求函数值域的方法大全.pdf

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1、.求函数值域最值的方法大全求函数值域最值的方法大全函数是中学数学的一个重点 ,而函数值域的求解方法更是一个常考点 ,对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现 ,占有一定的地位,因此能熟练掌握其值域 求法就显得十分的重要,求解过程中若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用。本文旨在通过对典型例题的讲解来归纳函数值域的求法,希望对大家有所帮助。一、值域的概念和常见函数的值域一、值域的概念和常见函数的值域函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域.常见函数的值域：一次函数y kxbk 0

2、的值域为 R.4acb2二次函数y ax bxca 0,当a 0时的值域为,当a 0时的值4a24acb2域为,.,4a反比例函数y kk 0的值域为yR y 0.x指数函数y axa 0且a 1的值域为y y 0.对数函数y logaxa 0且a 1的值域为 R.正,余弦函数的值域为1,1,正,余切函数的值域为 R.二、求函数值域最值的常用方法二、求函数值域最值的常用方法1. 1.直直接接观观察察法法适用类型：适用类型：根据函数图象.性质能较容易得出值域的简单函数1的值域x211解：解：x211,0 21显然函数的值域是：0,1x 1例例 1 1、求函数 y =例例 2 2、求函数 y =2

3、x的值域。1 / 16.解：解：x0 x0 2x2故函数的值域是： -,2 2 2 、配方法、配方法适用类型：适用类型：二次函数或可化为二次函数的复合函数的题型。配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。对于形如y ax2bxca 0或Fx afxbfxca 0类的函数的值域问题,均可用配方法求解.2例例 3 3、求函数 y=x2-2x+5,x-1,2的值域。解：解：将函数配方得：y=x-12+4,x-1,2,由二次函数的性质可知：当 x = 1 时,ymin= 4当 x = - 1,时ymax= 8故函数的值域是： 4 ,8 例例 4 4 、求函数的值域：y x26x5解：设 x26x5 0,

4、则原函数可化为：y .又因为 x26x5 x34 4,所以0 4,故,0,2,所以,y x26x5的值域为0,2.3 3 、判别式法、判别式法22适适用用类类型型：分子 .分母中含 有二 次项的 函数类型 ,此函数经 过变形后 可以 化为A(y)x2 B(y)x C(y) 0的形式,再利用判别式加以判断。2x2 x2例例 5 5、求函数的值域y 2x x1解：x2 x1 0恒成立,函数的定义域为 R.2x2 x2由y 2得y2x2y1x y20。x x1当y 2 0即y 2时,3x0 0,x 0R；2 / 16. 当y 2 0即y 2时,xR时,方程y2x2y1x y20恒有实根. y14y2

5、 01 y 5且y 2.原函数的值域为1,5.22例例 6 6、求函数 y=x+x(2 x)的值域。解：解：两边平方整理得：2x2-2y+1x+y2=01xR,=4y+12-8y0解得：1-2y1+2但此时的函数的定义域由 x2-x0,得：0 x2。由0,仅保证关于 x 的方程：2x2-2y+1x+y2=0 在实数集 R 有实根,而不能确保其实根在区间0,2上,即不能确保方程1 有实根,由0 求出的范围可能比 y 的实际1 3范围大,故不能确定此函数的值域为,。可以采取如下方法进一步确定原函数的2 2值域。0 x2,y=x+x(2 x)0,22 24222 242x1=y=0,y=1+2代入方

6、程0,2,即当x1=1,解得：min22时,原函数的值域为：0,1+2。注：由判别式法来判断函数的值域时,若原函数的定义域不是实数集时,应综合函数的定义域,将扩大的部分剔除。4 4、反函数法、反函数法适用类型：适用类型：分子.分母只含有一次项的函数,也可用于其它易反解出自变量的函数类型。例例 7 7、求函数y 2x的值域。x 1分析与解：分析与解：由于本题中分子、分母均只含有自变量的一次型,易反解出 x,从而便于求出反函数。y y2xx反解得x 即y 2 yx 12 x3 / 16.知识回顾：知识回顾：反函数的定义域即是原函数的值域。故函数的值域为：y(,2)(2,)。5 5 、函数有界性法、

7、函数有界性法直接求函数的值域困难时 ,可以利用已学过函数的有界性 ,反客为主来确定函数的值域。适用类型：适用类型：一般用于三角函数型,即利用sin x1,1,cos x1,1等。ex1例例 8 8、求函数 y =x的值域。e 1解：解：由原函数式可得：ex=y 10y 1y 1y 1ex0,解得：- 1y1。故所求函数的值域为 .例例 9 9、求函数 y =cosx的值域。sin x 3解：解：由原函数式可得：ysinx-cosx=3y可化为：y21sinxx+=3y即 sinxx+=3yy 12xR,sinxx+-1,1。即-13yy 121解得：-2222y故函数的值域为-,。44446

8、6 、函数单调性法、函数单调性法适用类型：适用类型：一般能用于求复合函数的值域或最值。 原理：同增异减例例 1010、求函数y log1(4x x2)的值域。2分析与解：分析与解：由于函数本身是由一个对数函数外层函数和二次函数内层函数复合而4 / 16.（0,4)由成,故可令：f (x) x2 4x( f (x) 0)配方得：f (x) (x 2)2 4所以f (x)复合函数的单调性同增异减知：y2,)。例例 1111、求函数 y =解：解：令 y1=2x52x5log3x 12x10 的值域,y2=log3x 1,则 y1,y2在 2, 10 上都是增函数。所以 y=y1+y2在 2 ,10

9、 上是增函数。当 x = 2 时,ymin=23+log3121=,83当 x = 10 时,ymax=25+log9=33。1故所求函数的值域为：,33。8例例 1212、求函数 y=x 1-x 1的值域。解：解：原函数可化为：y=2x 1x 1令 y1=x 1,y2=x 1,显然 y1,y2在1,+上为无上界的增函数,所以 y=y1+y2在1,+上也为无上界的增函数。所以当 x = 1 时,y=y1+y2有最小值2,原函数有最大值显然 y0,故原函数的值域为 0 ,7 7、换元法、换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型。换元法是数学方法

10、中几种最主要方法之一 ,在求函数的值域中同样发挥作用。适用类型适用类型: :无理函数、三角函数用三角代换等。例例 1313、求函数 y = x +x 1的值域。22=2。2。解：解：令 x-1=t,t0 则 x=t2+15 / 16.13y=t2+t+1=(t )2+,又 t0,由二次函数的性质可知24当 t=0 时,ymin= 1,当 t 0 时,y +。故函数的值域为 1 ,+。例例 1414、求函数 y =x+2+1(x 1)2的值域解：解：因 1-(x 1)20 ,即(x 1)21故可令 x+1=cos, 0 , 。y=cos+1+1cos2B=sin+cos+1 =2sin+/ 4

11、+10,0 +/45/4-2sin+/4120 2sin+/4+11+2。故所求函数的值域为0,1+2。x3 x例例 1515、求函数 y=4的值域2x 2x 11 x22x1解：解：原函数可变形为：y=-21 x21 x21 x22x可令 x=tg,则有=sin2,=cos21 x21 x211sin2cos2= -sin4241当 = k/2-/8 时,ymax=。41当 = k/2+/8 时,ymin= -4y=-而此时 tg 有意义。1 1故所求函数的值域为-, 。4 4例例 1616、求函数 y=sinx+1cosx+1,x-/12/2的值域。解：解：y=sinx+1cosx+1=s

12、inxcosx+sinx+cosx+16 / 16.1令 sinx+cosx=t,则 sinxcosx=t2-1211(t 1)2y =t2-1+t+1=22由 t=sinx+cosx=2sinx+/4 且 x- /12,/2可得：2t222233+2,当 t=时,y=+2242当 t=2时,ymax=233故所求函数的值域为+,+2 。242例例 1717、求函数 y=x+4+5 x2的值域解：解：由 5-x0 ,可得x5故可令 x =5cos,0,y=5cos+4+5sin=10sin+/4+ 4 0 ,/4+/45/4当 =/4 时,ymax=4+10,当 =时,ymin=4-5。故所求

13、函数的值域为：4-5,4+10。8 8 数形结合法数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。适用类型适用类型: :函数本身可和其几何意义相联系的函数类型.例例 1818、求函数 y=(x2)2+(x8)2的值域。解：解：原函数可化简得：y=x-2+x+87 / 16.上式可以看成数轴上点 Px 到定点 A2 ,B- 8 间的距离之和。由上图可知：当点 P 在线段 AB 上时,y=x-2+x+8=AB=10当点 P 在线段 AB 的延长线或反向延长线上时,y=x-2+x+8AB=10故所求函数的

14、值域为：10,+例例 1919、求函数 y=x26x 13+x22 4x 5的值域2解：解：原函数可变形为：y=(x3)(02)+(x2)2(01)2上式可看成 x 轴上的点 Px,0 到两定点 A3,2,B-2 ,-1 的距离之和,由图可知当点 P 为线段与 x 轴的交点时,ymin=AB=故所求函数的值域为43,+。例例 2020、求函数 y=(32)(21)22=43,x26x 13-x2 4x 5的值域2解：解：将函数变形为：y=(x3)2(02)-(x2)2(01)2上式可看成定点 A3,2 到点 Px,0 的距离与定点 B-2,1 到点 Px,0 的距离之差。即：y=AP-BP由图

15、可知：1 当点 P 在 x 轴上且不是直线 AB 与 x 轴的交点时,如点 P,则构成ABP,根据三角形两边之差小于第三边,有AP-BPAB=即：-26y262 当点 P 恰好为直线 AB 与 x 轴的交点时,有AP-BP= AB=26。综上所述,可知函数的值域为： -26,-26。注：由例 17,18 可知,求两距离之和时,要将函数式变形,使A,B两点在x 轴的两侧,而求两距离之差时,则要使两点A ,B在x轴的同侧。如：例 17 的 A,B 两点坐标分别为： 3 ,2 ,- 2 ,- 1 ,在 x 轴的同侧；例 18 的 A,B 两点坐标分别为： 3 ,2 ,2 ,- 1 ,在 x 轴的同侧

16、。8 / 16(32)(21)22=26.例例 2121、求函数y 3sin x的值域.2cosxBx分析与解:看到该函数的形式,我们可联想到直线中已知两点求直线的斜率的公式k y2 y1,将原函数视为定点到动点(cos x,sin x)的斜率,又知动点(cos x,sin x)x2 x1满足单位圆的方程,从而问题就转化为求点 2,3 到单位圆连线的斜率问题,作出图形观察 易 得 的 最 值 在 直 线 和 圆 上 点 的 连 线 和 圆 相 切 时 取 得 , 从 而 解得:y6 2 3 6 2 3,339 9、不等式法、不等式法适适 用用 类类 型型 ： 能 利 用 几 个 重 要 不 等

17、 式 及 推 论 来 求 得 最 值 。 如 ：a2 b2 2ab,a b 2 ab其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。例例 2222、求函 y=sinx +1/sinx+cosx+1/cosx 的值域解：解：原函数变形为：y=sinx+cosx+1/sinx+1/cosx= 1+cscx+secx= 3+tgx+ctgx2222222233tgxctgx+2=5当且仅当 tgx=ctgx,即当 x=k/4 时kz,等号成立。故原函数的值域为： 5,+。例例 2323、求函数 y=2sinxsin2x 的值域解：解：y=2

18、sinxsinxcosx=4sinxcosx222y2=16sinxcosx22242=8sinxsinx2-2sinx8sinx+sinx+2-sinx2229 / 16.=8sinx+sinx+2-sinx/3=64272222223当且当sinx=2-2sinx,即当sinx=时,等号成立。由y28 38 364,可得：-y99278 38 3,。99故原函数的值域为：-4的最值,并指出f (x)取最值时x的值。2x44分析与解：分析与解： 因为f (x) 8x 2 4x 4x 2可利用不等式a b c 33abc即：xx例例 2424、当x 0时,求函数f (x) 8x f (x) 3

19、34x4x44所以当且仅当即x 1时取=当x 1时f (x)f (x) 124x 22xx取得最小值 12。x2y2y2x2例例 2525、双曲线221的离心率为e1,双曲线221的离心率为e2,则e1e2的abba最小值是。A2 2B4C2D2分析与解：分析与解：根据双曲线的离心率公式易得：e1 e2a2b2a2b2,我们知道aba2b2当且仅当x y 2 xy所以e1e2 2aba2b2aa2b2时取=而ba2 b2 2ab故e1 e2 2 2当且仅当a b时取=所以(e1 e2)min 2 2。1010、导数法、导数法设函数fx在a,b上连续,在a,b上可导,则fx在a,b上的最大值和最

20、小值为fx在a,b内的各极值与fa,fb中的最大值与最小值。要求三次及三次以上的函数的最值,以及利用其他方法很难求的函数似的最值,通常都用该方法。导数法往往就是最简便的方法,应该引起足够重视。10 / 16.例例 2626、求函数fx x33x26x2,x1,1的最大值和最小值。解:f x3x26x6,令f x0,方程无解.f x3x26x6 3x13 0函数fx在x1,1上是增函数.2故当x 1时,fminx f1 12,当x 1时,fmaxx f1 2例例 2727、求函数f (x) 1的最值.2x 2x 2解析: :函数f (x)是定义在一个开区间， 上的可导函数,令f (x) 2x 2

21、 02(x 2x 2)得f (x)的唯一驻点x 1即为最点.x 1时,f (x) 0,函数递增,x 1时,f (x) 0,函数递减,故f (x)有最大值f (1) 1. 说明说明 本函数是二次函数的复合函数,用配方法求最值也很简便.f (x) 11,等号成立条件是x 1.2(x1) 1注：最值寻根的导数判定若定义在一个开区间上的函数y f (x)有导函数f (x) g(x)存在,那么f (x)是否有最值的问题可转化为f (x)的导函数g(x)是否有最根的问题来研究：1 若导函数g(x)无根,即g(x) 0,则f (x)无最值；2 若导函数g(x)有唯一的根x0,即f (x0) 0,则f (x)

22、有最值f (x0).此时,导函数f (x)的根x0即是函数f (x)最根x0.3 若导函数g(x)有多个的根,则应从多个驻点中依次判定极点、最点的存在性.1111、多种方法综合运用、多种方法综合运用11 / 16.例例 2828、求函数 y=x 2的值域x 3解：解：令 t=x 2t0,则 x+3=t2+11 当 t0 时,y=所以 0y1。211,当且仅当 t=1,即 x=-1 时取等号2t1t 1/t2t=12 当 t=0 时,y=0。综上所述,函数的值域为：0,。2注：先换元,后用不等式法。例例 2929、求函数 y=1 x 2xxx1 2xx424234的值域。解：解：y=1 2xx1

23、 2xx22+4x x231 2xx=(41x+x)12x1x222令 x=tg1x=2,x=1sin,则()cos12222x221xy=cos+=-(sin2112sin=-sin+sin+12217161)42+117当 sin=时,ymax=。当 sin=-1 时,ymin=-2。416此时 tg17都存在,故函数的值域为： 2, 。216注：此题先用换元法。后用配方法,然后再运用 sin的有界性。总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特殊方法。学生巩固练习学生巩固练习1

24、 函数 y=x2+11的值域是x212 / 16.332773A,B,+)C,+)D,3224422 函数 y=x+12x的值域是A,1B,1CRD1,+)3 一批货物随 17 列货车从 A 市以 V 千米/小时匀速直达 B 市,已知两地铁路线长400千米,为了安全,两列货车间距离不得小于最快需要_小时4 设 x1、 x2为方程 4x24mx+m+2=0 的两个实根,当 m=_时,x12+x22有最小值_5 某企业生产一种产品时,固定成本为 5000 元,而每生产 100 台产品时直接消耗成本要增加2500元,市场对此商品年需求量为500台,销售的收入函数为R=5xx2,其中 x 是产品售出的

25、数量把利润表示为年产量的函数；年产量多少时,企业所得的利润最大？年产量多少时,企业才不亏本？6 已知函数 f=lgx2+x+1若 f的定义域为,求实数 a 的取值范围；若 f的值域为,求实数 a 的取值范围7某家电生产企业根据市场调查分析,决定调整产品生产方案,准备每周生产空调器、彩电、冰箱共 360 台,且冰箱至少生产 60 台已知生产家电产品每台所需工时和每台产值如下表家电名称工时产值空调器彩电冰箱12131412V2 千米,那么这批物资全部运到B市,20432问每周应生产空调器、 彩电、 冰箱各多少台,才能使产值最高？最高产值是多少？8在RtABC中,C=90,以斜边AB所在直线为轴将A

26、BC旋转一周生成两个圆13 / 16.锥,设这两个圆锥的侧面积之积为 S1,ABC 的内切圆面积为 S2,记求函数 f=S1的解析式并求 f的定义域S2BC CA=xAB求函数 f的最小值参考答案1 解析m1=x2在,上是减函数,m2=在,上是减函数,y=x2+在 x上为减函数,y=x2+答案 B1t22 解析令12x=t,则 x=21t21y=+t=2+1122121x121x12117的值域为,+)x24值域为,1答案 A3 解析 t=答案 8m2,4m2117x12+x22=22x1x2=m2=2,2416400V240016V+16 /V=+216=8VV204004 解析由韦达定理知

27、 x1+x2=m,x1x2=又 x1,x2为实根, 0m1 或 m2,y=2141417在区间,1 上是减函数,在 2,+)上是增函数,又抛物线 y 开16口向上且以 m=为对称轴故 m=1 时,ymin=答案15 解1 利润 y 是指生产数量 x 的产品售出后的总收入 R与其总成本 C之差,由题意,当 x5 时,产品能全部售出,当 x5 时,只能销售 500 台,所以121214 / 16.12125x x (0.50.25x)(0 x 5)4.75x x 0.5(0 x 5)2y=21(5552)(0.50.25x)(x 5)120.25x(x 1)21b2 在 0 x5 时,y=x2+4

28、75x05,当 x=475百台时,ymax=10781255百台时,y120255=1075万元,所以当生产 475 台时,利润最大0 x 5x 5或3 要使企业不亏本,即要求12x 4.75x 0.5 0120.25x 02解得 5x47521.562501百台或 5x48百台时,即企业年产量在 10 台到4800 台之间时,企业不亏本6 解1 依题意a21x2+x+10 对一切 xR R 恒成立,当 a210 时,其充要条a 1或a 12a 1 0,即件是,522a 或a 1 (a 1) 4(a 1) 03a1 或 a又 a=1 时,f=0 满足题意,a=1 时不合题意故 a1 或 a为所

29、求2 依题意只要 t=x2+x+1 能取到0,+上的任何值,则 f的值域为a21 05R R,故有,解得 1a,又当 a21=0 即 a=1 时,t=2x+1 符合题意而 a=1 时不3 05353合题意,1a为所求7 解设每周生产空调器、彩电、冰箱分别为 x 台、y 台、z 台,由题意得x+y+z=360111x y z 12023453x0,y0,z60假定每周总产值为 S 千元,则 S=4x+3y+2z,在限制条件之下,为求目标函数 S的最大值,由消去 z,得15 / 16.y=3603x将代入得 x+z=360,z=2xz60,x30再将代入 S 中,得 S=4x+3+22x,即 S=

30、x+1080由条件及上式知,当 x=30 时,产值 S 最大,最大值为S=30+1080=1050千元得 x=30 分别代入和得 y=36090=270,z=230=60每周应生产空调器 30 台,彩电 270 台,冰箱 60 台,才能使产值最大,最大产值为1050 千元8 解1 如图所示设 BC=a,CA=b,AB=c,则斜边 AB 上的高 h=S1=ah+bh=f=abc(a b),S2(a bc2) ,2C Cb bab,cS14ab(a b)S2c(a bc)2a ba b cx x又cc22ab (x 1)a2b2 c22a aA Ac cB B2(x2 x)代入消 c,得 f=x 1在 RtABC 中,有 a=csinA,b=ccosA0Ax=),则2ab=sinA+cosA=2sin1x2c42(x2 x)2f= 2(x 1)+6,x 1x 12设 t=x1,则 t,y=2+6t在0,21上是减函数,当 x=+1=2时,f的最小值为 62+816 / 16