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1、复变函数课件第二节复平面上的点复变函数课件第二节复平面上的点集集现在学习的是第1页，共20页1 基本概念:a的r邻域定义:以a为圆心,r为半径的圆盘U(a,r)定义为：，设),0(,rCa,|Czrazz以a为圆心，r为半径的闭圆盘定义为：,|Czrazz).,(raU记为：ar现在学习的是第2页，共20页极限点、内点、边界点:中有无穷个点，则称a为E的极限点；若设,CaCE,则称a为E的内点；EraUr),(,0EraUr),(0，若对存在中既有属于E的点，又有不属于E的点，则称a为的E边界点；集E的全部边界点所组成的集合称为E的边界，记为EraUr),(,0.E现在学习的是第3页，共20页
2、闭包、孤立点、开集、闭集:称为D 的闭包，记为若对存在一个r0，使得EE.E则称a为的E孤立点（是边界点但不是聚点）；开集：所有点为内点的集合；闭集：或者没有聚点，或者所有聚点都属于它；1、任何集合的闭包一定是闭集；2、如果存在r0，使得，),(aEraU则称E是有界集，否则称E是无界集；3、复平面上的有界闭集称为紧集。),0(rUE 现在学习的是第4页，共20页区域的例子:例1、圆盘U(a,r)是有界开集；闭圆盘是有界闭集；例2、集合z|z-a|=r是以为a心，r为半径的圆周，它是圆盘U(a,r)和闭圆盘的边界。例3、复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集。例4、集合E=z|0|z-a
3、|0,集合 称为无穷远点的一个r邻域。类似地，我们可以定义聚点、内点、边界点与孤立点，开集、闭集等概念。我们也称扩充复平面为复平面的一点紧化。,|Czrzz现在学习的是第6页，共20页2 区域、曲线:复平面C上的集合D，如果满足：（1）D是开集；（2）D中任意两点可以用有限条相衔接的线 段所构成的折线连起来，而使这条折 线上的所有点完全属于D。则称D是一个区域。结合前面的定义，可以定义有有界区域、无界 区域。现在学习的是第7页，共20页连通性:性质（2）我们称为连通性，即区域是连通的 开集。区域D内及其边界上全部点所组成的集称为闭区域。现在学习的是第8页，共20页扩充复平面:在扩充复平面上，不
4、含无穷远点的区域的定义同上；含无穷远点的区域是C上的一个区域与无穷远点的一个邻域的并集。注意注意：加上无穷远点后，许多性质将有很多 变化。现在学习的是第9页，共20页曲线:设已给如果Rez(t)和Imz(t)都是闭区间a,b上连续函数，则称这些点组成集合为一条连续曲线。如果对上任意不同两点t及s，但不同时是的端点，我们有:)(),(btatzz即是一条除端点外不自交的连续曲线，那么上述集合称为一条简单连续曲线，或若尔当曲线。若还有z(a)=z(b)，则称为一条简单连续闭曲线，或约当闭曲线。)()(sztz现在学习的是第10页，共20页约当（Jordan）定理:约当定理：任意一条约当闭曲线把整个
5、复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为内区域，一个无界的称为外区域。内区域现在学习的是第11页，共20页光滑曲线:光滑曲线：如果Rez(t)和Imz(t)都在闭区间a,b上连续，且有连续的导函数，在a,b上，其导函数恒不为零，则称此曲线为一条光滑曲线；类似地，可以定义分段光滑曲线。现在学习的是第12页，共20页区域的连通性:设D是一个区域，在复平面C上，如果D内 任何简单闭曲线所围成的内区域中每一点 都属于D，则称D是单连通区域;否则称D是多连通区域。现在学习的是第13页，共20页例1:集合为半平面，它是一个单连通无界区域，其边界为直线：0)1()1(|ziziz0)1()1(zizi
6、0 yx现在学习的是第14页，共20页例2、集合 为一个垂直带形，它是一个单连通无界区域，其边界为两条直线：3Re2|zz2Rez3Rez现在学习的是第15页，共20页例3、集合 为一角形，它是一个单连通无界区域，其边界为半射线：3)arg(2|izz2)arg(iz3)arg(iz现在学习的是第16页，共20页例4、集合:为一个圆环，它是一个多连通有界区域其边界为圆：3|2|izz2|iz3|iz现在学习的是第17页，共20页例5、在扩充复平面上，集合 为单连通的无界区域，其边界分别为|2|zz 而集合2|z为多连通的无界区域，其边界分别为：2|z|2|zz现在学习的是第18页，共20页本节结束谢谢！现在学习的是第19页，共20页现在学习的是第20页，共20页