回归与相关分析.ppt

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1、回归与相关分析现在学习的是第1页，共33页第七章要点提示第七章要点提示 本章对两个变量的相互关系进行分析，是多元统计分析的基石本章对两个变量的相互关系进行分析，是多元统计分析的基石。学习时首先要求区分。学习时首先要求区分“回归回归”术语古今含义的不同之处，充分认识术语古今含义的不同之处，充分认识一元线性回归与相关分析的基础地位；一元线性回归与相关分析的基础地位；熟悉回归关系与相关关系的本熟悉回归关系与相关关系的本质区别及两者在统计表述方法上的联系（如质区别及两者在统计表述方法上的联系（如r与与b在数学意义上的统一性在数学意义上的统一性）和各自的侧重点；）和各自的侧重点；重点掌握直线回归与相关分

2、析的显著性检验方法重点掌握直线回归与相关分析的显著性检验方法和双变量回归模型的协方差分析技术，以便将统计控制手段与试验控制和双变量回归模型的协方差分析技术，以便将统计控制手段与试验控制手段一起综合运用到试验设计和统计分析中去。手段一起综合运用到试验设计和统计分析中去。涉及教材内容：第九章全五节，第十章、第十一章各一节。涉及教材内容：第九章全五节，第十章、第十一章各一节。作业布置：作业布置：教材教材第十、十一章所余三节内容自习第十、十一章所余三节内容自习；教材教材P191 P191 T5、T6、T9；P224 P224 T7。现在学习的是第2页，共33页第一节第一节 直线回归直线回归一、回归的含

3、义一、回归的含义 “回归回归”原文为原文为regression，该术语最先由英，该术语最先由英国的国的F.Galton于于1886年左右研究人类身高遗传的规年左右研究人类身高遗传的规律时所作的律时所作的“高尔顿解释高尔顿解释”中使用，详情如右图所中使用，详情如右图所示：示：高尔顿对此所作的解释是：大自然有高尔顿对此所作的解释是：大自然有一种约束机制，使人类身高分布保持某种稳定一种约束机制，使人类身高分布保持某种稳定形态而不作两极分化，也就是有形态而不作两极分化，也就是有回归于中心的作回归于中心的作用用，这个中心值，这个中心值即该种族身高在一定历史时期的即该种族身高在一定历史时期的平均值。平均值

4、。现在就现在就“回归回归”所作的定义是：所作的定义是：如果两个变量如果两个变量X和和Y，总是，总是Y随着随着X的变化而变的变化而变化，且这种化，且这种变化关系不可逆变化关系不可逆，则称，则称X和和Y为回归关为回归关系。其中：系。其中：X叫自变量叫自变量dependent variable；Y叫因变量或叫因变量或依变量依变量independent variable。高高：xg 71 72 g (69)64 a矮矮：xa 67 调查调查n 1074个家庭，统计结果：个家庭，统计结果：X 68英寸英寸 69英寸英寸得：得：X 1 (1英寸英寸2.54cm)但分组统计的结果却并非如此但分组统计的结果却

5、并非如此父母为高个子组时，父母为高个子组时，g 721父母为矮个子组时，父母为矮个子组时，a 641 走向指回归的本意走向指回归的本意 走向指回归的今义走向指回归的今义现在学习的是第3页，共33页第一节第一节 直线回归直线回归二、建立直线回归方程二、建立直线回归方程 例例7.1 一些夏季害虫的盛发期迟早与春季温一些夏季害虫的盛发期迟早与春季温度高低有关。江苏武进县观察度高低有关。江苏武进县观察1956-1964年年3 月下旬至月下旬至4 月中旬的月中旬的3 段旬均温累积值段旬均温累积值X和一和一代三化螟盛发期代三化螟盛发期Y(5月月10日起算日起算)所得结果如所得结果如下，试予分析。下，试予分

6、析。解解 描散点图描散点图 本例已知害虫盛发期迟早随春季气温的变本例已知害虫盛发期迟早随春季气温的变化而变化，且不可逆，又据散点图反映的化而变化，且不可逆，又据散点图反映的趋势来看，在趋势来看，在3045的温度范围，盛发期天的温度范围，盛发期天数随值呈下降的线性变化关系。数随值呈下降的线性变化关系。故可假定直线回归方程为：故可假定直线回归方程为：y a bx 读作读作“Y依依x直线回归直线回归”30 35 40 45-2-20 02 24 46 68 810101212141416161818年份195619571958195919601961196219631964X()35.534.131

7、.740.336.840.231.739.244.2333.7Y(d)12169273139170y a bx现在学习的是第4页，共33页第一节第一节 直线回归直线回归数据整理数据整理 由原始数据算出由原始数据算出一级数据一级数据6个个：X333.7 Y70 XY2436.4X 212517.49 Y 2794 n9 再由一级数据算出再由一级数据算出二级数据二级数据5个个：SSX X 2 (X)2/n144.64SSY Y 2 (Y)2/n 249.56SP XY X Y/n 159.04 XX/n 37.08 Y/n 7.78计算计算三级数据三级数据 b SP/SSX 1.10 (159.0

8、4)144.64 a bX48.55 7.78(1.10)37.08 得所求直线回归方程为：得所求直线回归方程为：y 48.55 1.10 x-2-20 02 24 46 68 810101212141416161818y 48.55 1.10 x30 35 40 4531.744.2现在学习的是第5页，共33页第一节第一节 直线回归直线回归三、直线回归关系的显著性检验三、直线回归关系的显著性检验 将将a bx 代入代入Y a bx 得：得：y b(xx)及及 y b(xx)于是由因变量离均差的两个线性分量：于是由因变量离均差的两个线性分量：(Y)2(Yy)(y )2 可推导出因变量总可推导出

9、因变量总SS的如下分解公式：的如下分解公式：(Y)2(Yy)2(y )2 简写成：简写成：SSY SSQ SSU Q U分别叫分别叫“离回归离回归平方和平方和”与与“回归回归平方和平方和”其计算公式及本例分解结果：其计算公式及本例分解结果：SSUSP2/SSX159.042/144.64 174.89 SSQSSY SSU249.56174.8974.67 故故 F MSU/MSQ 16.4*(F0.01,1,712.25)(174.891)/(74.677)表明双变量直线回归关系极显著表明双变量直线回归关系极显著,所得方程所得方程 y 48.55 1.10 x可用于预测。可用于预测。也可对回

10、归系数进行也可对回归系数进行t-test来证实。来证实。只是要利用只是要利用df(分子分子)1时，时，Ft2的关系的关系推导出回归系数的标准误推导出回归系数的标准误SbSe/SSX其中，其中，Se2SSQ/dfQ 74.677 10.67于是于是t-test的步骤如下：的步骤如下：H0:=0(为回归系数为回归系数b的真值的真值)Sb Se2/SSX 0.2715 10.67144.64 t(b)Sb(-1.1)0.2715-4.05(3)按自由度按自由度 7 查得两尾查得两尾 t0.01=3.50(4)推断：推断：t t0.01 H0 不成立。不成立。可见可见t-test与与F-test的效果

11、完全一致。的效果完全一致。若显著性检验结果不显著若显著性检验结果不显著,则则三选一：三选一：Y与与X没有回归关系；没有回归关系；Y与与X有回归关系，但不是直线回归；有回归关系，但不是直线回归；Y与与X有回归关系，但不是简单回归，有回归关系，但不是简单回归，而是多元回归。而是多元回归。现在学习的是第6页，共33页第二节第二节 直线相关直线相关一、相关的含义一、相关的含义 如果两个变量如果两个变量X和和Y，总是，总是X和和Y 相互制约、平相互制约、平行变化行变化，则称，则称X和和Y为相关关系。为相关关系。此时，此时，X和和Y没有严格意义上的自变量和因变没有严格意义上的自变量和因变量之分，既可以说量

12、之分，既可以说Y随着随着X的变化而变化，的变化而变化，也可也可以讲以讲X随着随着Y 的变化而变化。即不存在谁决定谁的变化而变化。即不存在谁决定谁或谁依赖谁的问题。或谁依赖谁的问题。如人或动物的胸围和体重，作物的生物产量和如人或动物的胸围和体重，作物的生物产量和经济产量，树干的胸径与材积等。经济产量，树干的胸径与材积等。可见，相关关系以双向、平行为特征。可见，相关关系以双向、平行为特征。但相关关系如果仅从数学角度看，和回归关系但相关关系如果仅从数学角度看，和回归关系是统一的，因为其双变量变化规律如果是线性关系是统一的，因为其双变量变化规律如果是线性关系的话，也可以由根据的话，也可以由根据“最小二

13、乘法最小二乘法”原理得出的直原理得出的直线方程来表述，所以有些文献不区分回归关系和相线方程来表述，所以有些文献不区分回归关系和相关关系，将二者笼统地称之关关系，将二者笼统地称之“回归回归”或者或者“相关相关”。从统计上讲，相关分析的侧重点和回归分析从统计上讲，相关分析的侧重点和回归分析不完全一样。不完全一样。二、相关系数二、相关系数 前已述及，具有线性回归关系的双变量中前已述及，具有线性回归关系的双变量中，Y变量的总变异量分解为：变量的总变异量分解为：SSY SSQ SSU Q U 对于具有线性相关关系的双变量，对于具有线性相关关系的双变量，Y变量的总平方和也可以分解成同样的变量的总平方和也可

14、以分解成同样的两个分量，只是分别改称为两个分量，只是分别改称为“非相关平非相关平方和方和”与与“相关相关平方和平方和”于是有：于是有：r SSU/SSY SP/SSX SSY “r”叫叫相关系数相关系数，其绝对值越大，其绝对值越大，SSU所占的比重就越大，在散点图上就表现为所占的比重就越大，在散点图上就表现为各散点越靠近直线；反之，各散点越靠近直线；反之，即即SSQ所占的比重越大，各散点越远离直线所占的比重越大，各散点越远离直线。并且有以下性质：。并且有以下性质：r 的正负和的正负和b一样取决于一样取决于SP的正负；的正负；r0，正，正相关；相关；r0，负相关，负相关 r1，1或或r（1，1）

15、；）；决定系数决定系数 r 2bb 或或 r bb现在学习的是第7页，共33页第二节第二节 直线相关直线相关三、相关分析举例三、相关分析举例 例例7.2 为研究绵羊胸围（为研究绵羊胸围（cm）和体重（）和体重（kg）的相互关系，调查了）的相互关系，调查了10只绵羊胸围和体重的对只绵羊胸围和体重的对应观察值应观察值X和和Y，所得结果如下表，试予分析。所得结果如下表，试予分析。解解 描散点图描散点图 本例已知绵羊胸围（本例已知绵羊胸围（X）和体重（）和体重（Y）为相关关）为相关关系，散点图也显示两者的变化规律呈系，散点图也显示两者的变化规律呈线性正相关线性正相关，SP0。故可假定直线相关方程为：故

16、可假定直线相关方程为：y a bx 或或 x a b y后一个方程也可写成：后一个方程也可写成：y a b x6666686870707272747476767878绵羊12345678910X(cm)68707071717173747676720Y(kg)50606865697271737577680y a bx807468625650现在学习的是第8页，共33页第二节第二节 直线相关直线相关数据整理数据整理 由原始数据算出由原始数据算出一级数据一级数据6个个：X720 Y680 XY49123X 251904 Y 246818 n10 再由一级数据算出再由一级数据算出二级数据二级数据5个个

17、：SSX X 2 (X)2/n64SSY Y 2 (Y)2/n 578SP XY X Y/n 163 XX/n 72 Y/n 68计算计算三级数据三级数据 b SP/SSX 16364 2.547 a 72 2.54768 115.4b SP/SSY 163578 0.282 a 68 0.282 72 52.82 即所求相关方程可以有两个即所求相关方程可以有两个(如右图如右图)r SP/SSX SSY 0.8475r 2bb2.547 0.2820.7192y 52.82 0.282 x76726840 50 60 70 80807060506666686870707272747476767

18、878y 2.547x115.4现在学习的是第9页，共33页第二节第二节 直线相关直线相关、直线相关关系的显著性检验、直线相关关系的显著性检验 和直线回归关系的显著性检验原理一样和直线回归关系的显著性检验原理一样，直线相关关系的双变量也可导出，直线相关关系的双变量也可导出Y变量总变量总SS的如下分解公式：的如下分解公式：(Y)2(Yy)2(y )2 简写成：简写成：SSY SSQ SSU Q U分别叫分别叫“非相关非相关平方和平方和”与与“相关相关平方和平方和”其计算公式引用三级数据后简化为：其计算公式引用三级数据后简化为：SSY (1 r 2)SSY r 2 SSY 或者或者 SSX (1

19、r 2)SSX r 2 SSX SSU r 2 SSY0.7182 578 415 SSQ(1 r 2)SSY 0.2818 578 163 故故 F MSU/MSQ 20.4*(F0.01,1,811.26)(n 2)r 2/(1 r 2)表明双变量直线相关关系极其显著表明双变量直线相关关系极其显著,所得两个直线相关方程都可用于预测。所得两个直线相关方程都可用于预测。也可对回归系数进行也可对回归系数进行t-test来证实。来证实。只是要利用只是要利用df(分子分子)1时，时，Ft2的关系的关系推导出相关系数的标准误：推导出相关系数的标准误：Sr(1 r 2)/(n 2)并且并且Se2SSQ/

20、dfQ 1638 20.4于是于是t-test的步骤如下：的步骤如下：H0:=0(为相关系数为相关系数 r 的真值的真值)Sr 0.28188 0.1877 t(r)Sr0.84750.18774.516(3)按自由度按自由度 8 查得两尾查得两尾 t0.01=3.355(4)推断：推断：t t0.01 H0 不成立。不成立。可见可见t-test与与F-test的效果完全一致。的效果完全一致。若显著性检验结果不显著若显著性检验结果不显著,则则三选一：三选一：Y与与X没有相关关系；没有相关关系；Y与与X有相关关系，但不是直线相关；有相关关系，但不是直线相关；Y与与X有相关关系，但不是简单相关，有

21、相关关系，但不是简单相关，而是复相关。而是复相关。现在学习的是第10页，共33页第二节第二节 直线相关直线相关四、回归与相关关系的统一性四、回归与相关关系的统一性 既然相关关系和回归关系的显著性检验原理一样，既然相关关系和回归关系的显著性检验原理一样，那么，不论回归还是相关关系，其检验都可用那么，不论回归还是相关关系，其检验都可用“相关相关系数系数”r 进一步简化如下：即由进一步简化如下：即由 t2 F (n 2)r 2/(1 r 2)解得：解得：r t2/(n 2 t2)于是利用这一关系将各个自由度下的于是利用这一关系将各个自由度下的 t 临界值临界值t0.05和和 t0.01换算出相关系数

22、换算出相关系数r的临界值的临界值r0.05和和 r0.01，从，从而得到直接用于检验回归或者是相关关系显著性的而得到直接用于检验回归或者是相关关系显著性的临界值表临界值表(附表附表10)。如从教材如从教材P376查得查得M2，dfQ8时时 r0.05 0.632，r0.01 0.765今得今得 r 0.8475*r0.01 再由例再由例7.1从从P376查得查得M2，dfQ7时时 r0.05 0.666，r0.01 0.798算得算得“r”0.8371*r0.01 检验效果与检验效果与F-test或者是或者是t-test完全一样。完全一样。例例7.2关于关于体重体重(Y)的的ANOVA表：表：

23、SOV DF SSY MS F F 0.01相关相关 1 415 415 20.4*11.26非相关非相关 8 163 20.4 总总 9 578也可针对也可针对胸围胸围(X)做做ANOVA表：表：SOV DF SSX MS F F 0.01相关相关 1 46 46 20.4*11.26非相关非相关 8 18 2.25 总总 9 64例例7.1只对只对盛发期盛发期(Y)做做ANOVA表：表：SOV DF SSY MS F F 0.01回归回归 1 175 175 16.4*12.25离回归离回归 7 75 10.7 总总 8 250现在学习的是第11页，共33页第三节 多项式回归 例7.3 观

24、测n7块小麦田孕穗期的叶面积指数(x)和每667m2的籽粒产量(y)的关系，得结果如下，试就其数量变化特点建立多项式回归方程并予以分析。解 先描散点图；初步判断为二次多项式 通常称之为抛物线；这种变化关系在农业和生物学领域普遍存在；完成这类实例分析的方法是将曲线单回归的问题通过变量代换转化为二元线性回归的问题来解决，这也是完成更高次多项式回归分析的基本点。田块1234567 X3.374.124.875.626.377.127.8739.34Y(kg)349374388395401397384268834034035035036036037037038038039039040040041041

25、00 02 24 46 68 81010现在学习的是第12页，共33页y y2 2a ab b1 1x xb b2 2x x2 2的图象的图象 一、确定多项式方程次数的方法b2 0 b2 0 当两个变数间的曲线关系很难确定时，可以使用多项式去逼近，称为多项式回归（polynomial regression)。最简单的多项式是二次多项式，其方程为：y2 ab1xb2x2 它的图象是抛物线。当b20时，曲线凹向上，有一个极小值；b2 0时，曲线凸向上，有一个极大值，见右图。本例(x,y)的散点图呈单锋趋势，没有明显的其它凹凸变化，故预期可用二次式配合。但多项式回归方程通常只能用于描述试验范围内Y依

26、X的变化关系，外推一般不可靠，这一点首先必须明确。现在学习的是第13页，共33页三次多项式的方程为：三次多项式的方程为：y y3 3a ab b1 1x xb b2 2x xb b3 3x x3 3它的图形是具有两个弯曲它的图形是具有两个弯曲(一个极大值和一个极大值和一个极小值一个极小值)和一个拐点的曲线。当和一个拐点的曲线。当b b3 30 0时，时，这类曲线由凸向上转为凹向上；当这类曲线由凸向上转为凹向上；当b b3 3 0 0时，时，这类曲线由凹向上转为凸向上，见右图。这类曲线由凹向上转为凸向上，见右图。多项式方程的一般形式：多项式方程的一般形式：y ya ab b1 1x xb b2

27、2x x2 2.b bk kx xk k 这是这是k-1k-1个具有个弯曲个具有个弯曲(k-1(k-1个极值个极值)和和k-2k-2 个拐点的曲线；两个变数的个拐点的曲线；两个变数的n n对观察值最多可对观察值最多可 配到配到 k k n n 1 1 次多项式；次多项式；k k越大，包含的越大，包含的 统计数越多，计算和解释越复杂；一个多项式统计数越多，计算和解释越复杂；一个多项式 回归方程应取多少次为宜，可根据资料的散点回归方程应取多少次为宜，可根据资料的散点 图作出初步选择；散点图趋势所表现的曲线的图作出初步选择；散点图趋势所表现的曲线的 峰数谷数峰数谷数1 1，即为，即为多项式回归方程次

28、数多项式回归方程次数。散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。散点波动较大或峰谷两侧不对称，可再高一次。一、确定多项式方程次数的方法b30 b30y3=a+b1x+b2x2+b3x3 的图象现在学习的是第14页，共33页二、建立多项式回归方程变量代换（代换得到的变量个数以m表示）设例7.3的二次多项式方程为：y2 ab1xb2x2 令x1 x，x2x 2 ；则方程线性化为：y2 ab1x1b2x2数据整理 由原始数据算出一级数据9个：X1 X 39.34 Y2688 X1Y XY 15229.56 X2 X 2236.8408 Y 21034112.00 X1 X2 X3 1508.0760

29、 n7 X2 2 X 4 10029.7617 X2Y X2Y92170.76 再由一级数据算出二级数据9个：SS1 X 2 (X)2/n15.75 SS2 X2 2 (X2)2/n2016.39556 SP10 X1Y X1 Y/n 123 SP20 X2Y X2 Y/n 1223.8928 SP12 SP21 X1 X2 X1 X2/n 177.030704 SSY 1920 Y/n 384 x1 X1/n 5.62 x2 X2/n 33.8344 仍按“最小二乘方”原理计算三级数据bi 例7.1 已知 a bx，则二次多项式可类推，即：a b1x1 b2x2 也就是列方程组求算各回归系数

30、时，不必把常数项列为未知数求解，这样一来，就可用阶数更少的矩阵运算来减少解方程的工作量。现在学习的是第15页，共33页二、建立多项式回归方程 1、只将bi 列为未知数求解的方法；对于任意次多项式，yab1xb2x2.bkxk 若令x1x，x2x2，,xkxk，则该式可化为：ykab1x1b2x2.bkxk 这时多元线性方程采用矩阵方法只需求 m=k 元方程组的解。SS11 SP12 SP1k b1 SP10 SP21 SS22 SP1k b2 SP20 A .，b .Z .SPm1 SPm2 SSmk bk SPm0 也就是说，以二级数据为元素构建的矩阵 AbZ 阶数只有 mm。求得A-1，并

31、由bA-1 Z 可获得相应的多项式回归方程中 k 个回归系数bi的解，本例 m=k=2，求解过程如下：A SS11 SP12 15.750000 177.030704 ，Z SP10 123.0000 SP21 SS22 177.030704 2016.395336 SP20 1223.8926现在学习的是第16页，共33页二、建立多项式回归方程 1、只将bi 列为未知数求解的方法；采用矩阵方法求解的关键在于求逆矩阵，这属于线性代数范围的知识，教材分别在P171和P195提示了逆矩阵求算方法，本例用二级数据构建两个矩阵后简化了计算，只需对二阶矩阵求逆(Cij叫高斯乘数)，结果如下：A-1 SS

32、11 SP12 -1 4.819803 -0.42315765 C11 C12 SP21 SS22 -0.42315765 0.03764733 C21 C22 bA-1 Z 4.819803 -0.42315765 123.0000 74.936168 -0.42315765 0.03764733 1223.8926 -5.972095 于是获得本例多项式回归方程中两个回归系数：b174.9，b2-5.97 a b1x1 b2x2 38474.95.62(5.97)33.8344165.05IA-1 A 1.000000568 0.000000346 1 0(单位矩阵)0.000006380

33、 1.000003942 0 1现在学习的是第17页，共33页二、建立多项式回归方程 2、把常数项 a 列为未知数求解的方法；对于任意次多项式，yab1xb2x2.bkxk 若令x1x，x2x2，,xkxk，则该式可化为：ykab1x1b2x2.bkxk 一般的多元线性方程，采用矩阵方法需求 m+1 元方程组的解。1 x12 x22 xk2 1 x12 x122 x12k y1 1 x11 x21 xk1 1 x11 x112 x11k y2X .，Y .1 x1n x2n xkn 1 x1n x1n2 x1n yn 求得XX,XY和(XX)-1，并由b(XX)-1(XY)获得相应的多项式回归

34、方程中k个回归系数 bi 和一个常数项 a 的解。教材从直线回归的内容开始就介绍了利用矩阵计算三级数据 a 和 b 并进行显著性检验的方法，以此作为用矩阵进行多元回归与相关分析的铺垫。这在当今电脑普及的时代意义非同小可，因为用矩阵进行回归与相关分析可一石三鸟：更容易理解计算机解方程的程序；其中的m+1阶(或 m=k 阶)逆矩阵可验证所得方程组的解是否正确包括其精度是否足够；该逆矩阵的对角线上的元素用于检验回归与相关关系的显著性非常方便。现在学习的是第18页，共33页 1 3.37 11.3569 349 1 4.12 16.9744 374X X Y Y 1 7.87 61.9369 384

35、7 39.34 236.8408X XX X 39.34 236.8408 1508.0760 236.8408 1508.0760 10029.7617 2688 X XY Y 15229.56 92170.76E:matlabR12binwin32matlab.exe 165.03532698b 74.89269841 5.96825397 3403403503503603603703703803803903904004004104100 02 24 46 68 81010图11.13 小麦孕穗期叶面积指数与产量的关系至此即获得了二元线性回归方程y2165.0353269874.89269

36、841x1 5.96825397x2 y2=165.04 74.89x5.97x2二、建立多项式回归方程现在学习的是第19页，共33页本例互逆矩阵验算结果 (m1)(m1)34.52472939 12.76246560 1.10370464(X(XX)X)-1-1 12.76246560 4.81693498 0.42290417 1.10370464 0.42290417 0.03762493 0.99926016 0.00000296 0.00001274 (X(XX)(XX)(XX)X)-1-1 0.02325500 0.99990676 0.00040240 0.04719600 0.

37、00018830 0.99919211 1 0 0 I I 0 1 0 0 0 1 7 39.34 236.8408XX 39.34 236.8408 1508.0760 236.8408 1508.0760 10029.7617现在学习的是第20页，共33页 多项式回归分析中，Y 变量的总平方和SSY 亦可分解为回归和离回归两部分,即：SSY SSU SSQ 上式中，SSU为 k 次多项式的总回归效应平方和，即 Y 变量总变异中能被 X 的 k 次多项式所说明的部分，计算过程用矩阵表述为：SSYYY(1Y)2/n 1034112.0026882/71920.00 SSQ为k次多项式的离回归平

38、方和，其中：SSQ YYb(XY)12.7143 1034112.00(165.03532698 74.89269841 5.96825397)(XY)SSU SSY SSQ 1920.0012.71431907.2857 也可利用二、三级数据直接计算总回归效应平方和SSU：SSU b1 SP10 b2 SP20 1907.9436 74.9362123.0000(-5.9721)1223.8928 SSQ SSY SSU 1920.001907.9436 12.0564三、多项式回归的假设测验现在学习的是第21页，共33页总回归关系的总回归关系的F-testF-test 将Y变量的总平方和S

39、Sy分解成多项式回归(SSU)和离回归(SSQ)两部分。前者由X的各次分量项的引起，包括一次回归效应和二次回归效应，具有自由度dfk；后者与X的不同无关，具有自由度dfn-(k+1)，也就是误差效应。于是：F(SSU/k)/(SSQ/n-(k+1)可测验多项式回归关系的真实性。根据本例已算得的结果，可作成方差分析表于下。该表的F测验结果极其显著，表明用所得二次多项式来描述叶面积指数与亩产量是可行的。二次多项式回归关系的 F-test表 变异来源 DF SS MS F F0.01 多项式回归 2 1907.2857 953.6429 300.02*18.00 离回归 4 12.7143 3.17

40、86 总 6 1920.00 现在学习的是第22页，共33页总回归关系的总回归关系的R-testR-test 同多元相关系数Ry.12.m相类似，k次多项式的回归平方和占Y总平方和的比率的平方根值（记作Ry.x.x2,.,xk），可用来表示Y与X的多项式的相关密切程度，即有：Ry.x.x2,.,xk SSU/SSY 上式中的Ry.x.x2,.,xk叫相关指数。和线性相关的情况一样：R2y.x.x2,.,xk SSU/SSY 表示k次多项式的决定系数，即在Y的总平方和SSY中，可由X的k次多项式引起的平方和SSU所占的比率。Ry.x.x2,.,xk的显著性可通过查表直接获知。如本例查附表10，当

41、df4,k2(即附表10中的Mk13)时，R0.010.949,于是:Ry.x.x2,.,xk1907.28571920.00 0.9967*R0.01 故Y与X的二次多项式的“复相关”(总回归)关系极显著。对于Ry.x.x2,.,xk的测验和本例F-test结论完全一致，择一即可。但不论F-test还是R-test都只是一个综合性测验，表明叶面积指数与亩产量需要一个多项式来描述，并不能证实 k 次项或者其它各次项的显著性。现在学习的是第23页，共33页 各次分量项偏回归关系的各次分量项偏回归关系的F-testF-test 本例总回归效应极显著既然不能排除多项式方程中个别乃至若干个分量项不显著

42、的可能性，就有必要分别对各次分量项进行偏回归关系的F-test。这与多元线性回归中偏回归关系的假设测验相类似，亦需先计算各次分量项的偏回归平方和SSbi，即：SSbi bi2/C(i+1)(i+1)此时SSbi具有自由度df1，故由：F SSbi/(SSQ/n-(k+1)可测验第 i 次分量是否显著。本例由逆矩阵对角线上的元素算得 Y 对各次分量项的偏回归平方和为：SSb174.892698412/4.816934981164.4160 SSb2(-5.96825397)2/0.03762493946.7142变异来源 DF SS MS F F0。01一次分量 1 1164.4160 1164

43、.4160 366.33*21.20二次分量 1 946.7142 946.7142 297.84*离回归 4 12.7143 3.1786 总 6 1920.00 结果表明，在用二次多项式描述叶面积指数与亩产量时，二次分量和一次分量均应保留（但SSU SSb1 SSb2！）。现在学习的是第24页，共33页各次分量项的各次分量项的F F测验表测验表变异来源变异来源 DF SS MS F FDF SS MS F F0 0。0101一次分量一次分量 1 1164.4160 1164.4160 366.331 1164.4160 1164.4160 366.33*21.20 21.20二次分量二次分

44、量 1 946.7142 946.7142 297.841 946.7142 946.7142 297.84*离回归离回归 4 12.7143 3.17864 12.7143 3.1786 结果表明，在用二次多项式描述教材表结果表明，在用二次多项式描述教材表11.411.4资料时，资料时，二次分量和一次分量均应保留。二次分量和一次分量均应保留。各次分量项偏回归关系的各次分量项偏回归关系的F-testF-test现在学习的是第25页，共33页课后习题课后习题 以光呼吸抑制剂亚硫酸氢钠的不同浓度溶液（以光呼吸抑制剂亚硫酸氢钠的不同浓度溶液（x,100mg/L）喷射沪选喷射沪选19水稻，水稻，2小时

45、后测定剑叶的光合强度小时后测定剑叶的光合强度（y,co2mg/dm/h），得结果于下表。试计算（），得结果于下表。试计算（1）光合强）光合强度依度依亚硫酸氢钠浓度的亚硫酸氢钠浓度的 多项式回归方程及离回归标准差。多项式回归方程及离回归标准差。（2）光合强度最高时的亚硫酸氢钠浓度。）光合强度最高时的亚硫酸氢钠浓度。X 0 1 2 3 4 5Y 19.10 23.05 23.33 21.33 20.05 19.35 现在学习的是第26页，共33页第四节第四节 协方差分析协方差分析例例7.4 有一大豆浸种试验研究结果，有一大豆浸种试验研究结果，k10，随机区组设计，随机区组设计，n3，每个试验小区（

46、，每个试验小区（1.5m2）点播的种子粒数均等。以各小区大豆收获时的籽粒干重（点播的种子粒数均等。以各小区大豆收获时的籽粒干重（10g）为试验指标进行）为试验指标进行观察记载。考虑到每个小区结荚株数只占小区总株数的一部分，并且与该小区试验观察记载。考虑到每个小区结荚株数只占小区总株数的一部分，并且与该小区试验指标之间可能存在着回归关系，故在称量小区干重指标之间可能存在着回归关系，故在称量小区干重y的同时，对其结荚株数的同时，对其结荚株数x一并予以一并予以记载（见下图），试进行协方差分析。记载（见下图），试进行协方差分析。N6.5J176.5E206.8I157.3D1210.8G198.0B1

47、910.5H2010.1F228.0C149.7A2513.0B2117.5F2313.3J2418.4H2216.5C2816.0A2017.2D2414.0I2318.8G2615.5E2115.0A2619.5C3020.6D2914.3E2623.2G3714.8F2815.5I2915.4J2820.5H2616.4B27肥 力 梯 度现在学习的是第27页，共33页一、数据整理一、数据整理处理XYXYXYTxtTytXtttA259.72016.02615.07140.723.6713.5713.49B198.02113.02716.46737.422.3312.4712.75C14

48、8.02816.53019.57244.024.0014.6714.50D127.32417.22920.66545.121.6715.0315.49E206.52115.52614.36736.322.3312.1012.38F2210.12317.52814.87342.424.3314.1313.87G1910.82618.83723.28252.827.3317.6016.53H2010.52218.42920.56849.422.6716.4716.66I156.82314.02615.56736.322.3312.1012.38J176.52413.32815.46935.223.

49、0011.7311.83Txr183232286701XY419.623.37x13.99Tyr84.2160.2175.2Cx(X)2/nk16380 SSx X2 Cx 816.97Cy(Y)2/nk5868.8 SSy Y2 Cy 628.69CxyXY/nk9804.7 SPT XY Cxy 574.16现在学习的是第28页，共33页二、二、dfT、SPT、SSx、SSy的分解的分解dfT dft dfr dfe 29 9 2 18SPT SPt SPr SPeSPtTxtTyt/n Cxy 52.687140.76737.46935.2SPrTxrTyr/k Cxy 463.57 1

50、8384.2232160.2286175.2SPe SPT SPt SPr 57.91SSxtTxt2/n Cx 71.64(712672692)/3 16380 SSxrTxr2/k Cx 530.87(183223222862)/1016380 SSxeSSx SSxtSSxr214.46SSytTyt2/n Cy 106.41(40.7237.4235.22)/3 5868.8 SSyrTyr2/k Cy 476.07(84.22160.22175.22)/105868.8SSyeSSy SSytSSyr46.21三、三、SSye、dfye 的再分解与的再分解与F-testSSueSPe