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1、第1页，此课件共29页哦 将将D(s)离散成离散成D(z)的方法有多种，离散化的的方法有多种，离散化的实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，使实质是求得一个等效的控制器脉冲传递函数，使之与连续域的控制器传递函数在很多方面是相似之与连续域的控制器传递函数在很多方面是相似的的 比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、比如在脉冲响应特性、阶跃响应特性、频率特性、稳态增益和零、极点分布等方面稳态增益和零、极点分布等方面 第2页，此课件共29页哦第3页，此课件共29页哦一阶一阶差分变换法差分变换法（后向差分）（后向差分）（1）离散化公式）离散化公式11()()szsTD zD sTs为采样周期为采
2、样周期第4页，此课件共29页哦 后向差分的近似式是后向差分的近似式是：()()(1)st kTsde te ke kdtT等式左边取拉氏变换为：等式左边取拉氏变换为：()sE s等式右边取等式右边取Z Z变换为：变换为：11()(1)1()ssE zE zzzE zTT 这样可以得到变换关系：这样可以得到变换关系：11szsT结论：结论：11()()szsTD zD s第5页，此课件共29页哦js平面0z平面0ImRe01-1后向差分法的映射关系S平面的虚轴映射为Z平面半径为1/2的圆 22211Re()Im()22zzS左半平面的映射 2211SszTT 特点：特点：02 2、后向差分变换在
3、、后向差分变换在从从0 时，唯一映射到半径为时，唯一映射到半径为1/21/2的圆上，因此没有出现频率的圆上，因此没有出现频率混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变换精度低，工程应用混叠现象，但是频率被严重压缩了，不能保证频率特性不变，变换精度低，工程应用上受限制。上受限制。优点优点是简单易做。是简单易做。图5-10 后向差分法的映射关系 1 1、(即表示即表示S S平面左半平面平面左半平面)，|z|1,|z|1,说明映射到说明映射到Z Z平面的单位圆内，因此平面的单位圆内，因此D(s)D(s)是是稳定的，经后向差分变换后，稳定的，经后向差分变换后，D(z)D(z)也是稳定的。
4、也是稳定的。第6页，此课件共29页哦前向差分的近似式是：前向差分的近似式是：()(1)()st kTsde te ke kdtT变换式为：变换式为：1szsT或者或者1szsT（前向差分）（前向差分）结论：结论：1()()szsTD zD s第7页，此课件共29页哦 js平面0z平面0ImRe01-1前向差分法的映射关系图5-11前向差分变换法的映射关系 令sj则1szj T S平面的虚轴，映射到平面的虚轴，映射到Z Z平面是一条平面是一条过实轴过实轴1 1，平行于虚轴的直线，平行于虚轴的直线令sj221(1)()sssszTj TzTT 要使要使 除除 外，还要外，还要 较小时才行，较小时才
5、行，可见这种变换会产生不稳定的可见这种变换会产生不稳定的1z 0sT()D z则 显见，显见，前向差分变换法中稳定的前向差分变换法中稳定的D(s)不能保证变换成稳定的不能保证变换成稳定的D(z)，要稳定采样周期缩小，要稳定采样周期缩小，且不能保证有相同的脉冲响应和频率响且不能保证有相同的脉冲响应和频率响应。应。第8页，此课件共29页哦用后向差分变换法离散用后向差分变换法离散21()0.21D sss假设假设1sTs12111121()()110.210.455()10.455()szsTssD zD szzTTU zzzE z等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=0
6、.455e(k)-u(k-1)+0.455u(k-2)第9页，此课件共29页哦梯形面积公式逼近积分运算原理梯形面积公式逼近积分运算原理 定积分定积分 0()()tu te t dt两边求拉氏变换两边求拉氏变换 1()()U sE ss积分传递函数积分传递函数 ()1()s)U sD sEs（kK-1e(k-1)e(k)eu(k-1)梯形面积运算图5-12 梯形面积运算()(1)()(1)2sTu ku ke ke k求求Z变换变换 -11sTU(z)=z U(z)+()()2E zz E z积分积分Z的传递函数的传递函数1111()1z1()2 1z()2 1z1zssTU zD zE zT离
7、散化方法是：离散化方法是：1121 z1 z()()ssTD zD s *第10页，此课件共29页哦22ssTszTs变换式的另一种形式变换式的另一种形式设设sj则则222244()242sSSsSjTjTTzTjT 说明说明:从从0 z 的相角单调的从的相角单调的从0变换到变换到sj 2222(2)(2)ssTzTs平面的左半平面映射到平面的左半平面映射到z平面的单位圆内平面的单位圆内结论：结论：从这样的映射关系可以看出，如果从这样的映射关系可以看出，如果 是稳定的，是稳定的，双线性变换后双线性变换后 也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象也是稳定的，并且不出现频率的混叠现象()D s()D
8、z设设则则 s平面的虚轴，唯一映射到平面的虚轴，唯一映射到z z平面的单位圆上平面的单位圆上0,1sz第11页，此课件共29页哦21()0.21D sss111122 1 z21 z11121211()110.21(2)0.2(2)1110.185(12)(z)1 1.1110.852(z)ssTD zzzsszzzzUzzE等效差分方程（控制算法）为：等效差分方程（控制算法）为：u(k)=1.111u(k-1)-0.852u(k-2)+0.185e(k)+0.37e(k-1)+0.185e(k-2)结论：结论：连续控制器连续控制器 零点少于极点数，经双线性变换后，零、极零点少于极点数，经双线
9、性变换后，零、极点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将整个点数相等，这点可以做如下解释：由于双线性变换将整个S S平面一一平面一一对应变换到对应变换到Z Z平面，因此平面，因此 在无穷远处的零点，经双线性变换后被变在无穷远处的零点，经双线性变换后被变换到换到z=-1z=-1处。处。()D s()D s第12页，此课件共29页哦应用：应用：使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。使用方便，有一定精度和好的特性，应用较为普遍。不需要校正稳态增益。不需要校正稳态增益。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。但高频特性严重失真，主要用于低通环节的离散化。s 01()()zD sD
10、z第13页，此课件共29页哦D(z)D(S)()t()th(t)th(kTs)t脉冲响应不变法图图5-8 脉冲响应不变法脉冲响应不变法()sh kT 所谓所谓脉冲响应不变脉冲响应不变是指所设计出的是指所设计出的D(z)其单位脉冲响应其单位脉冲响应与与D(s)的单位脉冲响应的单位脉冲响应h(t)的采样值相等的采样值相等 第14页，此课件共29页哦0()1()()niiiU sD sAE ssa1111()L inna tiiiiih tAAesa1()iSna kTsiih kTA e1101()1iSiSnna kTkiia TikiAD zAezez()sh kT对对D(z)求求Z Z反变换
11、得到反变换得到 ，所以符合单位脉冲响应不变的条件，所以符合单位脉冲响应不变的条件，D(z)是是D(s)的离散化。这一方法实质上是由的离散化。这一方法实质上是由D(s)直接求直接求Z变换的方变换的方法，当法，当D(s)很简单时，可以直接查很简单时，可以直接查Z Z变换表，如果变换表，如果D(s)较复杂，则必须较复杂，则必须先用部分分式展开成可查表的形式先用部分分式展开成可查表的形式对上式求对上式求Z Z变换变换 （5-85-8）（5-75-7）第15页，此课件共29页哦21()0.21D sss222111.005 0.995()0.21(0.1 0.995)(0.10.995)(0.1)0.9
12、95D ssssj sjs0.110.10.222121.005sin0.9950.760.76()()2cos0.9950.9850.81910.9850.819()sssTsTTszeTzzU zD zzzeTezzzzE z查查Z变换表变换表等效差分方程（控制算法）：等效差分方程（控制算法）：u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.76e(k-1)22)(basbaTaTaTebTzezbTze22cos2sin第16页，此课件共29页哦asasD)(1()()()1()saTaU zD zD sezE z()()(1)saTu kae keu k第17页，此课件共
13、29页哦注意！两种避免频率混叠现象发生的方法注意！两种避免频率混叠现象发生的方法 采样器前串联低通滤波器，以衰减高频分量 使用足够高的采样频率 2 2特点及应用范围特点及应用范围s第18页，此课件共29页哦D(S)1sT sesD(S)1()()sT seDzZD ss加零阶保持器的脉冲响应不变法2.2.特点：特点：(1)D(s)是稳定的，变换后D(z)也是稳定的。(2)由于零阶保持器具有低通滤波特性，将使信号最大频率低些，因此频率混叠现象将比单纯采用脉冲响应不变法要有所改善。(3)零阶保持器的引入将带来相位滞后，故稳定裕度要差些。图图5-9 加加零阶保持器的脉冲响应不变法零阶保持器的脉冲响应
14、不变法第19页，此课件共29页哦21()0.21D sss1222221111121212121110.10.995(z)Z(1)Z0.10.21(0.1)0.995(0.1)0.99511 0.49230.763(1)11 0.9850.8191 0.9850.8190.4310.403(1 0.9850.819sTsesDzsssssszzzzzzzzzzUzz )()zE z等效差分方程（控制算法）等效差分方程（控制算法）:u(k)=0.985u(k-1)-0.819u(k-2)+0.431e(k-1)+0.403e(k-2)第20页，此课件共29页哦经双线性变换后，模拟频率与离散频率两
15、者之间存在着非线性关系sjSjTZe将将 带入双线性变换式：带入双线性变换式：22222222222222222 121222.2sin22cos2TTTTjjjjsssssTTTTjjjjsssssTTjjssTTjjssTTTTjjjjssssTjTjssssssseeeeejTeTeeeeeejeejTTeeeeTjTT22ssTjtgT与与之间的非线之间的非线性性关系式关系式22ssTtgT 2sT2sTsTw与w之间的非线性关系图5-13 之间的非线性关系 第21页，此课件共29页哦22ssTtgTsT0sT第22页，此课件共29页哦假设假设0()1sD s 当考虑频率响应时，将当考
16、虑频率响应时，将sj代入代入0()1jD j在临界频率在临界频率0 处有处有()1D jj 将将()D s中的中的0变换成变换成002*2SsTtgT则则0()122SssD sTtgT再再实施实施双线双线性性变换，代变换，代入入112 1 z1 zssT0012 1()1212121222SSSjTjTjTSssSSsseD eTTetgTTtgTTtgT当当00()1SjTD ej保证了临界频率保证了临界频率0处处()D s与与()D z有相同的特性有相同的特性 第23页，此课件共29页哦 将所期望的极点和零点（将所期望的极点和零点（s+a）,以以a代替代替as0s2*2*TatgTsas
17、a2.2.将将D(s,a)变换成变换成D(z,a)D(z,a)112 1 z1 z(,)(,*)ssTD z aD s a3.3.调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流增益发生了调整增益，因为频率预畸变之后。零极点挪动，直流增益发生了变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出发，进行增益调整。变化，所以必须保证变化前后直流增益不变出发，进行增益调整。10()()zsD zD s第24页，此课件共29页哦例例4-5已知已知21()0.21D sssTs=1s()D s的临界频率的临界频率1/nrad s用频率预畸变的双线性变换法变换成用频率预畸变的双线性变换法变换成D(z)D(z)1）进行
18、频率预畸变进行频率预畸变s2*1.0932nnsTtgT2222211()(,*)20.2*10.2191.195nnnnnD sD sssssss2 2）对对 进行双线性变换进行双线性变换(,*)nD s11112 121111212(,)(,*)114()0.21921.195110.178(1)10.9960.827snnzsTzkD zD szzzzkzzz第25页，此课件共29页哦令令10()()zsD zD s20.178(1 1)11 0.9960.827k1.17k 等效差分方程等效差分方程(控制算法控制算法):):()0.996(1)0.827(2)0.208()0.416(
19、1)0.208(2)u ku ku ke ke ke k 21212121827.0996.01208.0416.0208.0827.0996.01)1(178.017.1)(zzzzzzzkzD第26页，此课件共29页哦第27页，此课件共29页哦5.3.6 极点零点对应法极点零点对应法 第28页，此课件共29页哦将s平面的零点或极点用ssTze关系映射到Z平面上可以定义为下列变换关系：1s1()()aTs azeD z def D s 对于复数极点或零点ss212()()12cos()aTaTSSajb Sajbz ebTez 1 同一个同一个()D s用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的用极点零点对应法和脉冲响应不变法变换后的()D z极点相同而零点不同。极点相同而零点不同。2 2 通常通常D(s)D(s)的零点数小于极点数，的零点数小于极点数，D(s)的某些零点在无穷远处的某些零点在无穷远处ssTze的映射关系，对于具有低通滤波特性的的映射关系，对于具有低通滤波特性的D(s)把无穷远处的零点映射到把无穷远处的零点映射到3 3 要保证直流增益不变要保证直流增益不变,即即:10()()zsD zD s不存在频率混叠现象；不存在频率混叠现象；D(s)稳定，变换后稳定，变换后D(z)稳定稳定1z 零极点对应法特点：零极点对应法特点：第29页，此课件共29页哦