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1、偏微分方程的数值离散方法1第一页，讲稿共五十二页哦3.1 有限差分法 3.1.1 模型方程的差分逼近 3.1.2 差分格式的构造 3.1.3 差分方程的修正方程 3.1.4 差分方法的理论基础 3.1.5 守恒型差分格式 3.1.6 偏微分方程的全离散方法2第二页，讲稿共五十二页哦3.1.1 模型方程的差分逼近3第三页，讲稿共五十二页哦3.1.2 差分格式的构造4第四页，讲稿共五十二页哦3.1.3 差分方程的修正方程差分方程所精确逼近的微分方程称为修正方程 对于时间发展方程，利用展开的方程逐步消去带时间的高阶导数，只留空间导数。Warming-Hyett方法：差分方程(2)写成算子的形式： (
2、3) 24121616121 )2() 1() 1(! 31! 21) 1(! 31! 21Taylor(2) 22121(1) 04422233233222133322213332221112111xuxutcxuxxuctuttuttuueuuexuxxuxxuxuuuetuttuttutuuuuuuuuuxuctuxxjxxjjttnjnjjjjjjnjnj等价于：展开5第五页，讲稿共五十二页哦3.1.3 差分方程的修正方程 (续) 12220121212112332114444444333344433322223332222(5) 22121183,31,21, 1,1) 1() 1(
3、 211) 1( 21216122121) 1( ! 31! 21) 1( (4)u 221)(21) 1(ppppppppkkkkllxxxxxxxxllttlllttllttttttttttxxxxxxxxttxuxuxutueeeebebttbbbbebttetttutetuttutetuttuttutetuttuttuteeeueeue即有最后得到的级数表示成可以将则记算子6第六页，讲稿共五十二页哦3.1.3 差分方程的修正方程(续) ? (2) schemefor 1CFL why . min)3(81)(61, 020) 1( : , 0) 1() 1() 1(2222422232
4、1221212012212)(122201212121稳定性判别条件符合，）：对于（满足偶次项系数件是格式稳定的充分必要条基本解为HyettgWarxtctcxtccckkkkeexuxuxutuppppppppppppppikxtippppppppkkkk7第七页，讲稿共五十二页哦3.1.4 差分方法的理论基础 相容性，稳定性，收敛性 等价性定理 Fourier稳定性分析8第八页，讲稿共五十二页哦3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分析(1) 0 , 0)(111cuuxctuunininini1Gfactor ion amplificat
5、 )()(: ) 1 ( 111111111nnikxnikxnikxnikxnninininikxnniikxnniikxnniAAGeAeAeAeAuuuueAueAueAuxtciiiiiii满足稳定性要求的代入误差的基本解设9第九页，讲稿共五十二页哦3.1.4 差分方法的理论基础（续） Fourier (Von Neumann) 稳定性分（续） 称为CFL条件 (Courant, Friedrichs, Levy)1 1 1,2sin)1 (41sin)cos1 (1sin)cos1 (1)sin(cos1122222 ifGxkxkxkGxkixkxkixkeGxik10第十页，讲稿
6、共五十二页哦3.1.5 守恒型差分格式流体力学方程组描述物理量的守恒性；守恒律组：定义01diixtfu)(),(:f),(2f 0)(, 212121212111ufuuufuuufflffxtuuxuftunljnljnljnjnjnjnjnjnj满足相容性条件个变量的多变量函数：称为数值通量，它是其中则为守恒型差分格式。下形式其差分格式如果具有如对于一维单个守恒律：11第十一页，讲稿共五十二页哦3.1.5 守恒型差分格式（续）守恒性质：非守恒的差分格式一般没有对应于原始守恒律的“离散守恒律”。0),(),(),(),()0 ,(),(:2/12/1112/12/1021021102102
7、10121211dttxufdxtxudttxudttxudxxudxtxutftfxuxuntftfxuxujJJnnJJxxtJtJxxnNkkJNkkJJjJjjJjJjnjnJnJJjJjnjJjJjnj守恒律：律。完全对应于连续的该积分代表离散的守恒可以看成是积分求和再对求和守恒型差分格式对12第十二页，讲稿共五十二页哦3.1.5 守恒型差分格式（续）守恒型差分格式的Lax-Wendroff定理： 如果守恒型差分格式是和守恒律相容的，且当时间和空间步长趋于零时，差分解一致有界，几乎处处收敛于分片连续可微的函数，则这个收敛的函数就是守恒律的一个弱解。推论：守恒型差分各式的收敛解能自动满
8、足间断关系。 用途: (加上熵条件）可以得到正确的激波，研究中大量使用例如：Lax-Friedrichs 格式，Lax-Wendroff格式，Mac Cormack格式 0)(xuftunjnjnjnjffxtuu21211113第十三页，讲稿共五十二页哦3.1.6 偏微分方程的全离散方法 对差分格式的一般要求： 有精度、格式稳定、求解效率高 特殊要求 物理定律（守恒性）、物理特征（激波、湍流、旋涡、多介质、化学反应等）、有界性(正密度、正温度、正湍动能、正组分浓度等) 主要指非定常方程的时间离散 14第十四页，讲稿共五十二页哦3.1.6偏微分方程的全离散方法(续） 两层格式 Crank-Ni
9、colson格式、P-C格式、Lax-Wendroff格式、MacCormack 格式 Runge-Kutta方法 时空全守恒：如Godunov格式、central-upwind格式、CESE方法 多层格式 Leap-Frog格式、Adams-Bashforth格式、后三点隐格式 15第十五页，讲稿共五十二页哦3.1.6.1 两层格式 Crank-Nicolson格式 Predictor-Corrector格式 Lax-Wendroff 格式 Mac Cormack格式 Runge-Kutta方法stable nalunconditio)(4440)(40)(20111111111111111
10、11nnninininininininininininininnniniBAuBuuuuuuuuuuxctuuxuxuctuuxuctu16第十六页，讲稿共五十二页哦3.1.6.1 两层格式(cont.） Lax-Wendroff 格式一步LW格式xtcxtOuuuuuuuxuctuninininininini其中),( ),2(2)(202211211111) 1(cossin1)2(2)(21:2121GxkxkiAAGeeeeAAFouriernnxikxikxikxiknn稳定性17第十七页，讲稿共五十二页哦3.1.6.1 两层格式(cont.）Lax-Wendroff 格式两步LW格
11、式常系数Jacobian时与单步LW等价。但计算更简单，不涉及矩阵相乘。1 ),( , 0)(10)(12/2/ )(022212121211112121xtOffxtuuffxtuuuxftuninininininininini18第十八页，讲稿共五十二页哦3.1.6.1 两层格式(cont.）Mac Cormack 格式 (1969)两步格式比LW更简单，不需要计算函数在半点上的值。LW两步格式和MC各式的缺点：定常解的误差依赖于时间步长。1 ),(0)(1)(21:0)(1:022*1*11*xtcxtOffxtuuuCffxtuuPxftuiiinininininii19第十九页，讲稿
12、共五十二页哦Mac Cormack格式的构造)(1)(1)(21)()(exp.Taylor )(210:0:0*1*1*1*1*1*1*iinininnavavnininniinininFFxtUFFxtUtUtUtUttUUUUUUxFFtUUCxFFtUUPxFtU20第二十页，讲稿共五十二页哦3.1.6.2 三层格式 Leap-Frog格式 Adams-Bashforth格式)()()()(12)()()(2)()(2)(3123232221tOtOufufttuftutOufttuftutOtuttutuuuftunnnnnnnnn)()(21)(23211tOufuftuunnnn
13、21第二十一页，讲稿共五十二页哦第二课后阅读提示傅德薰计算流体力学，3.1 3.3水鸿寿一维流体力学数值方法3.1 Computational Methods for Fluid Dynamics, Ferziger and Peric, Springer Chap. 622第二十二页，讲稿共五十二页哦作业21.用Fourier法分析 3.1.6.1节中Crank-Nicolson格式的稳定性。2.分析前面3.1.6节中Mac Cormack格式是几阶精度。23第二十三页，讲稿共五十二页哦3.2有限体积法 出发方程为积分型守恒方程（直角坐标、柱坐标、球坐标） 以控制体为离散量 计算体积分和面积
14、分需要适当的插值公式和积分公式 (quadrature formula) 适用于任意形状的网格，复杂几何形状 缺点：难以构造大于二阶以上的格式24第二十四页，讲稿共五十二页哦3.2.1 定常守恒型方程和控制体dqdsdsSSnnvgrad25第二十五页，讲稿共五十二页哦3.2.2 面积分的逼近 面积分用积分点的值表示(quadrature) 积分点的值用CV的值表示(interpolation) 对于Simpson公式,对积分点的插值需要四阶精度eSseeneeSeeeSkSSffffdSSfSffdSfdSfdSeek461:order4th :order-2nd26第二十六页，讲稿共五十二
15、页哦3.2.4 体积分的逼近 当被积函数为某种型函数时，可以得到精确的积分，逼近精度取决于型函数的精度。是精确的积分时，为常值分布或线性分布几何中心的值。为PPPPqqCVqqqqd :order-2nd27第二十七页，讲稿共五十二页哦3.2.4 体积分的逼近四阶精度：2D直角坐标网格最后一式可以四阶精度逼近3D的面积分28第二十八页，讲稿共五十二页哦3.2.5 插值和微分 积分点的函数值和其法向梯度 1st UDS: 取上风点的值eeeSudSeSnv29第二十九页，讲稿共五十二页哦插值 2nd order: 向积分点线性插值 等价于中心差分 (CDS)30第三十页，讲稿共五十二页哦插值 当
16、积分点的函数是线性插值时 Second order 31第三十一页，讲稿共五十二页哦插值QUICK (quadratic upwind interpolation for convective kinematics)插值三阶精度，但积分（差分）往往只有二阶精度。32第三十二页，讲稿共五十二页哦插值 高精度： N阶精度的quadrture需要N-1阶多项式插值公式。 界面上导数可以用插值公式的微分求出。33第三十三页，讲稿共五十二页哦3.2.5有限体积法的边界条件 用边界条件替代面积分 入口：通常给定对流通量 (mass, momentum, energy, etc.) 壁面和对称面：通量为零
17、边界上函数值给定：和内部CV的值共同构建边界上的导数34第三十四页，讲稿共五十二页哦FV例子35第三十五页，讲稿共五十二页哦3.2.6 守恒律的有限体积方法 Godunov 格式0),(),(0),(),(: t ,tx,xT0in 0)(21211212111nn1/2i1/2- idttxufdxtxudtdxtxufxdxdttxutuftuiinniinnxxttxxtt或积分在，36第三十六页，讲稿共五十二页哦问题的精确解给出。的值是由其中得Riemann),(),(1),(12/121212121112121txudttxuftgdxtxuxuggxtuuittiixxnniiin
18、ininnii37第三十七页，讲稿共五十二页哦3.2.6.1 Godunov方法的思想.),( Riemann,),; 0(),(Riemann,Riemann,. ,111 2121121121 2121ninniiinnnRPRLRPiniRinLiinintxxxtxttttttxxxxxxxxtiuuuuuuuuuuuuuu离散分布时刻的的就构成下一轮循环所需得到的平均值内进行平均，在每个小网格区间精确解在下一时刻的值都互不干扰，这样可将，的精确解问题相邻的局部使得每个小网格内来自取问题的精确解并求出该问题的考虑初始间断为内的常数分布小网格区间看成是时刻的离散分布量把已知的38第三十八
19、页，讲稿共五十二页哦一阶迎风格式(CIR格式) 0 xuatu39第三十九页，讲稿共五十二页哦用Godunov思想说明CIR格式=Godunov格式40第四十页，讲稿共五十二页哦0 ),(11auutaxuxunininini41第四十一页，讲稿共五十二页哦Riemann解图示42第四十二页，讲稿共五十二页哦43第四十三页，讲稿共五十二页哦3.2.6.1 1D Euler方程组的Godunov格式0)(0)(00)()(0)()(0)(22dtpEuEdxdtpuudxudtdxxpEutExputuxut积分方程组微分方程组Godunov格式是基于积分形式的方程组,间断关系自动满足，不需要另
20、外考虑间断线上的间断关系44第四十四页，讲稿共五十二页哦移动网格上的积分回路11njx11njxnjx1njx1njx1njx12njxnjx21ntnt45第四十五页，讲稿共五十二页哦移动网格上的Godunov格式 求出。由状态方程后，在求出),(,0)()()()(0)()()()(0)()()()(121121121111111121211111211211111112121111121121111121111121epppEupuDuEpuDuEtxxExxEpDuupDuutxxuxxuDuDutxxxxnjnjnjjjjjjjjjjjjjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjj
21、jjjjnjnjnjnjnjnjnjnjjjjjjjnjnjnjnjnjnj46第四十六页，讲稿共五十二页哦固定网格上的Godunov格式 上为同一个值）问题的解在同一条射线（的射线上的物理量问题的解在斜率处局部为（Riemann0Riemann),000, 02111111212112112121111121211211212111211211111wxpuxupuEupuEtEExpuupuutuuxuutxxxxDjjjjjjjjjjjjjjjnjnjnjnjjjjjjjjjjnjnjnjnjjjjjjnjnjnjnjnjnj47第四十七页，讲稿共五十二页哦Lagrange网格上的Godunov格式00)()(,112121121211212112121211211111211jjjjnjjnjjjjnjjnjjjnjnjnjnjnjnjnjnjnjupuptEmEmpptumummxxxxtUxxUDuj运量为零相邻网格之间的质量输48第四十八页，讲稿共五十二页哦Euler方程组的Riemann问题的解理想气体的5种解xt49第四十九页，讲稿共五十二页哦50第五十页，讲稿共五十二页哦二维Euler方程组的Riemann问题51第五十一页，讲稿共五十二页哦52第五十二页，讲稿共五十二页哦