2022年数学:第一章《计数原理》测试2 .pdf

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1、1 第一章计数原理单元测试题时间 :120 分钟 , 满分 150 分本套题难度适中 , 主要考查学生的基本知识、基本方法、基本能力, 如 19 题和 13 题都是这一部分的基本题目类型 , 对排列、组合和二项式定理的基本知识考查比较全面, 且在考查基本知识的同时, 也注重学生数学思想的考查 , 如 10、12、18 题考查了学生分类讨论的思想方法,11,14,17,21,22考查了学生转化与化归的思想方法 , 这些题目需要大家有较高的分析能力和运算能力, 以及综合应用能力. 一、选择题(本大题共12 小题,每 小题 5 分,共 60 分)15 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中

2、的一个小组,则不同的报名方法共有()A10 种B20 种 C25 种 D 32 种2甲、乙、丙3 位同学选修课程,从4 门课程中,甲选修2 门,乙、丙各选修3 门,则不同的选修方案共有A36 种 B48 种 C96 种 D 192 种3. 记者要为5 名志愿者和他们帮助的2 位老人拍照,要求排成一排,2 位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有()A1440 种 B 960种 C 720 种 D 480 种4. 某城市的汽车牌照号码由2 个英文字母后接4 个数字组成,其中4 个数字互不相同的牌照号码共有()2142610CA个242610A A个2142610C个242610A个5. 从 5 位

3、同学中选派4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2 人参加,星期六、星期日各有1 人参加,则不同的选派方法共有A 40 种 B 60 种 C 100种 D 120种6. 由数字 0,1,2,3,4,5 可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有( ) A.72 B.60 C.48 D.52 7. 用 0,1,2,3,4 组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340 应是第()个数 . A.6 B.9 C.10 D.8 8.AB 和 CD为平面内两条相交直线,AB上有 m个点, CD上有 n 个点,且两直线上各有一个与交点重合,则

4、以这m+n-1 个点为顶点的三角形的个数是( ) A.2121mnnmCCCC B. 21121mnnmCCCC C. 21211mnnmCCCC D.2111211mnnmCCCC9. 设10102210102xaxaxaax, 则292121020aaaaaa的值为 ( ) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页2 A.0 B.-1 C.1 D.10. 2006年世界杯参赛球队共32 支, 现分成 8 个小组进行单循环赛, 决出 16 强( 各组的前 2名小组出线 ), 这 16 个队按照确定的程序进行淘汰赛, 决出

5、 8 强, 再决出 4 强 ,直到决出冠、 亚军和第三名、第四名,则比赛进行的总场数为( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11. 用二项式定理计算9.985,精确到1 的近似值为 ( )A.99000 B.99002 C.99004 D.99005 12. 从不同号码的五双靴中任取4 只,其中恰好有一双的取法种数为()A.1 20 B.240 C.360 D.72 二、填空题(本大题共4 小题,每小题4 分,共 16 分)13. 今有 2 个红球、 3 个黄球、 4 个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列有种不同的方法(用数字作答). 14. 用数字 0, 1, 2, 3,

6、4 组成没有重复数字的五位数,则其中数字1, 2 相邻的偶数有个(用数字作答)15. 若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n等于 . 16. 从班委会 5 名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_种。 (用数字作答)三、解答题(本大题共6 小题,共74 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)17如图,电路中共有7 个电阻与一个电灯A,若灯A不亮,分析因电阻断路的可能性共有多少种情况。18从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:能组成多少个没有重复数字的七位数?上述七位数中三个偶数排在

7、一起的有几个?在中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个?在中任意两偶然都不相邻的七位数有几个?ARRRRRRR精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页3 19把 1、2、3、4、5 这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列 . (1)43251 是这个数列的第几项?(2)这个数列的第96 项是多少?(3)求这个数列的各项和. 20. (本小题满分12 分)求证:能被 25 整除。21. (本小题满分14 分)已知naa33的展开式的各项系数之和等于53514bb展开式中的常数项,

8、求naa33展开式中含的项的二项式系数. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页4 22. (本小题满分14 分)若某一等差数列的首项为223112115nnnnPC, 公差为mxx325225展开式中的常数项,其中 m是157777除以 19 的余数,则此数列前多少项的和最大?并求出这个最大值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页5 单元测试卷参考答案一、选择题:(每题5 分,共 60 分)1、D 解析: 5 位同学报名参加两个课外活动小组

9、,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报名方法共有25=32种,选 D 2、C 解析甲、乙、丙3 位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2 门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有23344496CCC种,选 C 3、解析: 5 名志愿者先排成一排,有55A种方法, 2 位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有552 4 A=960 种不同的排法,选B 4、A 解析:某城市的汽车牌照号码由2 个英文字母后接4 个数字组成, 其中 4 个数字互不相同的牌照号码共有2142610CA个,选 A 5、B解析:从5 位同学中选派4 位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天, 要求星

10、期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同的选派方法共有225360C A种,选 B 6、B 解析 : 只考虑奇偶相间, 则有33332AA种不同的排法, 其中 0 在首位的有3322AA种不符合题意 , 所以共有33332AA603322AA种. 7、C 解析 : 比 12340 小的分三类 : 第一类是千位比2 小为 0, 有633A个; 第二类是千位为 2 , 百位比 3 小为 0, 有222A个; 第三类是十位比4 小为 0, 有 1 个. 共有 6+2+1=9 个, 所以 12340 是第 10 个数 . 8、D 解析 : 在一条线上取2 个点时 , 另一个点一定在另一条直线

11、上, 且不能是交点. 9、C 解析 : 由10102210102xaxaxaax可得 : 当1x时, 101022101011112aaaa10210aaaa当1x时, 1032101012aaaaa10210aaaa292121020aaaaaa10210aaaa103210aaaaa112121212101010. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页6 10、A 解析 : 先进行单循环赛, 有48824C场, 在进行第一轮淘汰赛,16 个队打 8 场,在决出4 强, 打 4 场, 再分别举行2 场决出胜负 ,两胜

12、者打1 场决出冠、亚军, 两负者打1 场决出三、四名 , 共举行 :48+8+4+2+1+1=64 场. 11、 C 解析 :559.98100.022514235510100.02100.02CC323502.010C9900406.04101035. 12、 A 解析 : 先取出一双有15C种取法 , 再从剩下的4 双鞋中取出2 双, 而后从每双中各取一只 , 有121224CCC种不同的取法 , 共有15C120121224CCC种不同的取法 . 二、填空题 ( 每小题 4 分,共 16 分)13、 1260 解析:由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有4239531

13、260CCC14、24 解析:可以分情况讨论:若末位数字为0,则 1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为 1 个数字,共可以组成33212A个五位数;若末位数字为2,则 1 与它相邻,其余 3 个数字排列, 且 0 不是首位数字, 则有2224A个五位数; 若末位数字为4,则 1, 2, 为一组,且可以交换位置, 3, 0, 各为 1 个数字,且 0不是首位数字, 则有222 (2)A=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24 个15、7 解析:若(2x3+x1)n的展开式中含有常数项,311(2)()n rn rrrnTCxx为常数项,即732rn=0,当n=7,r=6 时成立,最小的

14、正整数n等于 7. 16、 36 种解析从班委会5 名成员中选出3 名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员, 其中甲、 乙二人不能担任文娱委员,先从其余3 人中选出1 人担任文娱委员,再从 4 人中选 2 人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有123434336CA种三、解答题(共六个小题,满分74 分)17. 解:每个电阻都有断路与通路两种状态,图中从上到下的三条支线路,分别记为支线a、b、c,支线 a,b 中至少有一个电阻断路情况都有221=3 种;4 分支线 c 中至少有一个电阻断路的情况有221=7 种,6 分每条支线至少有一个电阻断路,灯A就不亮,因此灯 A不亮的情况共有 3

15、37=63 种情况 . 10 分18. 解:分步完成:第一步在4 个偶数中取3 个,可有34C种情况;精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页7 第二步在5 个奇数中取4 个,可有45C种情况;第三步 3 个偶数, 4 个奇数进行排列,可有77A种情况,所以符合题意的七位数有34C45C10080077A个 3 分上述七位数中,三个偶数排在一起的有个34C14400335545AAC 6 分上述七位数中,3 个偶数排在一起,4 个奇数也排在一起的有34C57602224335545AAACC个9 分上述七位数中,偶数都不相

16、邻,可先把4 个奇数排好,再将3 个偶数分别插入5个空档,共有28800353445ACA个.12 分19. 解:先考虑大于43251 的数,分为以下三类第一类:以5 打头的有:44A =24 第二类:以45 打头的有:33A =6 第三类:以435 打头的有:22A =2 2 分故不大于43251 的五位数有:8822334455AAAA(个)即 43251 是第 88 项. 4 分数列共有A=120 项, 96 项以后还有120-96=24 项,即比 96 项所表示的五位数大的五位数有24 个,所以小于以5 打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96 项. 即为 45321. 8 分因为1

17、, 2, 3, 4, 5 各在万位上时都有A 个五位数,所以万位上数字的和为:(1+2+3+4+5) A1000010 分同理它们在千位、十位、个位上也都有A个五位数,所以这个数列各项和为:(1+2+3+4+5) A (1+10+100+1000+10000)=152411111=3999960 12 分20. 证明 : 因45322nnn4564nn45154nn 3 分45155555.41222211nCCCCnnnnnnnnn8 分nCCCnnnnnnn255555.422221110 分显然2222115555nnnnnnnCCC能被 25 整除 ,25n 能被 25 整除 , 所以

18、45322nnn能被 25 整除 . 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页8 21. 设53514bb的展开式的通项为rrrrbbCT51453515,4,3, 2, 1 ,0,451651055rbCrrrr. 6 分若它为常数项 , 则2,06510rr, 代入上式732T. 即常数项是27,从而可得naa33中 n=7,10 分同理733aa由二项展开式的通项公式知,含的项是第 4 项,其二项式系数是35. 14 分22. 由已知得:nnnn311225211, 又2,nNn, 2 分2531025710

19、223112115PCPCPCnnnn10045238910所以首项1001a. 4 分15176157777771517676761777617777CCNMM,1476, 所以157777除以 19 的余数是5, 即5m 6 分mxx325225的展开式的通项rrrrxxCT3255152255,4, 3,2, 1 , 0,251535255rxCrrrr, 若它为常数项 , 则3,0535rr, 代入上式dT44. 从而等差数列的通项公式是:nan4104,10 分设其前 k 项之和最大,则01410404104kn,解得 k=25 或 k=26,故此数列的前25项之和与前26项之和相等且最大,13002522541041002625SS. 14 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页

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