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1、-2000-2017考研数学二历年真题-第 - 25 - 页2017年全国硕士研究生入学考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若函数在x=0连续，则(A) (B) (C) (D)（2）设二阶可到函数满足且，则(A) (B) (C) (D)（3）设数列收敛，则(A)当时， (B)当 时，则(C)当, (D)当时，（4）微分方程 的特解可设为 (A) (B)(C)(D)（5）设具有一阶偏导数，且在任意的，都有则(A) (B)(C)(D)（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速
2、度曲线 （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位:s）,则(A) (B) (C) (D)（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则(A) (B)(C)(D)（8）已知矩阵，则(A) A与C相似，B与C相似 (B) A与C相似，B与C不相似 (C) A与C不相似，B与C相似 (D) A与C不相似，B与C不相似 二、填空题：914题，每小题4分，共24分.（9）曲线的斜渐近线方程为 （10）设函数由参数方程确定，则 （11） = （12）设函数具有一阶连续偏导数，且，则= （13） （14）设矩阵的一个特征向量为，则 三、解
3、答题：1523小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）求（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续性偏导数，,求,（17）（本题满分10分）求（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值（19）（本题满分10分）在上具有2阶导数，证明（1）方程在区间至少存在一个根（2）方程 在区间内至少存在两个不同的实根（20）（本题满分11分）已知平面区域，计算二重积分（21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线上的任意一点，在点处的切线与轴相交于点，法线与轴相交于点，若，求上点的坐标满足的方程。（22）（本题满分11分）三阶行列式有3个
4、不同的特征值，且 （1）证明（2）如果求方程组 的通解（23）（本题满分11分） 设在正交变换下的标准型为 求的值及一个正交矩阵.2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、 选择：18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的.（1） 设，.当时，以上3个无穷小量按照从低阶到高阶拓排序是（A）. （B）.（C）. （D）.（2）已知函数则的一个原函数是（A）（B）（C）（D）（3）反常积分，的敛散性为（A）收敛，收敛.（B）收敛，发散.（C）收敛，收敛.（D）收敛，发散.（4）设函数在内连续，求导函数的图形如图所示，则（A）函数有2个极值点，曲线有2
5、个拐点.（B）函数有2个极值点，曲线有3个拐点.（C）函数有3个极值点，曲线有1个拐点.（D）函数有3个极值点，曲线有2个拐点.（5）设函数具有二阶连续导数，且，若两条曲线在点处具有公切线，且在该点处曲线的曲率大于曲线的曲率，则在的某个领域内，有（A）（B）（C）（D）（6）已知函数，则（A）（B）（C）（D）（7）设，是可逆矩阵，且与相似，则下列结论错误的是（A）与相似（B）与相似（C）与相似（D）与相似（8）设二次型的正、负惯性指数分别为1,2，则（A）（B）（C）（D）与二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。（9）曲线的斜渐近线方程为_.（10）极限_.（11）以和为特解的一阶非
6、齐次线性微分方程为_.（12）已知函数在上连续，且，则当时，_.（13）已知动点在曲线上运动，记坐标原点与点间的距离为.若点的横坐标时间的变化率为常数，则当点运动到点时，对时间的变化率是（14）设矩阵与等价，则解答题：1523小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）（16）（本题满分10分）设函数，求并求的最小值.（17）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值.（18）（本题满分10分）设是由直线，围成的有界区域，计算二重积分（19）（本题满分10分）已知，是二阶微分方程的解，若，求，并写出该微分方程的通解。（20）（本题满分11分）设是由曲线
7、与围成的平面区域，求绕轴旋转一周所得旋转体的体积和表面积。（21）（本题满分11分）已知在上连续，在内是函数的一个原函数。（）求在区间上的平均值；（）证明在区间内存在唯一零点。（22）（本题满分11分）设矩阵，且方程组无解。（）求的值；（）求方程组的通解。（23）（本题满分11分）已知矩阵（）求（）设3阶矩阵满足。记，将分别表示为的线性组合。2015年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:18小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)下列反常积分中收敛的是（）（A） （B） (C) (D)(2)函数
8、在内（）（A）连续 （B）有可去间断点 （C）有跳跃间断点 (D)有无穷间断点(3)设函数，若在处连续，则（）（A） (B) (C) (D)(4) 设函数在连续，其二阶导函数的图形如右图所示，则曲线的拐点个数为（）（A）0 (B)1 (C)2 (D)3(5).设函数满足，则与依次是（）（A）,0 (B)0，（C）-,0 (D)0 ,-(6). 设D是第一象限中曲线与直线围成的平面区域，函数在D上连续，则=（）（A）（B）（C）（D）(7)设矩阵A=，b=,若集合=，则线性方程组有无穷多个解的充分必要条件为（）（A） (B) (C) (D) (8)设二次型在正交变换下的标准形为其中，若，则在正交
9、变换下的标准形为（ ）(A): (B) (C) (D) 二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上.(9) 设（10）函数在处的n 阶导数（11）设函数连续，若，则（12）设函数是微分方程的解，且在处取值3，则=（13）若函数由方程确定，则= （14）设3阶矩阵A的特征值为2，-2,1，其中E为3阶单位矩阵，则行列式=三、解答题：1523小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分）设函数，若与在是等价无穷小，求的值。16、（本题满分10分）设，D是由曲线段及直线所形成的平面区域， ，分别表示D绕X
10、轴与绕Y轴旋转所成旋转体的体积，若，求A的值。17、（本题满分10分）已知函数满足，求的极值。18、（本题满分10分）计算二重积分，其中。19、（本题满分10分）已知函数，求零点的个数。20、（本题满分11分）已知高温物体置于低温介质中，任一时刻物体温度对时间的关系的变化与该时刻物体和介质的温差成正比，现将一初始温度为120的物体在20恒温介质中冷却，30min后该物体温度降至30，若要使物体的温度继续降至21，还需冷却多长时间？21、（本题满分11分）已知函数在区间上具有2阶导数，设曲线在点处的切线与X轴的交点是，证明：。22、（本题满分11分）设矩阵,且，（1）求a的值；（2）若矩阵X满足
11、其中为3阶单位矩阵，求X。23、（本题满分11分）设矩阵，相似于矩阵，（1）求a,b的值（2）求可逆矩阵P，使为对角矩阵。 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题 18小题每小题4分，共32分设，当时， （ ）（A）比高阶的无穷小 （B）比低阶的无穷小（C）与同阶但不等价无穷小 （D）与等价无穷小2已知是由方程确定，则（ ）（A）2 （B）1 （C）-1 （D）-2设，则（ ）（）为的跳跃间断点 （）为的可去间断点（）在连续但不可导 （）在可导设函数，且反常积分收敛，则（ ）（A） （B） （C） （D）设函数，其中可微，则（ ）（A） （B）（C） （D）6设是圆域的第象限
12、的部分，记，则（ ）（A） （B） （C） （D）7设，均为阶矩阵，若，且可逆，则（A）矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价（B）矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价（C）矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价（D）矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价8矩阵与矩阵相似的充分必要条件是（A） （B），为任意常数（C） （D），为任意常数二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9 10设函数，则的反函数在处的导数 11设封闭曲线L的极坐标方程为为参数，则L所围成的平面图形的面积为 12曲线上对应于处的法线方程为 13已知是某个二阶常系数线性微分方程三个解，则
13、满足方程的解为 14设是三阶非零矩阵，为其行列式，为元素的代数余子式，且满足，则= 三、解答题15（本题满分10分）当时，与是等价无穷小，求常数16（本题满分10分）设D是由曲线，直线及轴所转成的平面图形，分别是D绕轴和轴旋转一周所形成的立体的体积，若，求的值17（本题满分10分）设平面区域D是由曲线所围成，求18（本题满分10分）设奇函数在上具有二阶导数，且，证明：（1）存在，使得；（2）存在，使得19（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离和最短距离20（本题满分11）设函数求的最小值；设数列满足，证明极限存在，并求此极限21（本题满分11）设曲线L的方程为（1）求L的弧长（2）
14、设D是由曲线L，直线及轴所围成的平面图形，求D的形心的横坐标22本题满分11分）设，问当为何值时，存在矩阵C，使得，并求出所有矩阵C23（本题满分11分）设二次型记（1）证明二次型对应的矩阵为 ；（2）若正交且为单位向量，证明在正交变换下的标准形为 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题:1-8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1)曲线的渐近线条数 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(2) 设函数，其中为正整数,则 ( )(A) (B) (C) (D) (3) 设，则数
15、列有界是数列收敛的 (A) 充分必要条件 (B) 充分非必要条件 (C) 必要非充分条件 (D) 非充分也非必要(4) 设则有 (A) (B) (C) (D) (5) 设函数为可微函数，且对任意的都有则使不等式成立的一个充分条件是 (A) (B) (C) (D) (6) 设区域由曲线围成，则 (A) (B) 2 (C) -2 (D) - (7) 设, , , ,其中为任意常数，则下列向量组线性相关的为 ( )(A) (B) (C) (D) (8) 设为3阶矩阵，为3阶可逆矩阵，且.若，则 ( )(A) (B) (C) (D)二、填空题：9-14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸指定
16、位置上.(9) 设是由方程所确定的隐函数，则 .(10) .(11) 设其中函数可微，则 .(12) 微分方程满足条件的解为 .(13) 曲线上曲率为的点的坐标是 .(14) 设为3阶矩阵，为伴随矩阵，若交换的第1行与第2行得矩阵，则 . 三、解答题：15-23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分 10 分)已知函数，记，(I)求的值;(II)若时，与是同阶无穷小，求常数的值.(16)(本题满分 10 分)求函数的极值.(17)(本题满分12分)过点作曲线的切线,切点为,又与轴交于点,区域由与直线围成,求区域的面积及绕轴旋转一
17、周所得旋转体的体积.(18)(本题满分 10 分)计算二重积分，其中区域为曲线与极轴围成.(19)(本题满分10分)已知函数满足方程及,(I) 求的表达式;(II) 求曲线的拐点.(20)(本题满分10分) 证明,.(21)(本题满分10 分)(I)证明方程，在区间内有且仅有一个实根；(II)记(I)中的实根为，证明存在，并求此极限.(22)(本题满分11 分)设，(I) 计算行列式；(II) 当实数为何值时，方程组有无穷多解，并求其通解.(23)(本题满分11 分)已知，二次型的秩为2，(I) 求实数的值；(II) 求正交变换将化为标准形.2011年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题(A)
18、 选择题：18小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）已知当时，函数与是等价无穷小，则（ ）（A） （B）（C） （D）（2）设函数在处可导，且，则（ ）（A） （B） （C） （D）（3）函数的驻点个数为（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）3（4）微分方程的特解形式为（ ）（A） （B）（C） （D）（5）设函数，均有二阶连续导数，满足，则函数在点处取得极小值的一个充分条件是（ ）（A）， （B），（C）， （D）， （6）设，则，的大小关系为（ ） （A） （B） （C） （D）（7）设为3阶矩
19、阵，将的第2列加到第1列得矩阵，再交换的第2行与第3行得单位矩阵。记，则=（ ） （A） （B） （C） （D）（8）设是4阶矩阵，为的伴随矩阵。若是方程组的一个基础解系，则的基础解系可为（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题：914小题，每小题4分，共24分。请将答案写在答题纸指定位置上。（9） 。（10）微分方程满足条件的解为 。（11）曲线 的弧长 。（12）设函数 ，则 。（13）设平面区域由直线，圆及轴所围成，则二重积分 。（14）二次型，则的正惯性指数为 。三、解答题：1523小题，共94分。请将解答写在答题纸指定位置上，解答应字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满
20、分10分） 已知函数，设，试求的取值范围。（16）（本题满分11分） 设函数由参数方程 确定，求的极值和曲线的凹凸区间及拐点。（17）（本题满分9分） 设函数，其中函数具有二阶连续偏导数，函数可导且在处取得极值，求。（18）（本题满分10分） 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点处切线的倾角，若，求的表达式。（19）（本题满分10分） （I）证明：对任意的正整数，都有成立。 （II）设，证明数列收敛。（20）（本题满分11分） 一容器的内侧是由图中曲线绕轴旋转一周而成的曲面，该曲线由与连接而成。 （I）求容器的容积； （II）若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做
21、多少功？（长度单位：，重力加速度为，水的密度为）（21）（本题满分11分） 已知函数具有二阶连续偏导数，且，其中，计算二重积分。（22）（本题满分11分） 设向量组，不能由向量组，线性表示。 （I）求的值； （II）将用线性表示。（23）（本题满分11分） 设为3阶实对称矩阵，的秩为2，且。 （I）求的所有的特征值与特征向量； （II）求矩阵。2010年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一选择题A0 B1 C2 D32.设是一阶线性非齐次微分方程的两个特解，若常数使是该方程的解，是该方程对应的齐次方程的解，则A B C DA4e B3e C2e De4.设为正整数,则反常积分的收敛性A仅与取
22、值有关 B仅与取值有关C与取值都有关 D与取值都无关5.设函数由方程确定,其中为可微函数,且则=AB C D 6.(4)= A B CD7.设向量组，下列命题正确的是：A若向量组I线性无关，则 B若向量组I线性相关，则rsC若向量组II线性无关，则 D若向量组II线性相关，则rs15. 设为4阶对称矩阵,且若的秩为3,则相似于A B CD 二填空题9.3阶常系数线性齐次微分方程的通解y=_(1) 曲线的渐近线方程为_(2) 函数(3) 已知一个长方形的长l以2cm/s的速率增加，宽w以3cm/s的速率增加，则当l=12cm,w=5cm时，它的对角线增加的速率为_(4) 设A，B为3阶矩阵，且三
23、解答题16.(1)比较与的大小,说明理由. (2)记求极限九、 设函数y=f(x)由参数方程十、 一个高为l的柱体形贮油罐，底面是长轴为2a,短轴为2b的椭圆。现将贮油罐平放，当油罐中油面高度为时，计算油的质量。（长度单位为m，质量单位为kg，油的密度为）十一、 设函数f(x)在闭区间0,1上连续，在开区间(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=,证明：存在23.设，正交矩阵Q使得为对角矩阵，若Q的第一列为，求a、Q.2009年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.
24、（1）函数的可去间断点的个数，则（ ）1.2. 3.无穷多个.（2）当时，与是等价无穷小，则（ ）（3）设函数的全微分为，则点（ ）不是的连续点.不是的极值点. 是的极大值点. 是的极小值点.（4）设函数连续，则（ ）（5）若不变号，且曲线在点上的曲率圆为，则在区间内（ ）有极值点，无零点.无极值点，有零点. 有极值点，有零点.无极值点，无零点.（6）设函数在区间上的图形为：1-2023-1O则函数的图形为（ ）.0231-2-11. 0231-2-11.0231-11.0231-2-11（7）设、均为2阶矩阵，分别为、的伴随矩阵。若，则分块矩阵的伴随矩阵为（ ）（8）设均为3阶矩阵，为的转置
25、矩阵，且，若，则为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.（9）曲线在处的切线方程为 （10）已知,则 （11） （12）设是由方程确定的隐函数，则 （13）函数在区间上的最小值为 (14)设为3维列向量，为的转置，若矩阵相似于，则 三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分9分）求极限（16）（本题满分10 分）计算不定积分 （17）（本题满分10分）设，其中具有2阶连续偏导数，求与（18）（本题满分10分）设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（19）（本题满分10分）求二重积分，其中（20）（本题满分12分）设是区间内过的光滑曲线，当时，曲线上任一点处的法线都过原点，当时，函数满足。求的表达式（21）（本题满分11分）（）证明拉格朗日中值定理：若函数在上连续，在可导，则存在，使得（）证明：若函数在处连续，在内可导，且，则存在，且。（22）（本题满分11分）设，（）求满足的所有向量（）对（）中的任一向量，证明：线性无关。（23）（本题满分11分）设二次型（）求二次型的矩阵的所有特征值；（）若二次型的规范形为，求的值。