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1、初二数学沪科版初二数学沪科版数据的集中趋势和离散程度数据的集中趋势和离散程度【知识点【知识点 1 1】正确理解平均数、众数和中位数的概念】正确理解平均数、众数和中位数的概念一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势平均数的大小与一组数一、平均数：平均数是反映一组数据的平均水平的特征数，反映一组数据的集中趋势平均数的大小与一组数据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化据里的每一个数据都有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化例例 1 1：有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数 ,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:
2、86, 92, 100, 106, 那么原 4 个数的平均数是_ .例例 2 2： 有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13 分,他们的平均分就到达 90 分,如果赵峰的得分降低 5分,他们的平均分就只得87 分,那么这些同学共有_人.例例 3 3：有 5 个数,其平均数为 138,按从小到大排列,从小端开始前 3 个数的平均数为 127,从大端开始顺次取出 3个数,其平均数为 148,则第三个数是_ .例例 4 4：某 5 个数的平均值为 60,假设把其中一个数改为 80,平均值为 70,这个数是_ .例例 5 5：A、B、C、D 四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这
3、样计算了 4 次,得到下面 4 个数.23, 26, 30, 33 A、B、C、D 4 个数的平均数是多少例例 6 6：有 5 个抽屉，分别有图书 33 本、42 本、20 本、53 本和 32 本，平均每个抽屉里有图书多少本？例例 7 7：小明参加了四次数学测验，平均成绩是88 分，他想再通过一次数学测验将五次的平均成绩提高到最少90分，那么在下次测验中，至少要得多少分？例例 8 8：四个数的平均值是 30，假设把其中一个改为50，平均值就变为 40，这个数原来是多少？例例 9 9：有甲、乙、丙三个数，甲数和乙数的平均数是42，甲数和丙数的平均数是46，乙数和丙数的平均数是47，求甲、乙、丙
4、三个数各是多少？例例 1010：某人沿一条长为 12 千米的路上山，又从原路返回，上山的速度是2 千米/小时，下山的速度是6 千米/小时。那么，他在上山和下山的全过程当中的平均速度是多少千米每小时？例例 1111：假设不选择教材中的引入问题，也可以替换成更贴近学生学习生活中的实例，下举一例可供借鉴参考。某校初二年级共有 4 个班，在一次数学考试中参考人数和成绩如下：班级1 班2 班42813 班45824 班3279参考人数40平均成绩801求该校初二年级在这次数学考试中的平均成绩？初二数学沪科版初二数学沪科版二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数一组数据中的众数有时不唯
5、一众数着二、众数：在一组数据中出现次数最多的数据叫做这一组数据的众数一组数据中的众数有时不唯一众数着眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能眼于对各数出现的次数的考察，这就告诉我们在求一组数据的众数时，既不需要排列，又不需要计算，只要能找出样本中出现次数最多的那一个或几个数据就可以了当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数找出样本中出现次数最多的那一个或几个数据就可以了当一组数据中有数据多次重复出现时，它的众数也就是我们所要关心的一种集中趋势也就是我们所要关心的一种集中趋势注：注：众数是数据中出现次数最多的数据，是一组数据中的原数据，而
6、不是相应的次数众数有可能不唯一，注意不要遗漏例例 1212：在一次数学测验中，甲、乙、丙、丁四位同学的分数分别是90、x、90、70，假设这四个同学得分的众数与平均数恰好相等，则他们得分的中位数是【】A、100 B、90 C、80 D、70例例 1313：当 5 个整数从小到大排列，其中位数是4，如果这组数据的唯一众数是6，则5 个整数可能的最大的和是【】A、21 B、22 C、23 D、24例例 1414：10 名工人，某天生产同一零件，生产到达件数是：15，17，14，10，15，19，17，16，14，12，则这一组数据的众数是【】A、15 B、17 15 C、14 D、17 15 14
7、例例 1515：某鞋店销售了 9 双鞋，各种尺码的销售量如下：鞋的尺码销售量双2012122242321计算这 9 双鞋尺码的平均数、中位数和众数.2哪一个指标是鞋厂最感兴趣的指标？哪一个指标是鞋厂最不感兴趣的？三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数或处在最中间的两个数的平均数三、中位数：是将一组数据按大小顺序排列后，处在最中间的一个数或处在最中间的两个数的平均数 一组一组数据中的中位数是唯一的数据中的中位数是唯一的注：注： 求中位数要先把数据按大小顺序排列，求中位数要先把数据按大小顺序排列， 可以从小到大，可以从小到大， 也可以从大到小也可以从大到小 如果数据个数如果数
8、据个数n n为奇数时，为奇数时， 第第个数据为中位数；如果数据个数个数据为中位数；如果数据个数n n为偶数时，第为偶数时，第n12nn、1个数据的平均数为中位数个数据的平均数为中位数22例例 1616：李大伯承包了一个果园，种植了100 棵樱桃树，今年已进入收获期收获时，从中任选并采摘了10 棵树2初二数学沪科版初二数学沪科版的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：序号质量千克1142213274175186207198239191022据调查，市场上今年樱桃的批发价格为每千克15 元用所学的统计知识估计今年此果园樱桃的总产量与按批发价格销售樱桃所得的总收入分别约为【】A200 千克，30
9、00 元C 2000 千克，30000 元B1900 千克，28500 元D1850 千克，27750 元例例 1717：为了了解某班学生每周做家务劳动的时间，某综合实践活动小组对该班50 名学生进行了调查，有关数据如下表：每周做家务的时间小时人数人02121.56282.5123133.5443根据上表中的数据，答复以下问题：1该班学生每周做家务劳动的平均时间是多少小时？2这组数据的中位数、众数分别是多少?3请你根据1 、 2的结果，用一句话谈谈自己的感受【知识点【知识点 2 2】极差、方差和标准差】极差、方差和标准差极差、方差和标准差都是用来研究一组数据的离散程度的，反映一组数据的波动范围
10、或波动大小的量 .一、极差一、极差一组数据中最大值与最小值的差叫做这组数据的极差，即极差=最大值-最小值.极差能够反映数据的变化范围，实际生活中我们经常用到极差.如一支足球队队员中的最大年龄与最小年龄的差，一个公司成员中最高收入与最低收入的差等都是极差的例子.极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，它受极端值的影响较大.二、方差二、方差方差是反映一组数据的整体波动大小的特征的量.它是指一组数据中各个数据与这组数据的平均数的差的平方的平均数，它反映的是一组数据偏离平均值的情况.方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小.求一组数据的方差可以简记先求平均，再求差，然后平方，最后求平均数 .
11、一组数据 x1、x2、x3、xn的平均数为x，则该组数据方差的计算公式为：1S2(x1 x)2 (x2 x)2 (xn x)2.n例例 1818：数据 0、1、2、3、x的平均数是 2，则这组数据的极差和标准差分别是【】3初二数学沪科版初二数学沪科版 A 4，2 B 4，2 C 2，10 D 4，10三、标准差三、标准差在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再在计算方差的过程中，可以看出方差的数量单位与原数据的单位不一致，在实际的应用时常常将求出的方差再开平方，此时得到量为这组数据的标准差开平方，此时得到量为这组数据的标准差. .即标准差
12、=方差.例例 1919：数据 90，91，92，93 的标准差是【】555A 2BCD442注意：极差、方差、标准差的关系注意：极差、方差、标准差的关系方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的量，常用来比较两组数据的波动大小.两组数据中极差大的那一组并不一定方差也大.在实际问题中有时用到标准差，是因为标准差的单位和原数据的单位一致，且能缓解方差过大或过小的现象.例例 2020：从甲、乙两种玉米苗中各抽10 株，分别测得它们的株高如下： 单位：cm甲： 21 42 39 14 19 22 37 41 40 25乙： 27 16 40 41 16 44 40 40 27 44(1)根据以上数据分
13、别求甲、乙两种玉米的极差、方差和标准差.(2)哪种玉米的苗长得高些;(3)哪种玉米的苗长得齐.例例 2121：市体校准备挑选一名跳高运发动参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙两名运发动进行了8 次选拔比赛.他们的成绩单位：m如下：甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75(1)甲、乙两名运发动的跳高平均成绩分别是多少？(2)哪位运发动的成绩更为稳定？(3)假设预测， 跳过 1.65m 就很可能获得冠军， 该校为了获得冠军， 可能选哪位运发动参赛？假设预测跳过1.70m
14、才能得冠军呢？4初二数学沪科版例17简析： 1该班学生每周做家务劳动的平均时间为1，即该班学生每周做家务劳动(02121.56282.5123133.5443) 2.44小时50的平均时间为 2.44 小时2 由表中的数据我们可以发现这组数据的中位数是2.5 小时 ， 众数是 3 小时 3只要表达内容与上述数据有关或与做家务劳动有关，并且态度积极即可例 20 分析：此题既是一道和极差、方差和标准差计算有关的问题， 又是利用方差解决实际问题的一道题目.要求极差，只要用数据中最大值减去最小值，求到差值即可.利用方差的计算公式可以求到方差，将方差开平方就得标准差.解： 甲的极差： 42-14=28(
15、cm)；乙的极差：44-16=28(cm).甲的平均值:1x甲（21 42391419 2237 41 40 25） 30 （cm）10乙的平均值:x乙1(27 16 40 4116 44 40 40 27 44) 31(cm)10甲的方差:(2130)2 (4230)2 (2530)2S104.2(cm2),102甲乙的方差:(27 31)2 (1631)2 (4431)2S128.8(cm2)102乙2因为甲种玉米的平均高度小于乙种玉米的平均高度，所以一种玉米的苗长的高.223因为S甲 S乙，所以甲种玉米的苗长得整齐.例 21 解析： 此题是一道数据分析有关的实际问题,主要考查数据的平均数、 方差的计算方法及处理数据的能力.根据平均数及方差的计算公式可得118812 (2)S甲(1.701.69)2 (1.651.69)2 (1.67 1.69)2=0.0006(m2),812S乙(1.601.68)2 (1.731.68)2 (1.751.68)2=0.0035(m2),因为s甲2 s乙2,所以甲稳定.81x甲=(1.701.651.67)=1.69(m),x乙=(1.601.731.75)=1.68m.3可能选甲参加，因为甲8 次成绩都跳过 1.65m 而乙有 3 次低于 1.65m;可能选乙参加，因为甲仅3 次超过 1.70m.5