《2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案-(2)(8页).doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案-(2)(8页).doc（8页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、-2014-2015重点高中自主招生数学试题及答案-(2)-第 8 页2014-2015重点高中自主招生数学模拟试题一选择题（每小题5分，共40分）1.一个空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （D ）222侧（左）视图222正（主）视图俯视图A BCD2.已知A（，），B（，）是反比例函数在平面直角坐标系的第一象限上图象的两点，满足，. 则（ B ）A B. C. D. 3.有2 015个整数，任取其中2 014个相加，其和恰可取到1，2，2 014这2 014个不同的整数值. 则这2 015个整数之和为（ ）A1 004 B. 1 005 C. 1 006 D. 1 0083.设
2、2 015个整数为，.记+=M.不妨设M-=（=1，2，2014），M-=A.则2014M=1+2+2014+A.故A除以2014的余数为1007.从而，A=1007，M=1008.当=1008-（=1，2，2014），=1时取到.4.有编号分别为1，2，3，4，5的5个红球和5个黑球，从中取出4个，则取出的球的编号互不相同的概率为 ( D ) A. . B. . C. D. 4、解 从10个球中取出4个，不同的取法有种.如果要求取出的球的编号互不相同，可以先从5个编号中选取4个编号，有种选法.对于每一个编号，再选择球，有两种颜色可供挑选，所以取出的球的编号互不相同的取法有种.因此，取出的球的
3、编号互不相同的概率为. 故选（D）.5. 使得是完全平方数的正整数有 （ B ）A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个5、解 当时，易知不是完全平方数.故设，其中为正整数，则.因为是完全平方数，而81是平方数，则一定存在正整数，使得，即，故都是3的方幂.又两个数相差2，所以只可能是3和1，从而.因此，存在唯一的正整数，使得为完全平方数.故选（B）.6.如图，已知AB为O的直径，C为O上一点，CDAB于D，AD=9，BD=4，以C为圆心，CD为半径的圆与O相交于P,Q两点，弦PQ交CD于E，则PEEQ的值是（ D ）A24 B. 9 C. 3
4、6 D. 277.已知实系数一元二次方程x+(1+a)x+a+b+1=0的两实根为x,x,且0 x1，x1，则的取值范围（ ）A -1 B -1 C -2 D -28. 图中正方形ABCD边长为2，从各边往外作等边三角形ABE、BCF、CDG、DAH，则四边形AFGD的周长为 ( )A.4+2+2 B. 2+2+2 C. 4+2 +4 D4+2+4二填空题（每小题6分，共36分）9.设由18的自然数写成的数列为，.则+的最大值为 32 .由题意记S=+.该式去掉绝对值符号，在这个和的任意加项中，得到一正、一负两个自然数，为了使和达到最大的可能值，只须由14取负，由58取正，于是，S=2（8+7
5、+6+5）-（4+3+2+1）=32.如+=32.10.记表示不超过实数x的最大整数，a=(k=1,2,100,则在这100个整数中，不同的整数的个数为 6911.设非负实数x,y,z满足x+y+z=1,则t=+的最小值为 12如图所示，线段OA = OB = OC =1，AOB = 60，BOC = 30，以OA，OB，OC为直径画3个圆，两两的交点为M，N，P，则阴影部分的曲边三角形的面积是 解：如图，连接AC，AN，BN，AM，BM， MP，NP，OM，ON，OP，易知OPA=OPC =90，ANO =BNO = 90，BMO =CNO = 90，所以A，P，C共线；A，N，B共线；B，
6、M，C共线由OA=OB=OC=1，可知P，M，N分别是AC，BC，AB的中点，MPNB为平行四边形，BN=MP，BM=NP，所以与长度相等，与长度相等，因此，曲边三角形MPN的面积= SMPNB =SABC，而 SABC = SAOCB SAOC = SAOB + SBOC SAOC=，所以，曲边三角形MPN的面积=SABC =13. 将一个棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑色方格，则有 不同的染法.（用数字作答）解：第一行染2个黑格有种染法.第一行染好后，有如下三种情况：（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；（2）第二行染的黑格与第一行的黑格
7、均不同列，这时第三行有种染法，第四行的染法随之确定；（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二这两行染好后，第三行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的染法随之确定. 因此，共有染法为种.填90.14.圆的半径为1，为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示，正方形的顶点与点重合）沿圆周顺时针滚动。经过若干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为_三解答题15. （本题10分）解方程16（本题12分） 17. （本题12分）在正方形ABCD中，P是以C为圆心，CB为半径的圆弧上一点，且PBPD，点Q
8、在线段PB上，PQ=PD，AQ与DP交于点R，求的值过点B作DR的垂线，过点R作PB的平行线与HB交于点S，连接HA，BD由四边形ABCD为正方形，ABC=ADC=90AD，AB为C的切线，BHD=四点共圆于是 PBH=DBA=45即HPB=45=ABD=AHDAHBPHAB=PDB HABPDB所以18.18 19.（本题12分）对参加数学竞赛的选手的准考证进行编号，最小号为0001，最大号为2014.无论哪名选手站出来统计本校其他所有选手准考证号数的平均值时，发现所得的平均值均为整数.问这所学校参加竞赛的选手最多有多少名？设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为.依题意知.对任意均有.于是
9、，.故由于为整数，从而，为2013的约数.注意到，2013=31161不超过45的最大约数为33.于是，的最大值为34，即参赛选手最多有34名.这样的34名选手的号码是可以实现的.如.因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.20. （本题16分）、（分）是直角三角形斜边上的高，（），分别是的内心，的外接圆分别交于，直线交于点；证明：分别是的内心与旁心证：如图，连，由，则圆心在上，设直径交于，并简记的三内角为，由所以，得，且，故，而，注意，所以，因此，同理得，故与重合，即圆心在上，而，所以平分；同理得平分，即是的内心，是的旁心证二：如图，因为，故的外接圆圆心在上，连，则由为内心知， 所以于是四点共
10、圆，所以，又因，因此点在上，即为与的交点设与交于另一点，而由，可知，分别为的中点，所以，因此，点分别为的内心与旁心11已知抛物线C：与直线l：没有公共点，设点P为直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，A，B为切点(1)证明：直线AB恒过定点Q；(2)若点P与（1）中的定点Q的连线交抛物线C于M，N两点，证明：证明 (1)设，则由得，所以于是抛物线C在A点处的切线方程为，即设，则有设，同理有所以AB的方程为，即，所以直线AB恒过定点 -7分 (2)PQ的方程为，与抛物线方程联立，消去y，得设，则要证，只需证明，即由知，式左边=故式成立，从而结论成立 -15分某校设该校共有n名选手参赛，其准考证号依次为.依题意知.对任意均有.于是，.故由于为整数，从而，为2013的约数.注意到，2013=31161不超过45的最大约数为33.于是，的最大值为34，即参赛选手最多有34名.这样的34名选手的号码是可以实现的.如.因此，该校参加竞赛的选手最多有34名.