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1、-2018春中考数学古诗词中圆的有关运用-第 6 页数学文化讲堂（四）梦溪笔谈会圆术梦溪笔谈由北宋科学家、政治家沈括（10311095）撰，是一部涉及天文、数学、物理、化学、生物等各个门类学科的综合性笔记体著作.该书被数学界尊为中国古代数学研究的重要成就，其中就包括了沈括首创的隙积术和会圆术.材料“余别为拆会之术，置圆田，径半之以为弦，又以半径减去所割数，余者为股；各自乘，以股除弦，余者开方除为勾，倍之为割田之直径.以所割之数自乘倍之，又以圆径除所得，加入直径，为割田之弧.”译文为：如图所示，在扇形OAB中，ODAB于点C，OA=OB=r，AB=t，CD=h，OCd，劣弧=m，则d=r-h，t
2、=，m= .1. 根据以上材料解决下列问题：如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E.若AE=2，EB=8,则OE=_；CD=_；的长为_.第1题图 周髀算经圆周髀算经，原名周髀，是算经的十书之一.中国最古老的天文学和数学著作，约成书于公元前1世纪，主要阐明当时的盖天说和四分历法.材料周髀算经中记载：周公与商高对话中，商高提出“环矩以为圆”.注解1：中国数学史大系第一卷中解释为：把矩的长短两只当作“规”的两只脚，直立于平面上，以矩的一端为枢，旋转时，另一端即可成圆，如图.注解2：中国近代著名数学家李俨注解：“直角三角形固定弦，其直角顶点的轨迹便是圆”，如图，数学家梁宗臣的看法与李俨相同，并在其世
3、界数学史简编注明.请完成下列问题：2. 注解1中，阐述了圆的定义：_；3. 注解2中说明直径所对的圆周角为_；4. 已知一直角三角形的斜边长为4，结合材料，请探究这个直角三角形的面积是否存在最大值？若存在，请求出面积的最大值；若不存在，请说明理由.九章算术方田九章算术与古希腊欧几里得的几何原本并称现代数学的两大源泉，是中国古代数学成就的杰出代表，标志着以筹算为基础的中国古代数学体系的正式形成，全书分为9章，卷一“方田”中，详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法.材料1“方田”篇中所记：宛田面积术曰：以径乘周，四而一.其中，宛田：扇形的田地；径：扇形的直径；周：扇形的弧长；意思是：扇形的面积直
4、径弧长4.请完成下列问题：5. 请用所学公式证明古人方法是否正确.6. 我们将弧长与半径相等的扇形叫作“等边扇形”，试求面积为16的“等边扇形”的弧长为_.材料2“方田”篇中还记载：弧田面积术曰：以弦乘矢，矢又自乘，二而一，即给出了计算弧田面积的经验公式：（弦矢+矢矢）2.弧田（如图），由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差（弓形的高）.7. 按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为120，弦长等于9米的弧田.（1）计算弧田的实际面积；（2）按照材料中的经验公式计算所得结果与（1）中计算的弧田面积相差多少平方米?
5、（结果保留两位小数，1.732,取3.14）8. “今有圆材，埋在壁中，不知大小.以鐻之，深一寸，鐻道长1尺.问径几何？”译文为：如图，圆木埋在壁中，不知大小，用锯子来锯它，锯到深度CD为1寸时，量得锯痕AB长1尺，问圆木的直径是多少?第8题图9. “今有勾八步，股十五步.问勾中容圆，径几何？”译文为：今有股长十五步,勾长八步的直角三角形,试求其内切圆的直径.第9题图海伦秦九韶公式海伦（约公元50年），古希腊的几何学家，在数学史上以解决几何测量问题而闻名.材料他的著作度量一书中，对秦九韶公式：SABC=进行拓展，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p=（a+b+c），那么三角
6、形的面积为：SABC= ，称为海伦公式.10. 如图，在ABC中，BC=5，AC=6，AB=9，求ABC的内切圆半径.第10题图婆罗摩笈多定理婆罗摩笈多（Brahmagupta），是一位印度数学家和天文学家，书写了两部关于数学和天文学的书籍.他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位，他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的九章算术，而他的负数乘除法则在全世界都是领先的.他还提出了著名的婆罗摩笈多定理. 材料该定理的内容及部分证明过程如下：已知：如图，四边形ABCD内接于O，对角线ACBD于点P，PMAB于点M，延长MP交CD于点N，求证：CNDN.证明：在ABP和BMP中，ACBD,PMAB,B
7、AP+ABP=90,BPM+MBP=90.BAP=BPM.DPN=BPM,BAP=BDC,第11题图11. （1）请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程，完成剩余的证明部分;（2）已知：如图，ABC内接于O，B30，ACB45，AB2.点D在O上，BCD60，连接AD，与BC交于点P，作PMAB于点M，延长MP交CD于点N，则PN的长为_.答案1. 3,8，163【解析】AE=2，EB=8，AB=10，OA=5，OE=OA-AE=3；由会圆术可知CD=28； =8+=.2. 平面上到定点的距离为定值的所有的点的集合即为圆3. 直角4. 解：存在.由注解2可知，该直角三角形的直角顶点在直径为4的圆上，
8、最大面积为S4.5. 解：正确.证明：S扇形lr=l=ld.6. 47. 解：（1）如解图，在OAB中，AB9（米），AOB120，ACO90，则AOC60，AC (米)，OA3 (米)，OC (米).第7题解图所以SAOB9（平方米），S扇形AOB9（平方米）,所以S弧田（9-）平方米.（2）由（1）知矢长为h=OA-OC=（米）,根据经验公式的S弧田 9+（）2=（+）平方米.所以9-1.50（平方米）.按照弧田面积经验公式计算比实际面积约少1.50平方米.8. 答：圆木的直径为26寸9. 解：如解图，在RtABC中，AB15（步），BC8（步），设内切圆半径为r步.第9题解图AC= =17（步）.SABCABBC,SABC=SAOB+SBOC+SAOC=ABr+BCr+ACr=（AB+BC+AC）r,ABBC（AB+BC+AC）r，r= =3.此三角形内切圆的直径为6步.10. ABC的内切圆半径为2.11. （1）证明：在ABP和BMP中，ACBD,PMAB,BAP+ABP=90，BPM+MBP90，BAPBPM.DPNBPM，BAPBDC，DPNBDN，DNPN，同理，PNCN，CNDN.（2）1.