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1、空间角1、异面直线所成角的求法一是几何法，二是向量法。异面直线所成的角的范围：(0,2几何法求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解。基本思路是选择合适的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊位置的点。常见三种平移方法：直接平移：中位线平移尤其是图中出现了中点：补形平移法：“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。例例 1 1 在正方体ABCD ABCD中，E 是 AB 的中点，/1求 BA 与 CC 夹角的度
2、数./2求 BA 与 CB 夹角的度数/ (3)求 A E 与 CB 夹角的余弦值例例 2 2：长方体 ABCDA1B1C1D1中，假设 AB=BC=3，AA1=4，求异面直线 B1D 与 BC1所成角的余弦值。直接平移：直接平移：常见的利用其中一个直线a 和另一个直线 b 上的一个已知点，构成一个平面，在此平面内做直线a 的平行线。解法一：解法一：如图，过 B1点作 BEBC1交 CB 的延长线于 E 点。则DB1E 就是异面直线 DB1与 BC1所成角，连结 DE 交 AB 于 M，DE=2DM=35，cosDB1E=7 34170解法二：解法二：如图，在平面D1DBB1中过 B 点作 B
3、EDB1交 D1B1的延长线于 E，则C1BE 就是异面直线 DB1与 BC1所成的角，连结 C1E，在B1C1E 中，C1B1E=135，C1E=35，cosC1BE=17 34170课堂思考：1.如图，PA矩形 ABCD，已知 PA=AB=8，BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值为。D D1 1 jC C1 1DA A1 1CB B1 1ABD DC CA AB B2.在长方体 ABCD- A1B1C1D1中，假设棱 B B1=BC=1，AB=3，求 D B 和 AC 所成角的余弦值.例例 3 3如下图，长方体A1B1C1D1-ABCD中，ABA1=45,A1AD1=60,求异面
4、直线A1B与AD1所成的角的度数.例 3 题图课堂练习如图空间四边形 ABCD 中，四条棱 AB，BC，CD，DA 及对角线 AC，BD 均相等，E 为 AD 的中点，F 为 BC 中，（1）求直线 AB 和 CE 所成的角的余弦值。（2）求直线 AF 和 CE 所成的角的余弦值。2二、线面角1、线面角的范围：0，2、线面角的求法1解决该类问题的关键是找出斜线在平面上的射影，然后将直线与平面所成的角转化为直线与直线所成的角在某一直角三角形内求解2线面角的求法还可以不用做出平面角可求出线上某点到平面的距离d，利用 sin可求.直接法直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所
5、成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。例例 1 1 如图 1 四面体 ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，SBA=45, SBC=60, M 为 AB 的中点，求1BC 与平面 SAB 所成的角。2SC 与平面 ABC 所成的角。解:1 SCSB,SCSA,C C2dABH HS SMMA AB B图 1SC平面 SAB 故 SB 是斜线 BC 在平面 SAB 上的射影，SBC 是直线 BC 与平面 SAB 所成的角为 60。2 连结 SM,CM，则 SMAB,又SCAB,AB平面 SCM,面 ABC
6、面 SCM过 S 作 SHCM 于 H,则 SH平面 ABCCH 即为 SC 在面 ABC 内的射影。SCH 为SC与平面ABC所成的角。sin SCH=SHSCSC 与平面 ABC 所成的角的正弦值为77 7“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。2.2. 利用公式利用公式sinsin=h=h其中是斜线与平面所成的角， h是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长即斜线上的点到面的距离既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段
7、的长。例例 2 2 如图 2长方体 ABCD-A1B1C1D1 ,AB=3 ,BC=2, A1A= 4，求 AB 与面 AB1C1D 所成的角。解：设点 B 到 AB1C1D 的距离为 h,VBAB1C1=VABB1C113 SAB1C1h= 13 SBB1C1AB，易得 h=125设AB 与 面 A B1C1D 所成的角为,则sin=hAB=453D DA A3 32 2B BC C4 4D D1 1A A1 1H HC C1 1B B1 1图2AB 与面 AB1C1D 所成的角为 arcsin 45例 3、如图甲，在平面四边形ABCD中A45，C90，ADC105，ABBD，再将四边形AB
8、CD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点(1)求证：DC平面ABC；(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值证明：在图甲中，ABBD且A45，ADB45.ABD90，即ABBD.在图乙中，平面ABD平面BDC，且平面ABD平面BDCBD，AB平面BDC.ABCD.又DCB90，DCBC，且ABBCB.DC平面ABC.2)E、F分别为AC、AD的中点，EFCD.又由(1)知DC平面ABC，EF平面ABC，垂足为点E.FBE是BF与平面ABC所成的角在图甲中，ADC105，BDC60，DBC30.设CDa，则BD2a，BC 3a，BF1a2211BD 2a
9、，EFCDa.2222.4在 RtFEB中，sinFBEEFBF2a即BF与平面ABC所成角的正弦值为2.4练习 3 在三棱柱ABCA1B1C1 中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是 ()答案：答案：C CA30B45C60D90练习 4(2011全国卷)如图，四棱锥SABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的正弦值解：(1)证明：取AB的中点E，连接DE，则四边形BCDE为矩形，DECB2.连接SE，则SEAB，SE 3.4又SD
10、1，故EDSESD，所以DSE为直角，即SDSE.由ABDE，ABSE，DESEE，得AB平面SDE，所以ABSD.222SD与两条相交直线AB、SE都垂直，所以SD平面SAB.(2)由AB平面SDE知，平面ABCD平面SDE.作SFDE，垂足为F，则SF平面ABCD，SF作FGBC，垂足为G，则FGDC1.连接SG，则SGBC.又BCFG，SGFGG，故BC平面SFG，平面SBC平面SFG.作FHSG，H为垂足，则FH平面SBC.SDSE3.DE2SFFG321FH，即F到平面SBC的距离为.SG77由于EDBC，所以ED平面SBC，E到平面SBC的距离d也为21.7设AB与平面SBC所成的
11、角为，则 sindEB217课后作业、如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点(1)求PB和平面PAD所成的角的大小；(2)证明AE平面PCD；(3)求二面角APDC的正弦值思维启迪：(1)先找出PB和平面PAD所成的角，线面角的定义要能灵活运用； (2)可以利用线面垂直根据二面角的定义作角(1)解在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，AB平面ABCD，故PAAB.又ABAD，PAADA，从而AB平面PAD，故PB在平面PAD内的射影为PA，从而APB为PB和平面PAD所成的角在 RtPAB中，ABPA，故APB45.所以P
12、B和平面PAD所成的角的大小为 45.(2)证明在四棱锥PABCD中，因PA底面ABCD，CD平面ABCD，5故CDPA.由条件CDAC，PAACA，CD平面PAC.又AE平面PAC，AECD.由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.又PCCDC，综上得AE平面PCD.(3)解过点E作EMPD，垂足为M，连接AM，如下图由(2)知，AE平面PCD，AM在平面PCD内的射影是EM，则AMPD.因此AME是二面角APDC的平面角由已知，可得CAD30.设ACa，可得PAa，AD2 3212a，PDa，AEa.332在 RtADP中，AMPD，AMPDPAAD，则AMPA
13、ADPDa2 3a321a32 7a.7在 RtAEM中，sinAMEAE1414.所以二面角APDC的正弦值为.AM44探究提高(1)求直线与平面所成的角的一般步骤：找直线与平面所成的角，即通过找直线在平面上的射影来完成；计算，要把直线与平面所成的角转化到一个三角形中求解(2)作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角正方体ABCDA1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为()A.23B.332C.3D.63答案D解析如图，连接BD交AC于O，连接D1O，由于BB1DD1，DD1与平面ACD1所成的角就是BB1与平面ACD1所成的角易知DD1O即为所求设正方体的棱长为1，则DD11，DOcos DD1O26，D1O，22DD126.D1O636.3BB1与平面ACD1所成角的余弦值为6