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1、-高考立体几何文科大题与答案-第 36 页高考立体几何大题及答案1. （2009 全国卷文）如图，四棱锥 S ABCD中，底面 ABCD 为矩形， SD 底面 ABCD ，AD 2 ， DC SD 2，点 M 在侧棱 SC上， ABM=60。（I）证明： M 是侧棱 SC的中点；求二面角 S AM B的大小。2. （2009 全国卷文）如图，直三棱柱 ABC-A 1B1C1 中，AB AC,D 、E 分别为 AA 1、B1C 的中点，DE平面 BCC1（）证明： AB=AC （）设二面角 A-BD-C 为 60,求 B1C 与平面 BCD所成的角的大小A 1C1B 1D EACB3. （200
2、9 浙江卷文）如图， DC 平面 ABC ， EB / /DC ， AC BC EB 2DC 2 ，ACB 120 ， P,Q 分别为 AE, AB 的中点（I）证明： PQ / / 平面 ACD ；（II ）求 AD 与平面 ABE所成角的正弦值4. （2009 北京卷文）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是正方形， PD 底面ABCD ，点 E 在棱PB 上.（）求证：平面 AEC 平面PDB ； （）当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时，求AE 与平面 PDB 所成的角的大小 .5. （2009 江苏卷） 如图，在直三棱柱 ABC A1B1C1 中， E、F 分别是A B 、 A
3、1C 的中点，点 D1在B C 上， A1D B1C1 1。求证：（1）EF平面 ABC ； （2）平面A FD 平面 BB1C1C .16. （2009 安徽卷文）如图， ABCD的边长为 2 的正方形，直线 l 与平面 ABCD平行， g 和 F 式 l 上的两个不同点， 且 EA=ED，FB=FC， 和 是平面 ABCD内的两点， 和 都与平面 ABCD垂直，（）证明：直线 垂直且平分线段 AD： （）若 EAD=EAB=60 ，EF=2，求多面体 ABCDEF的体积。7. （2009 江西卷文）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD 是矩形， PA 平面 ABCD ，PA AD
4、 4， AB 2以 BD的中点 O为球心、 BD为直径的球P面交 PD 于点 M （1）求证：平面 ABM 平面 PCD；（2）求直线 PC 与平面 ABM 所成的角；M（3）求点 O到平面 ABM 的距离 DAOB C8. （2009 四川卷文）如图，正方形 ABCD 所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直，ABE是等腰直角三角形， AB AE, FA FE , AEF 45（I ）求证： EF 平面BCE ；（II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P、 M ，求证： PM 平面BCE（III ）求二面角 F BD A的大小。9. （2009 湖北卷文）如图，四棱锥 SAB
5、CD的底面是正方形， SD平面 ABCD,SDADa, 点 E 是SD上的点，且 DE a(0 1). ( ) 求证：对任意的 （0、1），都有 ACBE:0( ) 若二面角 C-AE-D 的大小为 60 C，求 的值。10. （2009 湖南卷文）如图 3，在正三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB=4, AA1 7 ,点 D 是 BC 的中点，点 E 在 AC 上，且 DEA E.（）证明：平面 A1DE 平面 ACC1A1 ; （）求直线 AD1和平面A DE 所成角的正弦值。111. （2009 辽宁卷文）如图，已知两个正方形 ABCD和 DCEF不在同一平面内， M，N 分别为 AB
6、，DF的中点。（I ）若 CD2，平面 ABCD平面 DCEF，求直线 MN的长；（II ）用反证法证明：直线 ME与 BN 是两条异面直线。12. （2009 四川卷文）如图，正方形 ABCD所在平面与平面四边形 ABEF 所在平面互相垂直， ABE是等腰直角三角形， AB AE ,FA FE , AEF 45（I ）求证： EF 平面BCE ；（II ）设线段 CD 、 AE 的中点分别为 P、 M ，求证： PM 平面 BCE（III ）求二面角 F BD A的大小。13. （2009 陕西卷文） 如图， 直三棱柱 ABC A1B1C1 中， AB =1，AC AA1 3，ABC=600
7、.()证明： AB A1C ；A1 C1（）求二面角 A A1C B 的大小。B1A CB14. （2009 宁夏海南卷文） 如图，在三棱锥 P ABC中， PAB是等边三角形， PAC=PBC=90（）证明： ABPC（）若 PC 4，且平面 PAC平面 PBC ，求三棱锥 P ABC 体积。15. （2009 福建卷文） 如图，平行四边形 ABCD中， DAB 60 ， AB 2, AD 4将CBD沿 BD折起到 EBD 的位置，使平面 EDB 平面 ABD （I）求证： AB DE （）求三棱锥 E ABD 的侧面积。16. （2009 重庆卷文）如题（ 18）图，在五面体 ABCDEF
8、 中， AB DC ，BAD ，2CD AD 2，四边形 ABFE 为平行四边形， FA 平面 ABCD， FC 3, ED 7 求：（）直线 AB 到平面 EFCD 的距离；（）二面角 F AD E的平面角的正切值17. (2009 年广东卷文 ) 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 PEFGH, 下半部分是长方体 ABCD EFGH. 图 5、图 6 分别是该标识墩的正 (主)视图和俯视图 .（1）请画出该安全标识墩的侧 (左)视图 ;（2）求该安全标识墩的体积（3）证明 :直线 BD 平面 PEG参考答案1、【解析】（I）解法一：作 MN SD交 C
9、D 于 N，作 NE AB 交 AB 于 E，连 ME、NB，则 MN 面 ABCD， ME AB, NE AD 2设 MN x，则 NC EB x ,在 RT MEB 中， MBE 60 ME 3x 。在 RT MNE 中由2 2 2ME NE MN2 23x x 2解得 x 1，从而1MN SD M 为侧棱 SC的中点 M.2解法二 :过 M 作CD 的平行线 .（II）分析一 :利用三垂线定理求解。 在新教材中弱化了三垂线定理。 这两年高考中求二面角也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。过 M 作 MJ CD 交 SD于 J ,作 SH AJ 交 AJ 于 H ,作 HK AM 交 A
10、M 于 K , 则JM CD , JM 面 SAD,面 SAD 面 MBA, SH 面 AMB SKH 即为所求二面角的补角.法二 ：利用二面角的定义。在等边三角形 ABM 中过点 B作 BF AM 交 AM 于点 F ，则点 F 为 AM 的中点，取 SA 的中点 G，连 GF，易证 GF AM ，则 GFB即为所求二面角 .解法二、 分别以 DA 、DC、DS 为 x、y、z 轴如图建立空间直角坐标系 Dxyz，则A( 2 ,0, 0), B( 2, 2,0), C ( 0,0,2), S( 0,0,2) 。zSMC yDABx（）设 M (0, a, b)( a 0,b 0) ，则BA
11、(0, 2, 0), BM ( 2,a 2,b), SM (0,a,b 2) ，SC ( 0,2, 2) ，由题得cos BA, BM12，即SM / SC2(a 2) 12 (a22)2b22解之个方程组得 a 1,b 1即 M ( 0,1,1)2a 2(b 2)所以 M 是侧棱 SC的中点。 2 2 2 2法 2：设 SM MC ，则 M (0, , ), MB ( 2, , ) 1 1 1 1又oAB ( 0, 2,0 ), MB , AB 60故oMB AB | MB | | AB | cos60 ，即142(12)22 )2(1，解得 1，所以 M 是侧棱 SC的中点。（）由（）得
12、M ( 0,1,1), MA ( 2, 1, 1) ，又 AS ( 2,0,2)， AB ( 0,2,0 ) ，设 n1 ( x , y , z ),n ( x , y , z ) 分别是平面 SAM 、 MAB 的法向量，则1 1 1 2 2 2 2n1MA 0且n MA 02，即2x1y1z10且2x2y2z20n1AS 0n AB102x12z102y20分别令 x1 x 2 得 z1 1, y1 1, y2 0, z2 2 ，即2n1 ( 2 ,1,1), n2 ( 2 ,0,2) ，cos n1 , n22 0 22 663二面角 S AM B的大小6arccos 。32、解法一：（
13、）取 BC 中点 F，连接 EF，则 EF12B B ，从而 EF DA。1连接 AF，则 ADEF 为平行四边形，从而 AF/DE 。又 DE平面 BCC1 ，故 AF平面 BCC1 ，从而 AFBC，即 AF为 BC的垂直平分线，所以 AB=AC。（）作 AGBD，垂足为 G，连接 CG。由三垂线定理知 CGBD，故 AGC为二面角 A-BD-C 的平面角。由题设知， AGC=60设 AC=2，则 AG=23。又 AB=2，BC=2 2 ，故 AF= 2 。由 AB AD AG BD 得 2AD=232 2. AD 2 ，解得 AD= 2 。故 AD=AF。又 ADAF，所以四边形 ADE
14、F为正方形。因为 BCAF，BCAD，AFAD=A，故 BC平面 DEF，因此平面 BCD平面 DEF。连接 AE、DF，设 AEDF=H，则 EHDF，EH平面 BCD。连接 CH，则 ECH为 B1C 与平面 BCD所成的角。1因 ADEF为正方形， AD= 2 ，故 EH=1，又 EC=2B C =2，1所以 ECH=30 0，即0，即0.B C 与平面 BCD所成的角为 301解法二：（）以 A 为坐标原点，射线 AB为 x 轴的正半轴，建立如图所示的直角坐标系 Axyz。设 B（1，0，0），C（0，b，0），D（0，0，c），则 B1（1，0，2c）,E（12，b2，c）.于是 D
15、E =（12，b2，0）， BC=（-1，b,0）.由 DE平面 BCC1 知 DEBC， DE BC =0，求得b=1，所以 AB=AC 。（）设平面 BCD 的法向量 AN (x, y, z), 则 AN BC 0, AN BD 0.又 BC =（-1，1， 0），BD=（-1，0，c）,故x yx cz00令 x=1, 则 y=1, z=1c, AN =(1,1,1c).又平面 ABD 的法向量 AC =（0，1，0）由二面角 A BD C 为 60 知， AN，AC =60 ，1故 AN AC AN AC cos60 ，求得c2于是 AN （1，1，2）， CB (1，1，2）1cos
16、AN CB 11AN，CB ，12AN CB1AN，CB 60 1所以 B1C 与平面 BCD所成的角为 3013、（）证明：连接 DP ,CQ ， 在 ABE 中，P,Q 分别是 AE, AB 的中点， 所以 PQ / BE ，21又 DC / BE ，所以 PQ / DC ，又 PQ 平面 ACD ，DC 平面 ACD ， 所以 PQ / 平面 ACD2（）在 ABC中， AC BC 2, AQ BQ ，所以 CQ AB而 DC 平面 ABC ， EB / DC ，所以 EB 平面 ABC而 EB 平面 ABE ， 所以平面 ABE 平面 ABC ， 所以 CQ 平面 ABE由（）知四边形
17、 DCQP 是平行四边形，所以 DP / CQ所以 DP 平面 ABE ， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP，所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 DAP2 DC 2 2 2在 Rt APD 中， AD AC 2 1 5 ， DP CQ 2 sin CAQ 1所以sin DAPDPAD15554、【解法 1】（）四边形 ABCD 是正方形， ACBD， PD 底面ABCD ，PDAC ，AC 平面 PDB，平面 AEC 平面PDB .（）设 ACBD=O ，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，O，E 分别为 DB、PB
18、的中点，OE/PD，1OE PD ，又 PD 底面ABCD ，2OE底面 ABCD ，OEAO ，在 RtAOE 中，1 2OE PD AB AO ，2 2 AOE 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .【解法 2】 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系 D xyz ，设 AB a, PD h,则 A a,0,0 ,B a, a,0 ,C 0,a,0 ,D 0,0,0 ,P 0,0, h ，（） AC a, a,0 , DP 0,0, h , DB a, a,0 ， AC DP 0, AC DB 0 ，ACDP，AC DB ，AC平面 PDB，平面 AEC 平面PDB
19、.（）当 PD 2AB 且 E 为 PB 的中点时， 1 1 2P 0,0, 2a ,E a, a, a ， 2 2 2设 ACBD=O ，连接 OE，由（）知 AC平面 PDB 于 O，AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角，1 1 2 2EA a, a, a ,EO 0,0, a ，2 2 2 2 cosAEOEA EOEA EO22， AOE 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 .5、6、【解析】 (1)由于 EA=ED 且 ED 面ABCD E D E C点 E 在线段 AD 的垂直平分线上 ,同理点 F 在线段 BC 的垂直平分线上 .又 ABCD 是四方形线
20、段 BC 的垂直平分线也就是线段 AD 的垂直平分线即点 E F 都居线段 AD 的垂直平分线上 .所以,直线 E F 垂直平分线段 AD.(2)连接 EB、EC 由题意知多面体 ABCD 可分割成正四棱锥 EABCD 和正四面体 EBCF 两部分.设 AD 中点为 M,在 RtMEE 中,由于 ME =1, ME 3 EE 2 .V ABCDE1 1 4 22S四方形 ABCD EE 2 23 3 3又V BCF=VECBEF=V CBEA=V EABC1 1 1 2 22S EE 2 2ABC3 3 2 3多面体 ABCDEF 的体积为 V EABC DVEBCF= 2 27、解：方法（一
21、） ：（1）证：依题设，在以为直径的球面上，则 .因为平面，则，又，所以平面， 则， 因此有平面， 所以平面平面.zP（） 设平面与交于点， 因为， 所以平面，则，M由（1）知，平面，则 MN 是 PN 在平面 ABM 上N的射影， DAy所以 P N M就是 PC与平面 ABM 所成的角，O 且 PNM PCDBPDtan PNM tan PCD 2 2DCxC所求角为 arctan 2 2（3）因为 O 是 BD 的中点，则 O 点到平面 ABM 的距离等于 D 点到平面 ABM 距离的一半，由（1）知，平面于 M ，则|DM|就是 D 点到平面 ABM 距离 .因为在 RtPAD 中，
22、PA AD 4 ， PD AM ，所以 M 为 PD 中点， DM 2 2 ，则O 点到平面 ABM 的距离等于 2 。方法二：（1）同方法一；（ 2）如图所示，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0) ， P(0,0,4) ， B (2,0,0) ， C (2,4,0) ，D (0,4,0) ， M (0,2,2) ，设平面 ABM 的一个法向量 n ( x, y, z) ，由 n AB ,n AM 可得：2x 02y 2z 0，令 z 1，则y 1，即 n (0,1, 1) .设所求角为 ，则sinPC nPC n2 23，所求角的大小为arcsin2 23.AO n（3）设所求距离为 h，
23、由 O (1,2,0), AO (1,2,0) ，得： 2hn8、【解析】 解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCD=A，B所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE为等腰直角三角形， AB=AE，所以 AEB=45，又因为 AEF=45,所以 FEB=90，即 EFBE.因为 BC 平面 ABCD, BE 平面 BCE,BCBE=B所以 EF 平面 BCE 6 分（II ）取 BE的中点 N,连结CN,MN,则MN 12AB PC PMNC为平行四边形 , 所以 PMCN. CN 在平面 BCE内,PM不在平面 BCE内
24、, PM 平面 BCE. 8 分（III ）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD于 H,连结FH,则由三垂线定理知BDFH. FHG为二面角 F-BD-A 的平面角 . FA=FE, AEF=45,AEF=90, FAG=45.设AB=1,则 AE=1,AF=22, 则FG AF sin FAG121在 RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+2=32,GH BG sin GBH3 2 3 22 2 4,在 RtFGH中,tan FHGFG 2GH 3, 二面
25、角 F BD A的大小为 arc tan23 12 分解法二 : 因 ABE 等腰直角三角形， AB AE ，所以 AE AB又因为平面 ABEF 平面 ABCD AB ，所以 AE 平面 ABCD ，所以 AE AD即 AD、AB、AE 两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设AB 1，则 AE 1， B( 0,1,0), D (1,0,0), E (0,0,1), C (1,1,0) FA FE , AEF 45 ，0AFE 90 ，1 1从而 F（0， ， ）2 21 1EF (0, , ) ， BE (0, 1,1) , BC (1,0,0) 2 21 1于是 0EF BE 0 ，
26、EF BC 02 2 EF BE, EF BC BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ， BC BE B EF 平面 BCE 1 1 1 1（II ）M ( 0,0, ), P (1, ,0) ，从而 PM ( 1, , ) 2 2 2 21 1 1 1 1 1于是 PM EF ( 1, , ) (0, , ) 0 0 2 2 2 2 4 4 PM EF ，又 EF 平面 BCE ，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PM 平面 BCE（III ）设平面 BDF 的一个法向量为n ，并设1n （ x, y, z)1BD (1, 1, 0), BF (0,32,1 2)n1n1BDBF
27、00即x32yy012z 0取 y 1，则 x 1， z 3 ，从而n （1，1，3）1取平面 ABD D的一个法向量为 (0,0,1)n2cosn 、n1 2n1n1n2n2311131111故二面角 F BD A的大小为arccos311119、（）证发 1：连接 BD，由底面是正方形可得 AC BD。SD 平面， BD 是 BE 在平面 ABCD 上的射影，由三垂线定理得 AC BE.(II) 解法 1： SD 平面 ABCD ， 平面， SD CD.又底面是正方形， D D，又 AD=D ， CD 平面 SAD。过点 D 在平面 SAD 内做 DF AE 于 F，连接 CF，则 CF
28、AE ，故 CFD 是二面角 C-AE-D 的平面角，即 CFD=6 02在 RtADE中， AD= a , DE= a ， AE= a 1。于是， DF=ADDEAE2a1在 RtCDF中，由 cot 60 =DFCD21得21332， 即 3 3=3(0,1 ， 解得 =2210、解 :（）如图所示，由正三棱柱 ABC A1B1C1 的性质知 AA1 平面 ABC.又 DE 平面 ABC，所以 DEAA .而 DE A1E， AA1 A1E A1 ,1所以 DE平面ACC A .又 DE 平面 A1DE ，1 1故平面 A1DE 平面 ACC1A1 .（） 解法 1: 过点 A 作 AF
29、垂直 A1E 于点 F ,连接 DF .由（）知，平面A DE 平面 ACC1A1 ，1所以 AF 平面A DE ,故 ADF 是直线 AD 和1平面A DE 所成的角。 因为 DE ACC1A1 ，1所以 DE AC.而 ABC 是边长为 4 的正三角形，于是 AD= 2 3 ，AE= 4-CE =4 -12CD =3.又因为AA1 7 ，所以 A1 E=2 2A E AA AE1 12 2( 7) 3 = 4,AFAE AA1AE13 74,sinADFAFAD218.即直线AD 和平面A DE 所成角的正弦值为1218解法 2 : 如图所示，设 O 是 AC 的中点，以 O 为原点建立空
30、间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是 A(2,0,0,),A (2,0, 7 ), D(-1, 3 ,0), E(-1,0,0).1易知AD =（-3， 3 ，- 7 ）， DE =（0，- 3 ，0）， AD =（-3， 3 ，0）.1r设 n (x, y, z)是平面A DE 的一个法向量，则1r uuvun DE 3y 0,r uuuvn AD 3x 3y 7z 0.1解得7x z, y 0.3r故可取 n ( 7,0, 3).于是r u urucos n, ADr u urun ADr u uru =n AD3 7 2184 2 3由此即知，直线AD 和平面 A1DE 所成角的正弦值为
31、21811 解（）取 CD的中点 G连结MG， NG.因为 ABCD，DCEF为正方形，且边长为 2，所以 MGCD，MG2， NG 2 .因为平面 ABCD平面 DCEF，所以 MG平面 DCEF，可得 MGNG.所以2 2 6MN MG NG 6 分（）假设直线ME与 BN共面， .8 分则 AB 平面 MBEN，且平面 MBEN与平面 DCEF交于 EN，由已知，两正方形不共面，故 AB 平面 DCEF.又 ABCD，所以 AB平面 DCEF.而 EN为平面 MBEN与平面 DCEF的交线，所以 ABEN.又 ABCDEF,所以 ENEF，这与 EN EF=E矛盾，故假设不成立。所以 M
32、E与 BN不共面，它们是异面直线。 .12 分12、【解析】 解法一：因为平面 ABEF平面 ABCD，BC 平面 ABCD，BCAB，平面 ABEF平面 ABCD=A，B所以 BC平面 ABEF.所以 BCEF.因为ABE为等腰直角三角形， AB=AE，所以 AEB=45，又因为 AEF=45,所以 FEB=90，即 EFBE.因为 BC 平面 ABCD, BE 平面 BCE,BCBE=B所以 EF 平面 BCE 6 分（II ）取 BE的中点 N,连结CN,MN,则 MN12AB PC PMNC为平行四边形 , 所以 PMCN. CN 在平面 BCE内,PM不在平面 BCE内, PM 平面
33、 BCE. 8 分（III ）由 EAAB,平面 ABEF平面 ABCD,易知 EA平面 ABCD.作 FGAB,交 BA的延长线于 G,则 FGEA.从而 FG平面 ABCD,作 GHBD于 H,连结FH,则由三垂线定理知 BDFH. FHG为二面角 F-BD-A 的平面角 . FA=FE, AEF=45,AEF=90, FAG=45.设 AB=1,则 AE=1,AF=22, 则FG AF sin FAG121在 RtBGH中, GBH=45,BG=AB+AG=1+2=32,GH BG sin GBH3 2 3 22 2 4,在 RtFGH中,tan FHGFG 2GH 3, 二面角 F B
34、D A的大小为arc tan23 12 分解法二 : 因 ABE 等腰直角三角形， AB AE ，所以 AE AB又因为平面 ABEF 平面 ABCD AB ，所以 AE 平面 ABCD ，所以 AE AD即 AD、AB、AE 两两垂直；如图建立空间直角坐标系,(I)设AB 1，则AE 1， B( 0,1,0), D (1,0,0), E (0,0,1), C (1,1,0) FA FE , AEF 45 ，0AFE ，901 1从而 F（0， ， ）2 21 1EF (0, , ) ， BE (0, 1,1) , BC (1,0,0) 2 21 1于是 0EF BE 0 ， EF BC 02
35、 2 EF BE, EF BC BE 平面 BCE ， BC 平面 BCE ， BC BE B EF 平面BCE1 1 1 1（II ）M ( 0,0, ), P (1, ,0) ，从而 PM ( 1, , )2 2 2 21 1 1 1 1 1于是 PM EF ( 1, , ) (0, , ) 0 0 2 2 2 2 4 4 PM EF ，又 EF 平面 BCE ，直线 PM 不在平面 BCE 内， 故 PM 平面 BCE（III ）设平面 BDF 的一个法向量为n ，并设 n1 （ x, y, z)1BD (1, 1, 0), BF (0,32,1 2)n1n1BDBF00即x32yy01
36、2z 0取 y 1，则 x 1， z 3 ，从而n （1，1，3）1取平面 ABD D的一个法向量为 (0,0,1)n2cosn 、n1 2n1n1n2n2311131111故二面角 F BD A的大小为arccos3111113、解析：解答 1（）因为三棱柱ABC A B C 为直三棱柱所以 AB A1A1 1 1在 ABC中 AB 10, AC 3, ABC 60由正弦定理得0ACB 30 所以BAC090即 AB AC ，所以AB ACC1 A, 又因为 AC1 ACC1A1所以 AB A1C（）如图所示，作AD A C 交 A1C 于 D ，连 BD，由三垂线定理可得 BD A1C1所
37、以 ABD为所求角，在Rt AAC 中，1ADA AgAC 3g 3 61AC162，在 Rt BAD中，tanABDABAD63，所以 ADB arc tan63cos m, nmgn3 1 1 0 1 0 155m gn （ ） g2 2 2 2 2 23 1 1 1 0 0所以A-A C-B 所成角是1arccos15514、解：（）因为 PAB是等边三角形， PAC PBC 90 ,所以 Rt PBC Rt PAC , 可得 AC BC。如图，取 AB中点 D ，连结 PD , CD ,则 PD AB , CD AB ,所以 AB 平面 PDC ,所以 AB PC。 6 分（）作 BE
38、 PC ，垂足为 E ，连结 AE 因为 Rt PBC Rt PAC，所以 AE PC ， AE BE 由已知，平面 PAC 平面 PBC ，故 AEB 90 8 分因为 Rt AEB Rt PEB，所以 AEB, PEB , CEB 都是等腰直角三角形。由已知 PC 4，得 AE BE 2， AEB的面积 S 2因为 PC 平面 AEB，所以三角锥 P ABC 的体积1 8V S PC 12 分3 315、（I）证明：在 ABD 中， AB 2, AD 4, DAB 602 2BD AB AD 2AB 2AD cos DAB 2 32 2 2AB BD AD , AB DE又 平面 EBD 平面 ABD平面 EBD 平面 ABD BD, AB 平面 ABDAB 平面 EBDDF 平面 EBD , AB DE（）解：由（ I）知 AB BD ,CD / AB, CD BD,从而 DE D在 Rt DBE 中， DB 2 3, DE DC AB 21S DB DEABE22 3又 AB 平面 EBD , BE 平面 EBD , AB BE1BE BC AD 4, S AB BE 4ABE2DE BD , 平面 EBD 平面 ABD ED ，平面 ABD而 AD 平面1ABD , ED AD, S AD DE 4ADE2综上，三棱锥 E ABD 的侧面积， S 8 2 316、解法