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1、二重积分的几何意义 在直角坐标系下计算二重积分 在极坐标系下计算二重积分 二重积分的换元法 小结,第二节 二重积分的计算,一、二重积分的几何意义,曲顶柱体,以xOy面上的闭区域D为底,侧面以D的,曲顶柱体体积=,特点,困难,边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面,顶是,曲面,且在D上连续).,?,曲顶,顶是曲的,柱体体积 =,特点,分析,平顶,底面积高,解决问题的思路、步骤与,曲边梯形面积的求,法类似：,化整为零、,近似代替、,积零为整、,无限趋近.,(1) 化整为零,分为n个小曲顶柱体.,(用 表示第i个子域的面积) .,将域D任意分为n个子域,相应地曲顶柱体,(2) 近似代替,第i个小曲顶柱
2、体的体积的近似式,在每个子域内任取一点,(3) 积零为整,(4) 无限趋近,)趋于零,求曲顶柱体体积的近似值,令n个子域的直径中的最大值(记作,上述和式的极限即为曲顶柱体的体积.,(2),二重积分的几何意义,(3),(1),在D上的二重积分就等于,二重积分是,二重积分是,而在其它的部分区域上是负的.,这些部分区域上的,柱体体积的代数和.,那末,柱体体积的负值;,柱体体积;,在D上的若干部分区域上是正的,例 设D为圆域,?,二重积分,=,解,上述积分等于,由二重积分的几何意义可知，,是上半球面,上半球体的体积：,R,D,二、在直角坐标系下计算二重积分,(1) 积分区域为：,其中函数,在区间 上连
3、续.,计算截面面积,( 红色部分即A(x0) ),以D为底,以曲面,为顶的曲顶柱体的体积.,应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法.,是区间,为曲边的曲边梯形.,为底,曲线,是区间 为底,曲线 为曲边 的曲边梯形.,有:,先对y后对x的二次积分,称为,累次积分.,(2) 积分区域为：,先对x后对y的二次积分,也即,其中函数,在区间,上连续.,计算结果一样.,又是Y型:,(3)积分区域D既是X型:,但可作出适当选择.,(4) 若区域如图,在分割后的三个区域上分别使用积分公式.,(用积分区域的可加性质),则必须分割.,例1,解1,将D看成X型区域,例1,解2,将D看成Y型区域,D1,D2
4、,第一种方法计算量小,例4,e-y2 对y的积分,而它对x的积分,交换积分次序的方法是:,改写D为:,分析,所以将二次积分先,将所给的积分域,(1),(2),画出积分域的草图,(3),计算二次积分,不能用基本积分法算出,可用基本积分法算出.,交换积分次序.,用联立不等式表示 D:,例,交换积分次序：,解,积分区域:,原式=,又是能否进行计算的问题.,计算二重积分时,恰当的选取积分次序,十分重要,它不仅涉及到计算繁简问题,而且,凡遇如下形式积分:,等等,一定要放在,后面积分.,解,(1)先去掉绝对值符号,如图,例5,D1,D2,D2,解,(2) 仿照(1)的方法，同时充分利用可加性,例5,D1,
5、D2,D2,D1,设区域D关于x轴对称,如果函数 f(x, y)关于坐标y为偶函数.,性质1,则,D1为D在第 一象,限中的部分,坐标y为奇函数,则,设区域D关于x轴对称,如果函数 f (x, y)关于,二重积分的对称性质,如果函数 f(x,y)关于坐标x为奇函数,如果函数 f(x,y)关于坐标x为偶,则,函数,则,设区域D关于y轴对称,且D1为D在第一,象限中的部分,性质2,如果函数 f(x,y)关于x和y为奇函数,如果函数 f(x,y)关于x和y为,则,偶函数,则,设区域D关于原点对称,将D分为关于原点,对称的两部分D3+D4，,性质3,设D为圆域(如图),0,0,D1为上半圆域,D2为右
6、半圆域,?,为顶点的三角形区域,(A),(B),(C),(D),0.,A,研究生考题, 选择,3分,D1是D在第一象限的部分,D1,D2,D3,D4,记 I=,则I= I1+ I2, 其中,I1=,I2=,而 I1 =,D1与D2关于y轴对称 D3与D4关于x轴对称,而 I2 =,是关于x的偶函数,关于y的奇函数.,所以,D1,D2,D3,D4,三、在极坐标系下计算二重积分,即,也即,(1) 积分区域D:,(2)积分区域D(曲边扇形):,极坐标系下区域的面积,(3) 积分区域D:,注,一般,在极坐标系下计算:,解,例,写出积分,的极坐标二次积分,其中积分区域,形式,在极坐标系下,圆方程为,直线
7、方程为,解,例,计算,其中D是由中心在原点,半径为a的圆周所围成的闭区域.,在极坐标系下,解,求反常积分,例,显然有,又,对称性质,概率积分,夹逼定理,即,所求反常积分,解,计算,所围成的平面闭区域.,例,及直线,四、二重积分的换元法,设被积函数,在区域D上连续,若变换,满足如下条件:,(1),一对一地变为,D上的点;,(2),有连续的一阶偏导数,且雅可比行列式,例15,解,所围成的闭区域.,其中D为椭圆,作广义极坐标变换,故换元公式仍成立,五、小结,二重积分在直角坐标系下的计算,二重积分在极坐标系下的计算公式,(注意使用对称性),(注意正确选择积分次序, 掌握交换积分次序的方法),恰当选择坐标系计算二重积分,(注意选择的原则),