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1、-毕业论文CT系统参数标定及成像-第 19 页 CT系统参数标定及成像摘要本文主要针对CT系统进行研究与分析，根据附件中的信息对CT系统进行参数标定，并在此基础上，结合附件资料建立相关模型求解出所测介质的相关信息。对于问题一，首先对附件二数据进行二值化处理并进行统计分析，判断得出X射线的180个方向信息。选取最大目标值对能量的最大吸收量进行统计，分析得出测量过程中占据最大探测单元数的测量角度。得到已知长度所对应的探测单元数，并对探测单元间距进行计算。利用质心法，建立中心位置几何模型和旋转中心位置质心法模型对CT系统旋转中心位置进行求解，并对所得结果进行误差分析，验证模型可靠性。对于问题二，经过
2、对附件二中的信息进行验证分析，发现旋转中心的偏移对图像的重建影响较大。为得到较准确的重建图像，应用CT系统旋转中心偏移校正原理对附件三的信息进行处理，得到一个新的数据信息。在新的数据信息的基础上，利用代数迭代重建方法，建立射线的能量吸收模型，重复迭代，即可求出每个像素的吸收率。再利用Radon逆变换原理，根据各像素吸收率，重建出原图像，进而求出各个位置的吸收率。对于问题三，根据问题一已求解出来的标定参数，运用图像偏差校正法对附件五中数据进行校正。运用Radon逆变换图像重建模型对校正后数据进行图像重建。得出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。对图像进行二值化处理，求解出10
3、个位置的实际坐标。根据未知介质实际坐标，建立像素中心点提取模型，求出10个位置处的吸收率。对于问题四，首先对问题一中的标定参量进行误差分析，以偏差（Bias）和均方根误差（RMS）作为精度评定标准，分别对旋转中心，探测器单元距离和CT系统方向进行评定，求出参数标定精度，并分析其稳定性。建立一个新模板，利用问题一模型，进行参数标定。并对所求参数与已知参数做精度与稳定性分析。为解决图像重建的问题，也可以建立卷积反投影模型，采用最小二乘法对CT系统的标定参数的最优解进行计算。对图像重建过程进行优化，提高标定参数的求解精度，为今后CT系统的图像重建在工业、医学等各领域的发展提供参考依据。 关键词：代数
4、迭代重建法 质心法 最小二乘法 Radon变换 图像偏差纠正一、问题重述1.1问题的背景所谓的CT技术，是指CT系统在不破坏样品的前提下，利用样品对探测仪器所发射射线能量的吸收特性对工程材料和生物组织等样品进行断层成像分析，从而可以得到样品的内部结构特点。现有一种典型的二维CT系统，其平行射入的X射线垂直于探测器的表层面上。其探测器上的每一个单元都可以看做接受点，并且其单元等距排列。CT系统中的发射器和探测器的相对位置是不变的，整个发射和接受系统绕着某个旋转中心旋转180次，其中方向为逆时针。对每一次的X射线，在有512个等距单元的探测器上测量通过位置不动的二维待测的介质吸收衰弱后的射线能量，
5、并且经过增益处理后可以得到180组接受的信息。1.2要解决的问题（1）如果在正方形托盘上面放置两个均匀固体介质所组成的标定模板，其相应的数据文件见附件1，其表中每一点的数值都反映该点的吸收强度，称为“吸收率”。该模板的具体接受信息见附件2。根据这一模板以及其接受信息，找出CT系统旋转中心在正方形托盘上的具体位置、探测器各个单元之间的距离以及该CT系统中所使用射线的180个方向。（2）附件3的信息是利用上述CT系统测定的某未知介质的接受信息。由此利用问题一得到的标定参量，以确定该未知介质在正方形托盘中的具体位置、几何形状和其吸收率等信息。并且，请给出图3所示的10个位置处的吸收率，其相应的数据文
6、件见附件4。（3）附件5中的信息是利用上述CT系统测定的另一个未知介质的接收信息。同理，利用问题一中得到的标定参数，求出该未知介质的相关信息。并且，请分别求出图3所给的10个位置处的吸收率。（4）分析问题一中标定参数的稳定性和精度。并在此基础上自行设计出新模板，并建立对应的标定模型，改进标定稳定性和精度，并说出理由。二、问题分析该题是以CT系统为背景，要求根据附件所提供的参数信息，对CT系统进行参数标定，并由确定好的CT系统求出所测未知介质。通过对问题的分析以及资料的查询，得到以下对四个问题的理解。2.1问题一的分析对于问题一，对附件二中接收信息进行处理，分析探测器所接收到的吸收X射线能量的数
7、据。对射线方向进行分析与判断，得出X射线方向的具体信息。考虑误差最小情况下，选取发射器由椭圆正上方进行检测时，椭圆左边界与小圆右边界相隔的总探测单元数。根据图二中模板示意图中，椭圆与小圆两边界的实际长度，由比例得到探测器单元之间的距离。并对由于X射线与均匀固体物质边界并非完全相切，而所产生的误差进行分析。建立CT系统旋转中心求解模型，对CT系统旋转中心具体位置进行求解，得出数据。运用最小二乘法得出最优旋转中心位置。2.2问题二的分析该问要求根据附件三提供某未知介质的接收信息，求出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息，并找出题中所给的10个位置的吸收率。因CT系统的旋转中心容易
8、发生偏移，而偏移后的中心对图形的重建会有一定的影响，所以这里应充分考虑此问题。应先根据问题一中所求出的标定参量，结合附件三中未知介质的接收信息，对图形进行偏差校正后，可由附件三得到一组新的数据信息。在新的数据信息基础上，利用代数迭代重建方法，经过多次迭代，可以求出介质的吸收率。根据吸收率，根据Radon逆变换原理，利用MATLAB可以绘制出该介质的复原图，从而确定出介质在托盘中的位置以及介质的几何形状。并可以找出其10个点的吸收率。2.3问题三的分析该问要求根据附件三提供某未知介质的接收信息，求出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。同理运用问题二中图像偏差校正法对附件五中数
9、据进行校正。根据所建立的代数迭代重建模型，对附件五数据进行图像重建，得出该未知介质在正方形托盘中的位置、几何形状和吸收率等信息。在获取图3中10个吸收点的吸收率时，首先对图片进行二值化处理，得出10个吸收点像素坐标并进行转换得出吸收点实际坐标。提取出附件五中10个吸收点的吸收率。2.4问题四的分析该问题要求对参数标定的精度和稳定性进行分析，并建立新的模板改进标定精度和稳定性。通过对所求标定参量的误差分析，以偏差（Bias）和均方根误差（RMS）作为精度评定标准，分别对旋转中心，探测器单元距离和CT系统方向进行评定，求出参数标定精度，可分析其稳定性。建立一个新模板，利用问题一模型，进行参数标定。
10、并对所求参数与已知参数做精度与稳定性分析。三、模型假设及符号说明3.1模型假设（1）假设CT系统在旋转过程发射器发射能量无损失；（2）假设发射-接收系统以均匀步长进行旋转；（3）假设CT系统整个装置和正方形托盘平面平行；（4）假设附件中所给的信息来源可靠。3.2符号说明：表示第次检测过程中，第个探测器的接收信息；：表示椭圆长实轴实际长度；：表示椭圆长实轴所占据单元格个数；：表示第次检测过程中能量的最大吸收量；：表示探测器单元之间实际距离；：表示第个像素内的平均值；：表示射线的宽度；：表示像素对射线的吸收量；：表示旋转中心距椭圆中心位置距离；：表示取接收器与轴的夹角为时，第个射线能量改变量；：表
11、示待重建物体函数。四、模型的建立与求解4.1问题一的模型建立与求解对附件中的数据进行二值化处理并进行统计分析，经判断得出X射线的180个方向信息。对数据进行搜寻，找出最大吸收量，分析得出测量过程中，占据最大探测单元数的测量角度。已知长度所对应探测单元数，对探测单元间距进行计算，可以得到结果。4.1.1问题一模型建立（1）CT系统中X射线的方向分析建立以模板示意图左下角为原点的二维平面坐标系。对附件二中接收信息进行数据二值化处理，具体公式如下： （1）其中为第次检测过程中，第个探测器的接收信息。通过二值化后数据，对在180次检测过程中吸收射线能量的X射线条数进行统计。其统计公式为： （2）通过对
12、存在能量损失的X射线条数统计，得出经180次测量的存在能量损失射线条数变化图。图1 存在能量损失的X射线条数变化图根据图中显示数据可知，在第5865次检测时，存在能量损失的X射线条数达到最大，最大为289条；在第150次检测时，存在能量损失的X射线条数达到最小，最小为137条。通过上述分析，可得到第150次检测时，由于吸收X射线能量最小条数应为发射器由椭圆正上方进行检测时的情况。由此得到150次检测的X射线方向为。由于整个系统绕未知旋转中心旋转180次完成整个物体的测量，即选取等步长为完成探测。因此得出CT系统中所使用的180个X射线的方向。（2） 探测器单元之间距离的计算通过对X射线的方向的
13、分析，得出第150次测量为发射器由椭圆正上方进行检测时的情况；且第5865次测量为发射器扫过水平扫过固体介质的过程。由于第5865次测量时，存在能量损失的探测单元数最大。因此为比较出水平X射线检测的数据，对5865次测量得到的能量消耗最大值进行计算，其计算公式为： （3）其中， 为第次检测过程中能量的最大吸收量；为第次检测过程中，第个探测器的接收信息。根据上述公式进行计算，得出第5865次测量中能量的最大吸收量，表1为第5865次测量中能量总吸收量统计表。表1 第5865次测量中能量总吸收量统计表测量次数X射线位置能量总吸收量5824567.325924267.3336023867.35296
14、123567.3446223267.34866322867.34026422567.33246522267.3123根据上述表格，得知第60次测量中消耗X射线能量最大。因此在选取第60次测量数据为水平测量数据。对附件二中，固体介质的第60次和150次测量数据进行提取，通过对存在能量损失的X射线条数进行计算，得出各次测量中存在能量损失的X射线的范围表。表2 两次测量中存在能量损失的X射线范围表存在能损范围第60次90378第150次4674,169276根据上表中两次测量中存在能量损失范围可知，探测器由椭圆水平方向进行测量过程中，存在能损占据289个等距探测单元，即椭圆长实轴长度为289个等距探
15、测单元。探测器由椭圆正上方进行测量，得到椭圆短实轴长度为108个等距单元，小圆直径为29个等距单元。考虑到误差对距离计算的影响。为减少探测器单元距离的计算中，由X射线与均匀固体物质边界并非完全相切而产生的误差，选取较长距离进行计算。因此对第150次中采样取值中，取椭圆左边界与小圆右边界相隔的总探测单元数230个。根据模板示意图中，已知的椭圆长实轴、短实轴和小圆直径。运用比例计算法对探测器单元之间距离进行计算，求解公式为： （4）其中为椭圆长实轴实际长度，为椭圆长实轴所占据单元格个数。根据上述分析，对探测器单元之间的距离进行计算。（3）CT系统旋转中心位置几何求解模型建立以椭圆短实轴为轴，长实轴
16、为轴的二维直角坐标系。通过上述对CT系统中X射线的方向分析，得知水平检测与垂直检测的检测次数、能量的最大吸收量和X射线位置，根据探测器单元之间距离的计算，建立CT系统旋转中心求解模型。取能量最大吸收量： （5）计算旋转中心距椭圆中心位置距离： （6）式中为探测器单元之间实际距离。根据上述模型对距离求解，后计算出坐标系中实际距离。（4）旋转中心位置质心法求解模型为对旋转中心的位置求解进行量化，准确计算旋转中心位置，并对几何求解模型结果进行验证。建立旋转中心位置质心求解模型1。由于在旋转中心未发生偏移时的质心与发生偏移后质心实际位置相同，但由于发生偏移后，探测器所接受到信息发生改变。因此建立质心法
17、求解模型，通过对质心和旋转中心间的数量关系分析，从而确定CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置。建立以椭圆短实轴为轴，长实轴为轴的二维直角坐标系。根据附件一数据，以为待重建物体函数；为接收器与轴的夹角为时，第个射线能量改变量。为对由于旋转中心的偏移而造成的质心偏移坐标进行求解，建立以坐标系坐标原点为原点，以平行接收器直线为轴的坐标系。图4-1-2为旋转中心示意图。图2 探测系统旋转时的旋转中心偏移示意图下图为质心和旋转中心关于轴之间的距离等数量关系，当偏移后的旋转中心为点与未偏移旋转中心的轴坐标距离为，则有未偏移质心与偏移后的质心为点的轴坐标距离为。图3 质心及旋转中心示意图根据上述分析，首先对
18、未偏移的均匀固体介质质心进行求解，根据连续函数质心公式： （7）其中为函数图像质心坐标的横坐标；为函数图像质心坐标的纵坐标。且该质心求解公式为连续情况的求解方法。因此对于离散数据情况，由于该标定模板由两个均匀固体介质组成，其单元物体质量可类比吸收率，则可求出未产生偏移时的之心位置在坐标系下坐标为：；接收器与轴的夹角为时，根据附件二中接收器所接收数据，得出在坐标下，质心在轴下的坐标为：。根据两坐标系关系图，和坐标系与的变换关系式： （8）对未偏移质心坐标进行计算，得出在坐标下，接收器与轴的夹角为时质心在轴下的坐标为：。通过对上述数量关系式间关系的分析，得到： （9）基于上述分析对于取不同值，得到
19、一组质心和的数量关系式。其中质心关于轴下的坐标和为已知数据。运用最小二乘法对所得数据进行分析，得到偏移后的质心坐标的最优解。由于偏移后的旋转中心为点与未偏移旋转中心的轴坐标距离与未偏移质心与偏移后的质心为点的轴坐标距离相等，即，对此计算逆推得到得到CT系统旋转中心在正方形托盘中的位置。由于在整个计算过程中，运用的时附件一中的数据坐标数据坐标，此时对实际位置采用以得出的探测单元之间实际距离，转换出旋转中心实际位置。4.1.2问题一模型求解在分析CT系统中X射线的方向过程中，通过对附件二进行数据二值化处理。对在180次检测的吸收射线能量的X射线条数进行统计。并得出经180次测量的存在能量损失射线条
20、数变化图。通过对图示内容的分析，得知第150次检测的X射线方向为。由于整个系统绕未知旋转中心旋转180次完成整个物体的测量，即选取等步长为完成探测。因此得出CT系统中所使用的180个X射线的方向，为，以为等步长进行测量。在探测器单元之间距离的计算过程中，选取水平检测和垂直检测过程所得出的两组数据。运用求解公式对，上述数据进行比例求解，得出探测器单元的之间实际距离，表3为两次测量中选取探测器单元个数和所对应实际长度，和探测单元之间的实际距离。表3 两次测量探测单元实际距离表探测器单元个数实际长度单元间距第60次289800.2783第150次230640.2768由上述表格，取两次测量的单元间距
21、的平均值0.2776为探测单元之间的实际距离。由于X射线与均匀固体物质边界并非完全相切而产生的误差，下图为探测单元间距误差图。图4 探测单元间距误差图通过对边缘部分进行误差处理，取第一个能量吸收量不为零数据开始统计至第一个为零数据，并对探测单元间距进行计算。计算得出探测单元间距为0.2762。在CT系统旋转中心位置几何模型求解过程中，根据对CT系统中X射线的方向分析，得知水平检测与垂直检测的检测次数、能量的最大吸收量和X射线位置，选取能量最大吸收量的探测单元位置。通过运用距离求解公式对旋转中心距椭圆中心位置距离进行计算，从而得出旋转中心位置的坐标：（-9.5772,6.3848）。在旋转中心位
22、置质心法求解模型的求解过程中,首先解出未偏移的质心位置为。通过运用已知数据，对数组进行计算得出一组旋转中心，并运用最小二乘法对数据进行分析。选取最优中心位置，得出最优中心位置为（-9.0346,5.9677）。并根据计算结果同几何求解模型结果进行对比差异较小，说明几何模型能够合理求解出旋转中心位置。4.1.3问题一的误差分析在探测单元间距计算过程中，由于射线与物体边缘边界并非完全相切，会产生一定的误差。提取小圆直径所占据探测单元个数和实际长度，对计算所得结果进行验证。通过计算得出小圆验证长度为8.0098，相对误差0.1225%，相对误差很小，说明探测单元之间距离的计算结果是比较理想。 4.2
23、问题二的模型建立与求解因旋转中心的偏移会对CT系统图像的重建造成一定的影响，在解决此问题前应充分考虑旋转中心位置的偏移。对于附件三中的信息，运用Radon变换2的逆运用绘制出其图像，并对图形进一步校正偏差，从而由附件三得到一组新的数据信息。再利用代数迭代重建方法3，多次迭代，求出该介质的吸收率。4.2.1图像偏差校正附件二提供了在上述CT发射-接收系统中，该未知介质在180个方向上的投影的情况。此数据是由探测器收集到的X射线变化情况，经过增益等方法处理后得来的。根据其数值情况，结合Radon逆变换，用MATLAB工具，可以绘制出托盘中两个均匀物体对射线能量吸收的情况图和重建图形，如下图5，图6
24、所示。图5 两个均匀物质射线能量吸收图 图6 附件二重建图形由上可以看出，该两个均匀物质射线能量吸收量分布情况并不均匀，导致重建出的图形出现偏差，效果并不理想。经分析可猜测，此情况可能是由系统的旋转中心偏差导致重建图像中出现伪影，使重建图像质量下降。结合问题一中所求CT系统的旋转中心，利用公式（9）可对附件二中的数据进行相应移动，由此便得到一组新的数据信息，即实现了对附件二对应的图像进行偏差校正，可以得到新的图像，如图7所示。图7 附件二校正后图像 图8 附件一重建图 将附件二校正后的图像与由附件一所绘制的图8对比可以看出，修正后的图像更接近了原图，由此也进一步说明经过偏差校正后可以更准确的求
25、出重建图形。现为了较准确的推出介质的几何形状，根据旋转中心位置校正原理对附件三所绘制图形进行校正，便可得到附件三校正后射线能量吸收情况图9。图9 附件三校正后射线能量吸收情况图对附件三进行偏差处理后可以得到一个新的数据信息。在新的数据信息的基础上，利用以下的模型，便可以求出介质的重建图像。4.2.2问题二模型建立为更好的重建图像，先将图像区域网格化为一个数字化图像，大小为，其中每一个网格表示为一个像素。因为这里的每个小网格的边长较小，所以这里可以近似认为每个像素内图像区域为一个常数，并将网格从1到进行编号，并定义为：这里定义为基本图像，为在第个像素内的平均值。由此可以得出数字化图像的表达式为：
26、 （10）由上面的式子可以看出，对于任何图像的数字化函数都与和有关，其中为的线性组合，且如果在确定的情况下，数字化函数就由唯一确定。则要求的问题就转化为寻找一个向量，使尽可能的接近。 （11）为了方便模型的建立，这里假设射线是具有一定宽度的线。则当第条射线穿过第个像素的时候，射线覆盖像素的面积与该像素的面积比（如图10，图11），与该像素内的平均值的乘积，即为像素对射线的吸收量。 （12）图10 射线模型示意图 图11 射线模型发大图由此可以建立射线能量吸收模型，即得出CT系统在任意一个方向上，第条射线的吸收量为： （13）为了简便起见，可以将上式转化为矩阵的形式： （14）其中是由组成的阶矩
27、阵，是由组成的阶矩阵，是有组成的阶矩阵。式（15）还可以写成如下形式： （15）由此可以看出上式含有个变量，且每一个等式都可以看做一个平面。从一个初始解开始，将投影到式（15）中的第一个等式表示的平面中时可以得到，同理将投影到第二个平面可以得到，以此类推，则当第投影到第个平面时，得到的可以表示为： （16）在同一个被投影矩阵的情况下，当所有的方程所表示的平面被投影过后，可得到一次完整的迭代。然后进行下一次迭代，将作为下一次迭代的初始值，用同一种方法进行投影，如此重复。由证明可知，经过m次迭代后。相应的利用公式（10）和公式（11）可以推出4。4.2.3问题二模型求解因旋转中心的偏移会对CT系统
28、图像的重建造成一定的影响，所以利用CT系统旋转中心偏移校正原理，对附件三进行处理后可以得到一个新的数据信息。在新的数据信息的基础上，根据射线能量吸收模型，将初始解结合式（15）进行迭代射影。经过多次迭代射影便可以得出各个像素对应的吸收率。由各个像素对应的吸收率，利用Radon逆变换便可以绘制出该介质的图像重建图如图12所示，并由此也可以算出该介质位于距离托盘右侧27.9297mm，左侧41.6016mm，上侧22.4610mm，下侧19.3359mm。由结论分析可知，该介质为几何形状较规则的物体，其几何形状如图12所示。图12 附件三图像重建图由上得到的各个像素点对应吸收率的矩阵维数并不方便我
29、们求解图中各点位置的吸收率，在这里运用插值法5进行处理，可以得到一个的矩阵。现将题目中所给的10个点的纵横坐标分别做2倍处理。将处理后的点的坐标对应到的矩阵中，可以求出这10个点处的吸收率，具体结果如下表4所示。同样运用插值法处理，可以得到一个的矩阵（详见附件），即求出该介质的吸收率。表4 10个位置处的吸收率位置横坐标位置纵坐标位置吸收率10.0000 18.0000 0.0167 34.5000 25.0000 0.0007 43.5000 33.0000 0.0000 45.0000 75.5000 0.0014 48.5000 55.5000 0.0062 50.0000 75.500
30、0 0.0000 56.0000 76.5000 0.0042 65.5000 37.0000 0.4902 79.5000 18.0000 0.0052 98.5000 43.5000 0.0000 注：表中位置纵横坐标单位为mm由表中数据可以看出，这个10个像素点的吸收率不一样，且存在个别点在该介质中但吸收率为0的情况。由此可以说明，该未知介质是一个密度不均匀的物体。4.2.3问题二误差分析在投影迭代方法中，因射线在每次迭代过程中总会有残差，所以应将残差按一定比例加权，即用沿射线反投影与经过的像素点纠正这些像素。对于那些射线不经过的像素对射线无影响，校正后的投影进行下一次投影，如此重复，从
31、而可以减小误差。4.3问题三的模型建立与求解解决这一问题的时候，先将附件中的图片进行二值化处理，可得到二值化后的灰度矩阵。通过建立模型，计算出10个吸收点像素的具体位置。根据问题二中所建模型，重复其求解步骤，可求出该问题中介质的信息。4.3.1未知介质相关信息的求解根据附件五的数据，可以绘制出该介质射线能量吸收情况图，如图13所示。分析图可知，未对旋转中心进行偏差校正，所以图中出现较多伪影。图13 未知介质检测信息同理，利用第二问中的图像偏差校正方法，对附件五中因旋转中心的偏移而产生的数据偏差进行数据修正。并对修正后数据运用Radon逆变换，即可绘制出重建图形。图14为未校正偏差情况下，图像重
32、建效果图；图15为校正偏差后图像重建模型。图14 未校正偏差重建效果图 图15 校正偏差后重建效果图运用Radon逆变换图像重建模型，对已校正数据进行图像重建。得到未知介质在正方形托盘中的具体位置，几何形状和像素的重建图像与该未知介质各个位置的吸收率，运用插值法将图像的图像中的吸收率转化为的吸收率。4.3.2问题三模型建立由于题目所给出图三像素为，即每个探测单元恰好占据一个像素宽度。建立以图片左下方为原点，下边缘直线作轴，左边缘为轴二维直角坐标系。此处假设原点的像素位置为。对示意图进行图像二值化处理，得到二值化后的0-1灰度矩阵。通过对0-1矩阵进行判断，统计出具体吸收点像素位置，其中1表示白
33、色像素点，0表示黑色像素点。以图中位置为（43.5,33）的吸收点为例，其像素位置为（222,168）、(223,169)。以此获取各个吸收点的像素位置。建立像素中心点提取模型，对所得到多个像素点进行计算，较准确表示该吸收点位置为： （17）其中为第个吸收点的像素个数。由此通过计算得出10个吸收点像素位置。4.3.3问题三模型求解在对附件五图像进行图像偏差校正，采用Radon变换重建模型运用MATLAB数学软件对未知介质图像进行重建，得出未知介质质心在正方形托盘中坐标为（268，223），其几何形状为不规则图形，具体形状如图15中校正偏差后重建效果图所示。该介质吸收率为表格（由于吸收率表格数据
34、过多，此处不再展示，具体数据见文件problem3.xls）。通过对图像二值化处理，运用像素中心点提取模型对10吸收点像素位置进行计算。其具体像素位置为：50,92,176,128,222,168,230,388,248,284,256,386,286,390,334,188,406,92,504,222。由于图像大小为，对该坐标数据运用插值法进行转化，使其坐标系和未知介质的吸收率等信息的表述单元相同。得到经插值处理后的吸收点位置，并对已得到的吸收率信息进行查询，得到10个吸收点的吸收率，具体数值如表5。根据标表中数据可得知，10个像素点的吸收率较小，且存在个别点在该介质中但吸收率为0的情况。
35、根据上述说明，得知该未知固体介质中存在某些位置为镂空状态。表5 10吸收点对应吸收率10个像素点坐标转化后位置吸收率25,460.032788,641.3452111,840.0220115,1940.0000124,1420.0036128,1931.7647143,1950.8654167,940.0000203,460.0000252,1110.00004.3.4问题三的误差分析在对图像进行二值化处理进行像素点中心位置求解时，由于中心位置可能处于某两个像素点的中心位置，从而导致位置的提取存在误差。在考虑存在某些点位置处于中心位置造成的偏差情况下，所得到的像素位置经插值变换后，其误差与处理
36、前的位置对比差异较小，说明几何模型能够合理求解出旋转中心位置。4.4问题四的模型建立与求解4.4.1参数标定的精度和稳定性的分析首先对各标定参数的精度和稳定性进行分析，标定的参数包括旋转中心位置，探测单元间距以及射线的方向。计算探测单元间距时，误差主要来自于边界射线和实际物体边界的差距。利用质心法确定旋转中心以及求射线方向的精度主要受探测单元间距精度影响。本文采用偏差（Bias）和均方根误差（RMS）作为精度评定标准，对所得结果进行精度检验。首先对探测单元间距的精度进行分析，表6为所选区域长度精度检验结果。表6 单元间距精度检验结果sBiasRMS780.01724.8072790.01643
37、.8226800.01431.0932由上表可知在问题一的解决中有 ，所以，精度能达到，相对误差。在不考虑系统误差的情况下，确定旋转中心的过程中，误差主要是由探测单元间距的产生的，考虑到只有垂直于射线方向的偏移会对图像的重建造成影响，在这里只研究垂直方向的最大偏移量。为对旋转中心的精度进行分析，表7为旋转中心精度检验结果。表7 旋转中心的精度检验结果BiasRMS0.13820.10746.82330.13810.10424.77780.1380.10023.5625由上表所示，探测单元间距，最大偏移量，旋转中心的精度为。求解射线方向时，是先找到物体投影长度达到最大值的探测器方向，在问题一中即
38、此时的探测器垂直于椭圆短轴，然后再找到此时投影密度最大的射线，该射线应该与短轴重合，而实际上投影密度最大的射线不止一条，它们都有可能是实际上与短轴重合的射线，这时候计算的射线方向就会存在一定的误差， （18）其中是短半轴长度，是投影密度最大的射线条数，是射线间距。在问题一中，计算得出，即射线方向的最大误差为度。对三个参量作稳定性分析，通过控制变量，利用MATLAB软件迭代分析，得出图像重建对参数中旋转中心的位置稳定性较差，当旋转中心的偏移量高于，重建图像的时候就会产生较为明显的伪影，而对射线方向和探测单元间距的稳定性较为良好。4.4.2新模板标定参量的精度和稳定性分析先建立一个新标定模板，在正
39、方形托盘上放置一个形状为圆形均匀固体介质，其中托盘的边长为100mm，圆形半径为30，圆心与托盘中心重合。现以物体圆心为原点建立坐标系，该物体圆心坐标为。具体几何形状如图16所示：图16 新模板示意图根据新模板吸收率数据信息，结合Radon逆变换，运用MATLAB工具可以求出新模板在此CT系统中吸收射线能量的数据，记为数据1。运用问题一中所建立的模型对新模板吸收率数据信息和数据1进行处理，可以推出此时系统的标定参量为（0.0012,0.0006）。并对所得标定参量进行探测单元间距、旋转中心、射线方向等参数的精度和稳定性分析。首先以偏差（Bias）和均方根误差（RMS）作为精度评定标准对探测单元
40、间距的精度进行分析，表8为所选区域长度精度检验结果。表8 单元间距精度检验结果sBiasRMS780.00822.5065790.00591.0873800.00101.0024已知，所以，精度能达到，相对误差。对旋转中心的精度进行分析，表9为旋转中心精度检验结果。表9 旋转中心的精度检验结果BiasRMS0.08270.07633.36280.05430.04742.15640.04220.00211.0251由上表所示，探测单元间距，最大偏移量，旋转中心的精度为。射线方向的精度与稳定性计算分析运用同样方法进行评定。通过以上对各参数精度与稳定性的计算，对比原模板标定参数。可看出改进后模板标定
41、参数较原模板更为精确，且稳定性较好。五、模型的评价与推广5.1模型的评价（1）优点问题一中通过建立数学几何模型，将复杂的工程问题转化为我们熟知的数学问题，从而降低问题难度，求解简单易懂。同时运用质心法对由几何模型得到的结果进行验证，进一步说明模型的正确性。问题二和问题三利用代数迭代方法，建立射线的能量吸收模型，经过多次迭代，可以求出介质的吸收率。此方法将大量的数据运用投影方法进行处理，降低解题难度，目标明确，可以较准确的求出介质吸收率。问题四以参数标定的精度和稳定性为指标，通过不同模板，改进标定参量的精度和稳定性，为以后CT技术的改进提供理论支撑。（2）缺点本文章中假设CT系统与托盘平面平行，
42、而CT系统在安装的时候，很难保证其整个装置与托盘所在的平面平行，这样就会使所求物体的射线吸收率和实际物体吸收率有误差，从而影响介质图形的重建。5.2模型的推广图像的重建模型的建立。为对数据的计算方面进行简化，建立卷积反投影算法6。关于待重建物体函数，对不同角度投影下所接收到的数据进行Fourier变换，求出该角度下的。建立卷积反投影图像重建模型：其中，为接收器与问题二中所建立坐标系轴的夹角为时，第个探测单元所检测得到信息。该公式将直角坐标转化为极坐标以简化计算，图17为重建角度关系。 图17 重建角度关系图根据上述逆变换公式，以完成对未知介质进行图像的重建，能较准确地重建内部吸收值图像。参考文
43、献1 李增云，利用部分投影的二维CT旋转中心偏移快速校正，CT理论与应用研究，24（4）：533-543，20152 石冶郝，徐玉峰，程小红，CT扫描中的数学-拉东（Radon）变换，首都师范大学学报，34（4）：15-18，20133 李志鹏，丛鹏，邬海峰，代数迭代算法进行CT图形重建的研究，核电子学与探测技术，25（2）：184-186, 2005 4 K.Tanabe，Projection method for solving a singular system，Numer. Muth，17: 203-214, 19715 姜启源，谢金星，叶俊，数学建模，北京：高等教育出版社，20116
44、 薛明泉，蒋广胜，郑世荣，卷积反投影图像重建算法的并行实现，计算机研究与发展，33（6）：457-460，1996附录% 对180组接收信息进行处理load fj2for i=1:180index=find(fj2(:,i)=0);k(i)=length(index);%计算180个方向，物体投影的总长度endplot(k);% 投影长度最小则该方向垂直于椭圆长轴mi,index2=min(k);m,column1=max(mi);%找到能量衰减最多的射线，此射线经过长轴% 投影长度最大则该方向垂直于椭圆短轴ma,index3=max(k);n,column2=max(ma);%找到能量衰减最
45、多的射线，此射线经过短轴% 附件2数据偏移矫正，逆拉东变换load fj2theta=29:208;R=iradon(fj2,theta,512);imagesc(R)% 附件3load fj3theta=29:208;R=iradon(fj3,theta,512);imagesc(R)% 附件5load fj5theta=29:208;R=iradon(fj5,theta,512);imagesc(R)% 附件2 滤波反投影load fj2theta=29:208;R=iradon(fj2,theta,linear,Ram-Lak,512);% 默认滤波器figureimagesc(R);% 256*256 吸收率Q=imresize(R,256 256);for i=1:256 for j=1:256