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1、第二型曲线积分,一、引例：变力做功问题 二、第二型曲线积分的概念与性质 三、第二型曲线积分的计算法 四、两类曲线积分的关系,常力沿直线所作的功,分割,？,一、引例 变力做功问题,求和,取极限,取近似,取,即,设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑,用L上的点:,把L分成n个有向小弧段,曲线弧,在L上有界.,上任意取定的点.,二、第二型曲线积分的概念和性质,如果当各小段长度的最大值,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,在有向曲线弧 L上,或称,第二型曲线积分.,对坐标x的曲线积分,即,类似地定义,称,在有向曲线弧 L上,对坐标y的曲线积分.,在光滑曲线弧L上,“点积”形式,第二类曲线积分存
2、在.,连续,其中,空间有向曲线弧,L1,L2,对坐标的曲线积分与,(1),则,(2),有向曲线弧,则,曲线的方向有关.,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、第二型曲线积分的计算,思想是,因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.,上限是终点的,坐标.,定理,连续,且,特殊情形,(1),(2),则,则,(3),推广,例1,解,问题：被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同而积分结果相同.,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例2,A点对应,B点对应,例3,(1) L是上半圆周 反时针方向;,解,A点对应,(2) L是x轴上由
3、点 到点 的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,(2) L的方程为,原式=,(2) L是x轴上由点 到点 的线段.,其中,例4,解,例5,解,补充,在分析问题和算题时常用的,L在上半平面部分与,P(x, y)为,P(x, y)为,其中L1是曲线L的上半平面的部分.,类似地,对称性质,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段,光滑的,关于,下半平面部分的走向相反时,x 轴对称,则,y的偶函数,y的奇函数,的讨论也有相应的结论.,对,例6,直接化为定积分计算,取逆时针方向.,解,法一,由曲线积分的性质.,则,其中ABCDA为,将原式分成两部分,即,曲线关于,的走向与L在下半部分的走向相反,法二,被积函数为,利用对称性质,L在上半部分,x轴对称,y的偶函数.,原式,曲线关于,L在右半部分的走向与L在左半部分的走向相反,被积函数为,所以,y轴对称,x的偶函数.,其中,四、两类曲线积分的关系,可用向量表示,有向曲线元,则,推广,空间曲线,第一型曲线积分的概念,第一型曲线积分的计算,四、小结,四步:分割、取近似、求和、取极限,思想:化为定积分计算,第一型曲线积分的物理意义,变力沿曲线所作的功,关于曲线方向的性质,注意:,第一型曲线积分的性质,