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1、关于异面直线现在学习的是第1页，共25页异面直线知识回顾：异面直线知识回顾：异面直线的定义异面直线的定义：异面直线的判断方法异面直线的判断方法：不同在不同在任一任一平面里的直线平面里的直线1、不平行也不相交的直线。、不平行也不相交的直线。2、过平面外一点与平面内一点的直线，和、过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是异面直线。平面内不经过该点的直线是异面直线。现在学习的是第2页，共25页如图所示：正方体的棱所在的如图所示：正方体的棱所在的直线中，与直线直线中，与直线A1B异面的有异面的有哪些？哪些？A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C
2、 答案答案：D1C1、C1C、CDD1D、AD、B1C1现在学习的是第3页，共25页d d用平行直线之间的距离用平行直线之间的距离d d可确定它们的位置。可确定它们的位置。用相交直线所成的直角或用相交直线所成的直角或锐角可以确定两相交直线锐角可以确定两相交直线的位置关系。的位置关系。aa ab bb那又应用什么来确定两异面直线的位置关系呢？现在学习的是第4页，共25页a ab bO Oa1b1a,ba,b是两异面直线，若在空是两异面直线，若在空中任取一点中任取一点O O，过，过O O作两异面作两异面直线的直线的平行线平行线a a1 1,b,b1 1,则则a a1 1,b,b1 1所成的所成的锐
3、角或直角锐角或直角的大小的大小一定吗？为什么？一定吗？为什么？想一想现在学习的是第5页，共25页 在空中再任意取一点在空中再任意取一点O O2 2，作，作a a2 2aa 、b b2 2b.b.那么那么a a1 1b b1 1,a,a2 2b b2 2所成的直角或锐角相所成的直角或锐角相等吗？这说明了什么问题？等吗？这说明了什么问题？a ab bO Oa a1 1b b1 1O O2 2a a2 2b b2 2分别与异面直线平行的相交直线分别与异面直线平行的相交直线a a1 1b b1 1所成所成的的直角或锐角直角或锐角只与异面直线的位置有关只与异面直线的位置有关，与与O O点位置无关点位置无
4、关。现在学习的是第6页，共25页a,ba,b是两异面直线，在空中任取一是两异面直线，在空中任取一点点O O，过，过O O作两异面直线的平行线作两异面直线的平行线a a1 1,b,b1 1,则则称称a a1 1,b,b1 1所成的所成的锐角或直角锐角或直角为为a ab bO Oa1b1两异面直线两异面直线a,ba,b所成的角。所成的角。定义定义现在学习的是第7页，共25页思思 考考：1 1、异面直线所成角的取值范围是多少、异面直线所成角的取值范围是多少？2 2、在实际问题中，是否在空中任找、在实际问题中，是否在空中任找一点作为一点作为O O点，应如何找点，应如何找O O点才有利点才有利于作平行线
5、和计算？于作平行线和计算？异面直线所成角异面直线所成角a a的取值范围是的取值范围是0 0aAB现在学习的是第16页，共25页 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 找出每对异面直线的找出每对异面直线的公垂线，若正方体的公垂线，若正方体的边长为边长为1，请回答每对，请回答每对异面直线的距离是多少异面直线的距离是多少。1、A1B与与D1C1公垂线是公垂线是_距离是距离是_2、A1B与与C1C公垂线是公垂线是_距离是距离是_3、A1B与与CD公垂线是公垂线是_距离是距离是_4、B1B与与AD公垂线是公垂线是_距离是距离是_5、A1A与与B1C1公垂线是公垂
6、线是_距离是距离是_A1D1BCBCABA1B111111现在学习的是第17页，共25页例例1 1、等腰等腰RtRtABCABC中，中，A=90A=90，BC=BC=,DAAC,DA AB,DAAC,DA AB,若若AD=1AD=1，且，且E E是是ADAD的中的中点，求异面直线点，求异面直线EBEB、DCDC所成的角的余弦。所成的角的余弦。2如何作出异面直线EB、DC所成的角？作出了异面直线所成的角后应如何进行计算？思考思考：考虑利用中点考虑利用中点E E作作DACDAC的中位的中位线线EFEF，BEFBEF就是异面直线所成就是异面直线所成的角。的角。利用BEFBEF。F现在学习的是第18页
7、，共25页例例2、空间四边形、空间四边形ABCD四边长为四边长为10，对角线，对角线BD=8，AC=16，E，F分别是分别是AC、BD的中点求的中点求证证:(1)EF是是AC、BD的公垂线段；的公垂线段；(2)求出异面直求出异面直线线AC、BD的距离。的距离。A A B BC CD DE EF FEFEF是是ACAC、BDBD的公垂线意味着什的公垂线意味着什么么？上面的答案再加上条件：上面的答案再加上条件：E E、F F是中点，可以引出一些是中点，可以引出一些什么样的结论？什么样的结论？思考思考EF AC，EF BDEF是是AC的中垂线，的中垂线，AFC是等腰三角形。是等腰三角形。现在学习的是
8、第19页，共25页A AB BC CD DE EF F连结连结EB、ED、AF、FC。ABCD四边长都为四边长都为10 ADC ABCBE、DE是两三角形对应边上的中线是两三角形对应边上的中线 BE=DE EBD是等腰三角形是等腰三角形EF是底边上的中线是底边上的中线 EFBD同理：同理：EF AC，EF是是AC、BD的公垂线段。的公垂线段。(2)ABC中中AB=BC=10，AC=16，E为为AC中点中点 BE=6 RtBEF中，中，BF=452EFBD,AC的距离为异面直线现在学习的是第20页，共25页例三、长方体例三、长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知中，已知AB、BC、AA1的长，
9、作出的长，作出BD1与与AC所成的角或补角所成的角或补角，并指明可以在那一个三角形中求出此角，并指明可以在那一个三角形中求出此角。C CD DC C1D D1B BA AB B1A A1GO作作AC、BD的交点的交点O，DD1中点的中点的G，连结，连结GO，OD，则，则GOD，可作为可作为BD1与与AC所成的角，可在所成的角，可在GOD中求这个角。中求这个角。现在学习的是第21页，共25页总结1 1、异面直线所成的角即与之分别平行、异面直线所成的角即与之分别平行的一组相交直线所成的的一组相交直线所成的直角或锐角直角或锐角，当，当异面直线所成的角为直角时，称两异异面直线所成的角为直角时，称两异面
10、直线垂直。面直线垂直。注意：垂直末必相交。注意：垂直末必相交。先在其中一条直线上找一点（或找图形中与两异面直线都相关的一点），作异面直线的平行线，将异面直线所成的角转化为相交直线所成的直角或锐角。然后看这个角所在的三角形是哪一个，利用三角形性质和三角函数进行计算。2 2、在解决异面直线所成的角的问题时、在解决异面直线所成的角的问题时，常经过以下步骤：，常经过以下步骤：现在学习的是第22页，共25页 若若abab，bcbc，则，则a a，c c的位置关系的位置关系有三种：平行，相交，异面有三种：平行，相交，异面平行平行 a b c 异面 a b c a b c 相交现在学习的是第23页，共25页 A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C 4、A1B与与C1D所成的角即所成的角即A1B与与 所成的所成的角，为角，为 。5、A1B与与B1D1所成的角即所成的角即A1B与与 所成所成的角，三角形的角，三角形 为为 ，所以，所以A1B与与B1D1所成的角为所成的角为 。A A 1 B B 1 B B A A D D 1 C C 1 D D C C AB1BDA1BD正三角形正三角形9060第4题第5题现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页