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1、25 圆的方程 教材分析圆是学生比较熟悉的曲线，在初中几何课中就已学过圆的定义及性质这节主要是用坐标的方法画圆建立圆的方程首先是根据圆的定义，建立圆的标准方程，进而研究圆的一般方程，并在此基础上，运用坐标法，探讨直线与圆、圆与圆的位置关系由于圆是一种对称、和谐的图形，有很多优美的几何性质，因此，在运用坐标法解决问题的同时，充分利用了圆的几何性质这节课的重点是圆的两种方程的求法及互化，直线与圆位置关系、数量关系的判定与求解难点是对待定系数法、数形结合等方法的理解及灵活应用教学目标1. 理解和掌握圆的标准方程和一般方程，并会熟练地进行方程的互化，能根据条件灵活选用适当的方法建立圆的方程2. 在直线
2、的方程、圆的方程的基础上，用代数、几何两种方法研究直线与圆的位置关系3. 初步学会用待定系数法、数形结合法解决与圆有关的一些简单问题4. 能应用圆的方程解决一些简单的实际问题，培养学生应用数学分析、解决实际问题的能力任务分析圆是学生比较熟悉的一种曲线，建立圆的方程也比较容易学习时，应根据问题条件，灵活适当地选取方程形式，否则，可能导致解题过程过于烦锁在解决直线与圆、圆与圆位置关系问题时，要尽可能挖掘、应用关于圆的隐含条件，要注意数形结合、待定系数法的应用教学设计一、问题情境圆是最完美的曲线，它是平面内到一定点的距离等于定长的点的集合定点是圆心，定长是半径在平面直角坐标系中，怎样用坐标的方法刻画
3、圆呢？问题河北省赵县的赵州桥，是世界著名的古代石拱桥，也是造成后一直使用到现在的最古老的石桥赵州桥的跨度是37.02m，圆拱高约为7.2m建立适当的平面直角坐标系，写出这个圆拱所在的圆的方程解析：要求圆的方程，只要确定圆心的位置和半径的大小第一步：以圆拱对的弦所在的直线为轴、弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系根据平面几何知识可知，圆拱所在圆的圆心O必在y轴上，故可设O1（0，b）第二步：设圆拱所在圆的半径为r，则圆上任意一点P（x，y）应满足O1Pr，即因此，只须确定b和r的值，就能写出圆的方程第三步：将点B（18.51，0），C（0，7.2）分别代入，得解得故赵州桥圆拱所在的圆的方程为x2（
4、y20.19）2750.21二、建立模型（1）一般地，设点P（x，y）是以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上的任意一点，则CPr由两点间的距离公式，得，即（xa）2（yb）2r2反过来，若点P1的坐标（x1，y1）是方程的解，则（x1a）2（y1b）2r2，即这说明点P1（x1，y1）在以C（a，b）为圆心、r为半径的圆上结论：方程（xa）2（yb）2r2叫作以（a，b）为圆心、r为半径的圆的标准方程特别地，当圆心为原点O（0，0）时，圆的方程为x2y2r2三、解释应用（1）例题 1. 已知两点M（4，9），N（2，6），求以MN为直径的圆的方程分析：先利用两点间距离公式求出半径r，然后分别将
5、两点的坐标代入圆的标准方程，解方程组求出a，b2. 已知动点M（x，y）与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离之比为12，那么点M的坐标应满足什么关系？请你根据这个关系，猜想动点M的轨迹方程解：根据题意，得即x22xy230，变形，得（x1）2y24由方程通过配方化为，可知动点M的轨迹是以（1，0）为圆心、2为半径的圆思考：方程x2y2DxEyF0是否都表示圆呢？练习写出满足下列条件的圆的方程（1）圆心在原点，半径为（2）圆心在C（6，2），经过点P（5，1）思考：点P（x0，y0）与（xa）2（yb）2r2位置关系的判断方法是什么？四、建立模型（2）将方程x2y2DxEyF0配方，得，与
6、圆的标准方程比较，可知（1）当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0表示以（，）为圆心、以为半径的圆（2）当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0只有一个解，表示一个点（，）.（3）当D2E24F0时，方程x2y2DxEyF0无实数解，不表示任何图形结论：方程x2y2DxEyF0，（D2E24F0）叫作圆的一般方程思考：（1）圆的标准方程与一般方程的特点圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径，而一般方程突出了方程形式上的特点：x2，y2的系数相同且不等于0，没有xy这样的项，是特殊的二元一次方程（2）探讨一般的二元一次方程：Ax2Cy2BxyDxEyF0表示圆的充要条件Ax2B
7、xyCy2DxEyF0表示圆的充要条件为AC0，B0且D2E24F0五、解释应用（2）例题1. 求过三点O（0，0），M1（1，1），M2（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标分析：确定圆的一般方程，只要确定方程中三个常数D，E，F，为此，用待定系数法解：设所求的圆的方程为x2y2DxEyF0因为O，M1，M2在圆上，所以它们的坐标是方程的解把它们的坐标依次代入上面的方程，得于是，得到所求圆的方程：x2y28x6y0由前面的讨论可知，所求的圆的半径，圆心坐标是（4，3）思考：本题能否利用圆的标准方程求解？有无其他方法？2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行
8、驶问：一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道？解：以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系如图25.2，那么半圆的方程为x2y216，（y0）将x2.7代入，得即离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度因此，货车不能驶入这个隧道思考：假设货车的最大宽度为am，那么货车要驶入该隧道，限高至少为多少米？练习1. 求经过三点A（1，5），B（5，5），C（6，2）的圆的方程2. 求过两点A（3，1），B（1，3）且圆心在直线3xy20上的圆的方程六、拓展延伸1. 自点A（1，4）作圆（x2）2（y3）21的切线，求切线l的方程思考：（1）当点的
9、坐标为（2，2）或（1，1）时，讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化？（2）如何判定直线与圆的位置关系的判定方法直线与圆的位置关系的判定常用两种方法：几何法和代数法若直线l的方程为AxByC0，圆C的方程为（xa）2（yb）2r2几何法设圆心（a，b）到直线l的距离为d，则dl与c相离；drl与c相切；drl与c相交代数法0方程有两个不同解方程组有两个不同解l与C有两个不同交点相交；0相切；相离2. 若圆x2y2m与圆x2y26x8y110有公共点，求的取值范围思考：如何判定圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系的判定主要就是几何法已知，则dr1r2C1与C2外离；dr1r2C1与C2相外切；d
10、r1r2C1与C2相内切；r1r2dr1r2C1与C2相交；dr1r2C1与C2内含3. 画出方程：x1表示的曲线4. 已知圆C：x2y2r2，直线l：axbyr2当点P（a，b）在圆C上、圆C内和圆C外时，分别研究直线l与C具有怎样的位置关系5. 已知：圆满足：截y轴所得的弦长为2；被x轴分成两段弧，其弧长的比为31；圆心到直线l：x2y0的距离为求该圆的方程点评这节课重点研究了圆方程的两种表示形式，突出了利用待定系数法、几何法来确定圆的方程，及利用圆的方程解决简单的实际问题，对圆与直线、圆与圆位置关系稍作涉列由于初中几何中研究这些知识较多，所以对这些内容的探究放手于学生，对学生能力的培养与锻炼大有好处此外，例题和练习的选取配置较好，突出了与实际问题的联系，易激发学生的学习兴趣这篇案例在继承中国传统的“双基”同时，着眼于在体现课程新理念上（尤其是体现新的探究、自主学习理念）有所突破