过ETC通道时，从开始减速到恢复正常行驶过程中的位移大小；（2）汽车通过ETC通道比通过人工收费通道速度再达到v1时节约的时间t考点三 追及、相遇问题分析追及与
6、相遇问题大致有两种方法，即数学方法和物理方法，具体为：方法1：利用临界条件求解。寻找问题中隐含的临界条件，例如速度小者加速追赶速度大者，在两物体速度相等时有最大距离；速度大者减速追赶速度小者，在两物体速度相等时有最小距离；方法2：利用函数方程求解。利用不等式求解，思路有二：其一是先求出在任意时刻t两物体间的距离yf（t），若对任何t，均存在yf（t）0，则这两个物体永远不能相遇；若存在某个时刻t，使得yf（t）0，则这两个物体可能相遇；其二是设在t时刻两物体相遇，然后根据几何关系列出关于t的方程f（t）0，若方程f（t）0无正实数解，则说明这两物体不可能相遇；若方程f（t）0存在正实数解，则说
7、明这两个物体可能相遇；方法3：利用图象求解。若用位移图象求解，分别作出两个物体的位移图象，如果两个物体的位移图象相交，则说明两物体相遇；若用速度图象求解，则注意比较速度图线与t轴包围的面积。方法4：利用相对运动求解。用相对运动的知识求解追及或相遇问题时，要注意将两个物体对地的物理量（速度、加速度和位移）转化为相对的物理量；在追及问题中，常把被追及物体作为参考系，这样追赶物体相对被追物体的各物理量即可表示为：s相对s后s前s0（s0指的是t=0时两者相距的距离），v相对v后v前，a相对a后a前，且上式中各物理量（矢量）的符号都应以统一的正方向进行确定。例3、汽车从静止开始以3m/s2的加速度行驶
8、，恰有一自行车以6m/s的速度从车边匀速驶过。（1）汽车从运动到追上自行车之前经过多长时间两者相距最远？此时距离是多少？（2）汽车什么时候追上自行车，此时汽车的速度是多少？变式1、甲、乙两车相距40.5m，同时沿平直公路做直线运动，甲车在前，以初速度v1=16m/s、加速度大小a1=2m/s2刹车作匀减速直线运动，乙车在后，以初速度v2=4m/s、加速度a2=1m/s2与甲同向作匀加速直线运动，求：（1）甲、乙两车相遇前相距的最大距离；（2）乙车追上甲车经历的时间例4、在铁轨上有甲、乙两列火车，甲车在前，乙车在后，分别以速度v甲=15m/s，v乙=40m/s做同向匀速运动，当甲、乙间距为s0=
9、1500m时，乙车开始做匀减速运动，加速度大小为a=0.2m/s2，问乙车能否追上甲车？例5、在平直道路上，甲汽车以速度v匀速行驶。当甲车司机发现前方距离为d处的乙汽车时，立即以大小为a1的加速度匀减速行驶，与此同时，乙车司机也发现了甲，立即从静止开始以大小为a2的加速度沿甲运动的方向匀加速运动。则（ ）A甲、乙两车之间的距离一定不断减小B甲、乙两车之间的距离一定不断增大C若，则两车一定会相撞D若，则两车一定不会相撞例6、如图所示，甲、乙两棒长均为h=1m，甲的下端和乙的上端相距H=20m，若甲、乙同时运动，甲做自由落体运动，乙以v0=40m/s的初速度做竖直上抛运动求：（1）甲、乙两棒何时相
10、遇；（2）从相遇开始到分离所需的时间例7、在地面上以初速度2v0竖直上抛一物体A后，又以初速v0同地点竖直上抛另一物体B，若要使两物体能在空中相遇，则两物体抛出的时间间隔t必须满足什么条件？（不计空气阻力）考点四 用图象分析追及相遇问题例8、甲、乙两辆汽车在平直的公路上沿同一方向做直线运动，t=0时刻同时经过公路旁的同一个路标。在描述两车运动的v-t图中（如图所示），直线a、b分别描述了甲、乙两车在020s的运动情况。关于两车之间的位置关系，下列说法中正确的是（ ）A在010s内两车逐渐靠近B在1020s内两车逐渐远离C在515s内两车的位移相等D在t=10s时两车在公路上相遇例9、如图所示，
11、分别是甲、乙两球从同一地点、沿同一直线运动的v-t图线，根据图线可以判断（ ）A两球在t=2s时速度相同B两球在t=2s时相距最近C在28s内，两球的加速度大小相等D两球在t=8s时相遇例10、因雾霾天气，能见度不足20m在这样的恶劣天气中，甲、乙两汽车在一条平直的公路上行驶，当甲、乙两车恰好并排行驶时，甲、乙两车司机听到前方有事故发生的警笛提示，同时开始刹车，直到减速为0，甲、乙两车刹车时的vt图像如图所示，则（）A甲车减速的加速度为1m/s2B甲车减速的加速度比乙车减速的加速度大0.75m/s2C减速过程中甲、乙两车间的最大距离为100mD减速过程中甲、乙两车间的最大距离为87.5m考点五
12、 二次相遇问题同一直线上运动的物体甲（在后）和物体乙（在前），甲若追上乙，追上时甲的速度一定大于乙此后若甲减速或者乙加速，就会存在二次相遇问题例11、（多选）甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其vt图象如图所示，图中OPQ和OQT的面积分别为s1和s2（s2s1）初始时，甲车在乙车前方s0处，则下列判断正确的是（ ）A若s0s2，两车相遇1次 B若s0 a2时，甲、乙可能相遇两次 B当a1=a2时，甲、乙只能相遇一次C当a1 a2时，甲、乙只能相遇一次 D当a1 a2时，甲、乙可能相遇两次8甲、乙两车在公路上沿同一方向做直线运动，它们的v-t图象如图所示。两图象在t=t1时相交于P点，P在横轴
13、上的投影为Q，OPQ的面积为S在t=0时刻，乙车在甲车前面，相距为d已知此后两车相遇两次，且第一次相遇的时刻为t，则下面四组t和d的组合可能是（ ）Att1，d=S Bt=Ct Dt=9甲、乙两运动员在训练交接棒的过程中发现：甲经短距离加速后能保持9m/s的速度跑完全程；乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速的。为了确定乙起跑的时机，需在接力区前适当的位置设置点A进行标记。在某次练习中，甲在接力区前S0=13.5m处作了标记点A，并以v=9m/s的速度跑到此标记点A时向乙发出起跑口令。乙在接力区的前端B点听到口令时起跑，并恰好在速度达到与甲相同的C点时被甲追上，完成交接棒。已知接力区为BD，其长度为
14、L20m，求：（1）此次练习中乙在接棒前的加速度a；（2）在C点完成交接棒时，乙离接力区末端D点的距离；（3）若S0=16m，乙的最大速度为8m/s，并能以最大速度跑完全程，要使甲乙能在接力区成交接棒，则乙在听到口令后加速运动的加速度最大为多少？10ETC是高速公路上不停车电子收费系统的简称。甲、乙两辆汽车分别通过ETC通道和人工收费通道（MTC）驶离高速公路，流程如图。假设减速带离收费岛口x=60m，收费岛总长度为d=40m，两辆汽车同时以相同的速度v120m/s经过减速带后，一起以相同的加速度做匀减速运动。甲车减速至v05m/s后，匀速行驶到中心线即可完成缴费，自动栏杆立即打开；乙车刚好到
15、收费岛中心线收费窗门停下，经过t020s的时间缴费成功，人工栏杆立即打开。随后两辆汽车匀加速到速度v1后沿直线匀速行驶到相同的目的地，设加速和减速过程中的加速度大小相等求：（1）甲车在通过中心线之前匀速的时间；（2）此次人工收费通道和ETC通道打开栏杆放行的时间差t；（3）甲车和乙车在通过中心线后最大的车距；（4）假设ETC通道有一列车队，在减速带之前匀速行驶时的相邻两车距离为160米，每辆车的收费流程都是一样的，请问该收费站ETC通道每小时最多能通过多少辆车；（5）假设人工通道有一列车队，每辆车的收费流程都是一样的，要想相邻两车不相撞，在减速带之前匀速行驶时的相邻两车距离至少为多少；第6讲
16、追及、相遇问题答案例1、（1）25 m/s 12.5 m/s2（2）会发生交通事故例2、（1）188 m（2）29 s例3、【答案】（1）2s、6m （2）4s、v汽车=12m/s【解析】（1）解法一： 汽车开动时速度由零逐渐增大，而自行车速度是定值，当汽车速度还小于自行车速度时，两者的距离越来越大，当汽车的速度大于自行车速度时，两者距离越来越小，所以当两车的速度相等时，两车的距离最大，有，所以， 解法二：图像法画出汽车和自行车的图，当时两车速度相等。即时两车的位移差最远解法三：相对运动法以自行车为参考系，汽车追上自行车之前初速度大小为，方向向后，加速度为大小为，方向向前。经分析汽车先远离自行
17、车做匀减速直线运动末速度为零时相距最远，在靠近自行车做匀加速直线运动。（2）由图象可知，当t=4s时汽车追上自行车，变式1、（1）64.5m（2）11s 例4、【答案】能【解析】由于乙车速度大于甲车速度，因此，尽管乙车刹车后做匀减速直线运动，速度开始减小，但其初始阶段速度还是比甲车的大，两车距离还是在减小，当乙车的速度减小为和甲车速度相等时，乙车的位移大于甲车相对乙车的位移，则乙车就一定能追上甲车，设乙车速度减为v甲=15m/s时所用时间为t，则有，所以。在这段时间里乙车的位移为：，甲车位移为：，因为，所以乙车能追上甲车。例5、【答案】D【解析】方法一：临界条件法 若两车不发生相撞，则当两车速
18、度相等前两车间的距离是减小的，速度相等之后两车间的距离又开始增大，故A、B皆错误。临界状态下两车速度相等恰好相碰，运动过程草图如图所示。由图可知，。设两者速度相等时的速度为，经历的时间为，则有，由上述格式可解得故要使两车不相撞，应满足方法二：判别式法判断C、D两项时可以采用判别式法：设经过时间，两车间距离为，则有：当时整理可得，要使两车不相遇，应使即 、选项分析同方法一，以下同理。 方法三：相对运动法 取乙汽车为参考系，则甲汽车相对乙汽车做加速度大小为，初速度为的匀减速运动。要使两车不相撞，当甲车速度减小到零时通过的位移应小于，即，所以方法四：图象法做出两汽车的速度图象，要使两汽车不相撞，图中
19、阴影部分的面积应不超过，即：而故可解得 例6、（1）设经过时间t两棒相遇，由，得（2）从相遇开始到两棒分离过程中，甲棒做初速度不为零的匀加速运动，乙棒做匀减速运动，设从相遇开始到分离所需的时间为t，则，其中，代入后解得例7、【答案】【解析】如按通常情况，可依据题意用运动学知识列方程求解，这是比较麻烦的。如换换思路，依据作x-t图象，则可使解题过程大大简化。如图所示，显然，两条图线的相交点表示A、B相遇时刻，纵坐标对应位移xA=xB由图可直接看出满足关系式时，可在空中相遇。例8、C 例9、D 例10、C 例11、BCD例12、B 变式2、CD【能力展示】1BD 2A 3D 4（1）10 s（2）
20、0.75 m/s2 531 m6答案：不会相撞最近距离为5 m解析：设B车刹车过程的加速度大小为aB，由v2v022as可得023022（aB）180解得aB2.5 m/s2设经过时间t两车相撞，则有：vBtaBt2s0vAt，即30t2.5t28510t整理得t216t680由1624680，可知t无实数解，即两车不会相撞，速度相等时两车相距最近，此时vAvBaBt1，代入数据得t18 s此过程中sBvBt1aBt12160 msAvAt180 m，两车的最近距离ss0sAsB5 m7BCD 8D9（1）3 m/s2；（2）6.5 m；（3）a2=m/s2=2.67 m/s210（1）1s；（2）21s；（3）455m；（4）450辆；（5）400m 24学科网（北京）股份有限公司