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1、关于反函数的导数关于反函数的导数现在学习的是第1页，共18页一、反函数的导数一、反函数的导数定理定理.)(1)(,)(,0)()(xxfIxfyyIyxxy 且且有有内内也也可可导导在在对对应应区区间间那那末末它它的的反反函函数数且且内内单单调调、可可导导在在某某区区间间如如果果函函数数即即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数反函数的导数等于直接函数导数的倒数.现在学习的是第2页，共18页证证,xIx 任任取取xx 以增量以增量给给的单调性可知的单调性可知由由)(xfy ,0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)(y 又又知知xyxfx 0lim)(yxy 1li
2、m0)(1y .)(1)(yxf 即即),0(xIxxx 现在学习的是第3页，共18页例例1 1.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 解解,)2,2(sin内单调、可导内单调、可导在在 yIyx,0cos)(sin yy且且内内有有在在)1,1(xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx )(arcsin x.11)cot(2xx arc现在学习的是第4页，共18页例例2 2.log的导数的导数求函数求函数xya,0ln)(aaayy且且,),0(内有内有在在 xI)(1)(lo
3、g yaaxaayln1.ln1ax 解解,),(内内单单调调、可可导导在在 yyIax特别地特别地.1)(lnxx 现在学习的是第5页，共18页二、复合函数的求导法则二、复合函数的求导法则定理定理).()(,)(,)()(,)(0000000 xufdxdyxxfyxuufyxxuxx 且且其其导导数数为为可可导导在在点点则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数即即 因变量对自变量求导因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求等于因变量对中间变量求导导,乘以中间变量对自变量求导乘以中间变量对自变量求导.(.(链式法则链式法则)现在学习的是第6页，共18页证证,
4、)(0可可导导在在点点由由uufy )(lim00ufuyu )0lim()(00 uufuy故故uuufy )(0则则xyx 0lim)(lim00 xuxuufx xuxuufxxx 0000limlimlim)().()(00 xuf 现在学习的是第7页，共18页推广推广),(),(),(xvvuufy 设设.)(dxdvdvdududydxdyxfy 的的导导数数为为则则复复合合函函数数 例例3 3.sinln的导数的导数求函数求函数xy 解解.sin,lnxuuy dxdududydxdy xucos1 xxsincos xcot 现在学习的是第8页，共18页例例4 4.)1(102
5、的的导导数数求求函函数数 xy解解)1()1(10292 xxdxdyxx2)1(1092 .)1(2092 xx例例5 5.arcsin22222的的导导数数求求函函数数axaxaxy 解解)arcsin2()2(222 axaxaxy2222222222121xaaxaxxa .22xa )0(a现在学习的是第9页，共18页例例6 6.)2(21ln32的的导导数数求求函函数数 xxxy解解),2ln(31)1ln(212 xxy)2(31211212 xxxy)2(3112 xxx例例7 7.1sin的导数的导数求函数求函数xey 解解)1(sin1sin xeyx)1(1cos1sin
6、 xxex.1cos11sin2xexx 现在学习的是第10页，共18页三、小结三、小结反函数的求导法则反函数的求导法则（注意成立条件）（注意成立条件）;复合函数的求导法则复合函数的求导法则（注意函数的复合过程（注意函数的复合过程,合理分解正确使用链导法合理分解正确使用链导法）;已能求导的函数已能求导的函数:可分解成基本初等函数可分解成基本初等函数,或常数与或常数与基本初等函数的和、差、积、商基本初等函数的和、差、积、商.现在学习的是第11页，共18页思考题思考题 若若)(uf在在0u不可导，不可导，)(xgu 在在0 x可导，且可导，且)(00 xgu ，则，则)(xgf在在0 x处处（）（
7、1）必可导；）必可导；（2）必不可导；）必不可导；（3）不一定可导；）不一定可导；现在学习的是第12页，共18页思考题解答思考题解答正确地选择是正确地选择是（3）例例|)(uuf 在在 处不可导，处不可导，0 u取取xxgusin)(在在 处可导，处可导，0 x|sin|)(xxgf 在在 处不可导，处不可导，0 x)1(取取4)(xxgu 在在 处可导，处可导，0 x44|)(xxxgf 在在 处可导，处可导，0 x)2(现在学习的是第13页，共18页一、一、填空题：填空题：1 1、设设4)52(xy,则则y=_._.2 2、设设xy2sin,则则y=_._.3 3、设设)arctan(2x
8、y ,则则y=_._.4 4、设设xycosln,则则y=_._.5 5、设设xxy2tan10，则，则y=_._.6 6、设设)(xf可导，且可导，且)(2xfy ，则则dxdy=_._.7 7、设设xkexftan)(,则则)(xf =_，若若ef 4，则，则 k_._.练练 习习 题题现在学习的是第14页，共18页二、二、求下列函数的导数：求下列函数的导数：1 1、xy1arccos；2 2、xxy2sin；3 3、)ln(22xaxy ；4 4、)cotln(cscxxy ；5 5、2)2(arcsinxy ；6 6、xeyarctan；7 7、xxyarccosarcsin；8 8、
9、xxy 11arcsin.三、三、设设)(xf，)(xg可导，且可导，且0)()(22 xgxf,求函数求函数)()(22xgxfy 的导数的导数.四四、设设)(xf在在0 x处处可可导导，且且0)0(f，0)0(f,又又)(xF在在0 x处处可可导导，证证明明 )(xfF在在0 x处处也也可可导导 .现在学习的是第15页，共18页一、一、1 1、3)52(8 x；2 2、x2sin；3 3、412xx；4 4、xtan；5 5、)2sec22(tan10ln1022tanxxxxx；6 6、)(22xfx ；7 7、xxkekxk21tansectan ,21.二、二、1 1、122 xxx；2 2、22sin2cos2xxxx；3 3、221xa ；4 4、xcsc；5 5、242arcsin2xx；6 6、)1(2arctanxxex；练习题答案练习题答案现在学习的是第16页，共18页 7 7、22)(arccos12xx ；8 8、)1(2)1(1xxx .三三、)()()()()()(22xgxfxgxgxfxf .现在学习的是第17页，共18页9/5/2022感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第18页，共18页