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1、北京师范大学数学学院授课教师：刘永平,第四章 一元函数的变化性态（II）,今天主要内容: 有界变差函数、绝对连续函数,(1)有界变差函数的定义、性质； (2)单调函数、有界变差函数关系； (3)绝度连续函数的定义; (4)绝度连续函数与有界变差函数的关系； (5)一些例子. (6) 小结.,1. 引入 曲线的求长,2 有界变差函数,为 f(x) 对分点组T的变差.,定义2.1.设 f(x) 是a,b上的有限函数，在a,b上任取一分点组 T,为 f(x) 对分点组T的负变差.,为 f(x) 对分点组T的正变差.,称,例2.1. 闭区间上的单调函数一定是有界变差函数,例2.2. 连续函数不一定是有
2、界变差函数.,对0,1取分划,定理2.2,定理2.3,3 Jordan分解定理,定理2.4. f(x)是有界变差函数当且仅当 f(x)可表成两个单调不减函数的差.,注：由于单调函数的不连续点全体为一可数集，从而有界变差函数的不连续点为一可数集，故Riemann可积; f 几乎处处有有限导数且,定理2.5,例2.5,有界变差函数与不定积分,不定积分F(x)是有界变差函数，但由Cantor 函数（是有界变差函数，后面介绍）知道，先取导数再取积分并不能返回，问什么函数满足此性质？,4 绝对连续函数,则称F(x)是a,b上的绝对连续函数.,设F(x)是a,b上的有限函数，若 使对a,b中的任意有限个互不相交的开区间,注： 绝对连续函是一致连续函数，当然是连续函数，也是有界变差函数. 绝对连续函数 f 几乎处处有有限导数、导函数L-可积且,例1,利用积分的绝对连续性即可,小结,（1）有界变差函数可以表示成两个单增函数（或两个单调减函数）的差； （2）有界变差函数有界，不连续点全体至多可数； （3）有界变差函数是Riemann可积的； （4）有界变差函数几乎处处存在有限导数； （5）绝对连续函数是有界变差的，故几乎处处有导数.,习题4.2,2、3、5、6、7、9.,