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1、复变函数与积分变换级数和序列的基本性质现在学习的是第1页，共46页 (1,2,.),Re,Imnnnnnnnzaibnazbz 复复数数列列:这这里里1.复数列一、复数列和复数项级数nnzz若若序序列列不不收收敛敛，则则称称发发散散0000,()0()|limnnnnNnNzzzzzz 若若，当当时时，则则称称 收收敛敛或或有有极极限限，记记作作现在学习的是第2页，共46页00,limlim,limnnnnnnzabizzaabb设设则则定理13.cosnznin 1.例例下下列列数数列列是是否否收收敛敛？若若收收敛敛，求求出出其其极极限限11.(1)innzen 2.(1)2nniz 现在学
2、习的是第3页，共46页111)(1)(1)(cossin)innzeinnnn 解解：11(1)cos,(1)sinlim1,lim0nnnnnnabnnnnab 所所以以从从而而1(1)innzen 所所以以收收敛敛,lim101nnzi 且且现在学习的是第4页，共46页22()cos,()sin55nnnnanbn 所所以以lim0nnnzz 所所以以收收敛敛,且且13)cos()22nnnnneezninnnene ,.nnnzz 所所以以当当时时，即即 发发散散52)(1)()(cossin)22nnnnizi 2()(cossin)5nnin 1arctan2 lim0,lim0,n
3、nnnab 从从而而现在学习的是第5页，共46页2.复数项级数 121.nnnnnnzab izzzz 设设为为一一复复数数列列，表表达达式式称称为为复复数数项项级级数数12.:nnnSzzz 级级数数的的部部分分和和复复数数项项级级数数的的最最前前 项项的的和和称称为为级级数数的的部部分分和和 1.nnnSz 如如果果收收敛敛，则则称称级级数数收收敛敛lim.nnSS 极极限限称称为为级级数数的的和和现在学习的是第6页，共46页 1,.nnnSz 如如果果不不收收敛敛 则则称称级级数数发发散散111,.nnnnnnzab收收敛敛都都收收敛敛定理2 复数项级数收敛的充要条件1lim0nnnnz
4、z 收收敛敛定理3 复数项级数收敛的必要条件复数项级数收敛的条件现在学习的是第7页，共46页11111.nnnnnnnnnnzzzzz 若若收收敛敛，则则称称若若收收敛敛，发发散散，则则称称绝绝对对收收敛敛条条件件收收敛敛3.绝对收敛与条件收敛11nnnnzz 如如果果收收敛敛，则则也也收收敛敛.111,.nnnnnnzab 绝绝对对收收敛敛绝绝对对收收敛敛定理5定理4现在学习的是第8页，共46页111121(8)(1)(1)(2)!(1)1(3)2(4)nnnnnnnniinnninin 例例下下列列级级数数是是否否收收敛敛？是是否否绝绝对对收收敛敛？现在学习的是第9页，共46页211111
5、(1)(1)()nniinnnn 解解：111.nnnan 而而发发散散故故原原级级数数发发散散11(8)8(2)!nnnninn 18,.!nnn 收收敛敛 故故原原级级数数绝绝对对收收敛敛现在学习的是第10页，共46页1(1).nnn 但但发发散散 故故原原级级数数条条件件收收敛敛1(1)1(3)2nnnin 1(1),nnn 收收敛敛11,2nn 收收敛敛现在学习的是第11页，共46页1(4)nnin 11(cossin)(cossin)2222nnnnniinn 11cossin22nnnnnn与与均均 收收敛敛，原原级级数数收收敛敛,111=.nnninn 又又发发散散，故故原原级级
6、数数条条件件收收敛敛现在学习的是第12页，共46页11nnnnzz 如如果果复复数数项项及及绝绝对对收收敛敛并并且且它它们们的的和和分分别别是是及及,那那么么级级数数柯西乘积12111(+)nnnnz zz zz z .也也绝绝对对收收敛敛，并并且且和和是是现在学习的是第13页，共46页2112)(1)ninn 级级数数是是否否收收敛敛？2111;nnnan 因因为为 收收敛敛111nnnbn 3 3 收收敛敛，原原级级数数收收敛敛.1)(1)?1nnizn 数数列列是是否否收收敛敛练习现在学习的是第14页，共46页设fn(n)(n=1,2,),在复平面点集E上有定义，那么：12()().()
7、.nfzfzfz 是定义在点集E上的复变函数项级数，记为1()()nnnfzfz 或或，设函数f(z)在E上有定义，如果在E上每一点z，此级数都收敛于f(z)，那么我们说它在E上收敛(于f(z)，或者此级数在E上有和函数f(z)，记作1()(),nnfzf z 二、复变函数项级数和复变函数序列现在学习的是第15页，共46页设12(),(),.,(),.nf zfzfz是E上的复变函数列，记作1()()nnnfzfz 或或lim()(),nnfzz ()()()()(),nzEEzfzzEzEz 设设函函数数在在 上上有有定定义义，如如果果在在 上上每每一一点点，序序列列都都收收敛敛 于于，那那
8、么么我我们们说说此此序序列列在在 上上收收敛敛 于于，或或者者此此序序列列在在 上上有有极极限限函函数数记记作作现在学习的是第16页，共46页注解1()()nfzf zN 复复变变函函数数项项级级数数收收敛敛于于的的定定义义可可以以叙叙述述为为：0,0,NnN 使使得得当当时时 有有1|()()|.nkkfzf z 0,0,NnN 使使得得当当时时 有有|()()|.nfzz 注解2()()nfzzN 复复变变函函数数序序列列收收敛敛于于的的定定义义可可以以叙叙述述为为：现在学习的是第17页，共46页一致收敛如果任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 时，有0EzNn,)
9、(NN.|)()(|zzfn.|)()(|1zfzfnkk或那么我们说级数 或序列 在E上一致收敛（于f(z)或 ）。)(zfn)(zfn)(z2.基本理论 现在学习的是第18页，共46页注解：注解1、和实变函数项级数和序列一样，我们也有相应的柯西一致收敛原理：柯西一致收敛原理（复变函数项级数）：复变函数项级数 在E上一致收敛的必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当 ，p=1,2,3,时，有0)(NN EzNn,.|)(.)()(|21zfzfzfpnnn)(zfn现在学习的是第19页，共46页柯西一致收敛原理（复变函数序列）：复变函数序列fn(n)在E
10、上一致收敛必要与充分条件是：任给 ，可以找到一个只与 有关，而与z无关的正整数 ，使得当时，有注解：0)(NN EzNnm,.|)()(|zfzfmn现在学习的是第20页，共46页注解：注解2、一致收敛的魏尔斯特拉斯判别法（M-判别法）：设在复平面点集E上,.)2,1)(nzfn有定义，并且设.21naaa是一个收敛的正项级数。设在E上，)(zfn,.),2,1(|)(|nazfnn那么级数 在E上一致收敛。现在学习的是第21页，共46页定理1、2：定理2.1 设复平面点集E表示区域、闭区域或简单曲线。设在集E上fn(n)(n=1,2,),连续，并且级数 或序列 在E上一致收敛于f(z)或 ，
11、那么f(z)或 在E上连续。)(zfn)(zfn)(z)(z定理2.2 设在简单曲线C上fn(n)(n=1,2,),连续，并且级数 或序列fn(n)在C上一致收敛于f(z)或 ，那么)(zfn)(z或,)()(1CnCndzzfdzzf.)()(CCndzzdzzf现在学习的是第22页，共46页注解：注解1、在研究复变函数项级数和序列的逐项求导的问题时，我们一般考虑解析函数项级数和序列；注解2、我们主要用莫勒拉定理及柯西公式来研究和函数与极限函数的解析性及其导数。现在学习的是第23页，共46页内闭一致收敛：设函数序列,.)2,1)(nzfn在复平面C上的区域D内解析。如果级数)(zfn序列fn
12、(n)在D内任一有界闭区域（或在一个紧集）上一致收敛于f(z)或 ，那么我们说此级数或序列在D中内闭（或内紧）一致收敛于f(z)或 。)(z)(z现在学习的是第24页，共46页定理3：定理2.3（魏尔斯特拉斯定理）设函数,.)2,1)(nzfn在区域D内解析，并且级数 或序列fn(n)(zfn在D内闭一致收敛于函数f(z)或 ，那么f(z)或)(z 在区域D内解析，并且在D内)(z或,)()(1)()(nknkzfzf,.).3,2,1(),(lim)()()(kzfzknnk现在学习的是第25页，共46页定理3的证明（级数）：证明：先证明f(z)在D内任一点z0解析，取z0的一个邻域U，使其
13、包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理,0)()(1nCnCdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见f(z)在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此f(z)在D内解析。其次，设U的边界即圆K也在D内，于是110)()(nknzzzf现在学习的是第26页，共46页定理3的证明（级数）：对于 一致收敛于 。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzf,)()(21)()(2111010nKknKkdzzzzfidzzzzfi也就是,.)3,2,1(,)()(1)()(kzfzfnknk因此，定理中关于级数的部分证明结束。现在学习的是第27页，共46页定理3的证明（序列）
14、：对于序列，我们也先证明 在D内任一点z0)(z取它的一个邻域U，使其包含在D内，在U内作一条简单闭曲线C。由定理2.2以及柯西定理,0)(lim)(lim)(CnnCnnCdzzfdzzfdzzf因为根据莫勒拉定理，可见 在U内解析。再由于z0是D内任意一点，因此 在D内解析。)(z)(z其次，设U的边界即圆K也在D内，于是10)()(knzzzf现在学习的是第28页，共46页定理3的证明：对于 一致收敛于 。由定理2.2，我们有Kz10)()(kzzzdzzzzfidzzzziKknnKk1010)()(lim21)()(21也就是dzzzzfiKknn10)()(21lim,.).3,2
15、,1(),(lim)()()(kzfzknnk因此，定理中关于序列的部分证明结束。现在学习的是第29页，共46页002010200()()().().nnnnnzzzzzzzz 形形如如：3.幂级数其中 0,1,2,z0都是复常数.20120.nnnnnzzzz 及及的的级级数数称称为为幂幂级级数数现在学习的是第30页，共46页1111(0).nnnc zzz zzzz 若若级级数数在在收收敛敛，则则对对满满足足的的一一切切，级级数数绝绝对对收收敛敛1.阿贝尔(Abel)定理三、幂级数的敛散性质1z 22.zzzzz 如如果果在在级级数数发发散散，则则对对满满足足的的，级级数数发发散散2z收敛
16、发散证明现在学习的是第31页，共46页32000,lim0,nnnnnnc zc z 证证明明：因因收收敛敛 则则00,|.nnMnc zM 则则存存在在使使对对所所有有的的 都都有有00|,1,|zzzqz 如如果果则则00|.nnnnnnzc zc zMqz 0000|.nnnnnnnnnnMqc zMqc z 是是收收敛敛的的，因因此此也也是是收收敛敛的的，从从而而级级数数是是绝绝对对收收敛敛的的现在学习的是第32页，共46页0000000,|,(,nnnnnnnnnnnnc zzzc zc zc z 如如果果级级数数发发散散 且且用用反反证证法法)假假设设收收敛敛，则则根根据据之之前前
17、结结论论可可导导出出收收敛敛 与与题题设设矛矛盾盾因因此此发发散散.现在学习的是第33页，共46页2.收敛圆和收敛半径对一个幂级数来说,它的收敛情况不外乎三种:对所有的正实数都是收敛的.这时,根据 阿贝尔定理可知级数在复平面内处处绝 对收敛.2)对所有的正实数除z=0外都是发散的.这时,级数在复平面内除原点外处处发散.3),.RRRRCCC有有一一个个以以原原点点为为心心为为半半径径的的圆圆内内的的点点级级数数绝绝对对收收敛敛外外部部的的点点，级级数数发发散散RC此此圆圆称称为为级级数数的的收收敛敛圆圆现在学习的是第34页，共46页.RCR收收敛敛圆圆的的半半径径 称称为为级级数数的的收收敛敛
18、半半径径,.在在收收敛敛圆圆周周上上的的点点 级级数数是是收收敛敛的的还还是是发发散散的的要要作作具具体体分分析析xyo1z R收敛半径0.nnnc z 幂幂级级数数的的收收敛敛范范围围是是以以原原点点为为中中心心的的圆圆域域收敛圆周2z收敛圆现在学习的是第35页，共46页例如,级数:0020nnnnnnzznzn 1,1Rz 均均为为收收敛敛圆圆周周收敛圆周上无收敛点;1,1;zz 在在点点发发散散 在在收收敛敛在收敛圆周上处处收敛.现在学习的是第36页，共46页3.收敛半径的求法01lim|()lim|(2)nnnnnnnnnc zccc ：对对于于幂幂级级数数，有有如如果果比比值值法法
19、定定 或或根根值值法法理理，0,01,00,nnnc zR 那那么么级级数数的的收收敛敛半半径径为为现在学习的是第37页，共46页201.1.nnnzzzz 求求幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径和和和和函函数数例例31101(1)20,23co2(s)nnnnnnznzznin z 求求下下列列幂幂级级数数的的收收敛敛半半径径（）（并并讨讨论论在在收收敛敛圆圆周周上上的的情情况况）（）（并并讨讨论论时时的的情情况况）（）例例解答现在学习的是第38页，共46页11limlim11.1nnnncRc 解解：故故11()1.1nnnzSzzzz 211.1.nnnzzzz 求求幂幂级级数数的的收收敛
20、敛半半径径和和和和函函数数例例11,lim0,lim()1nnnnzzSzz 当当时时故故1()1S zz 此此时时现在学习的是第39页，共46页1z 当当时时，级级数数发发散散,211,1.1nzzzzz 即即有有1lim0,.nnzz 当当时时，级级数数发发散散现在学习的是第40页，共46页33311111.nnnnnzzznnn 在在收收敛敛圆圆周周上上，由由于于是是收收敛敛的的解解311nnzn （）3131(1)limlim1,1nnnncncn 11,R 故故2 求求下下列列幂幂级级例例数数的的收收敛敛半半径径现在学习的是第41页，共46页111limlimlim1,11nnnnn
21、cnncnn 11(1)(1)0,.nnnnzznn 当当时时为为交交错错级级数数，收收敛敛1(1)20,2nnzzn （）（并并讨讨论论时时的的情情况况）11R 11(1)12,.nnnzznn 当当时时为为调调和和级级数数，发发散散现在学习的是第42页，共46页1cos(1)limlimcosnnnnci ncin 03(cos)nnin z （）11Re(1)1limnnnnneeeee 现在学习的是第43页，共46页120012(),(),min(,),nnnnnnf za zRrg zb zRrzRr r 设设，则则在在内内 有有4.幂级数的运算和性质001()()nnnnnnf z
22、g za zb z 00011002()()()().)nnnnnnnnnnnf zg za zb za ba ba b z （现在学习的是第44页，共46页04,()nnnzrf za z 复复合合运运算算：当当时时0(),(),()()nnnzRg zg zrzRf g zag z 又又当当内内解解析析 且且则则当当时时0101201200011 10 12201 102()3(),nnnnaa za zf zg zbb za zcc zc zab cab cb cab cb cb c 其其中中，现在学习的是第45页，共46页121)min(,)rRr r加加、减减、乘乘后后得得到到的的新新级级数数的的收收敛敛半半径径注：122)min(,)rRr r 除除法法后后得得到到的的新新级级数数的的收收敛敛半半径径例4000001(01),11=11nnnnnnnnnnnnnnzzaaazzzaa 设设有有幂幂级级数数与与求求的的收收敛敛半半径径。现在学习的是第46页，共46页