《2022年高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学数列题型之等差数列与等比数列综合题 .pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师精编欢迎下载等差数列与等比数列综合题例 已知等差数列na满足：37a，5726aa，na的前n项和为nS（）求na及nS；（）令bn=211na(nN*) ，求数列nb的前n项和nT【解析】（）设等差数列na的公差为d，因为37a，5726aa，所以有112721026adad，解得13,2ad，所以321)=2n+1nan（；nS=n(n-1)3n+22=2n +2n。（）由（）知2n+1na，所以bn=211na=21=2n+1)1（114 n(n+1)=111(-)4nn+1，所以nT=111111(1-+-)4223nn+1=11(1-)=4n+1n4(n+1)，即数列nb的前n项
2、和nT=n4(n+1)。【命题意图】 本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。例 设nS为数列na的前n项和，2nSknn，*nN，其中k是常数（ I ） 求1a及na；（ II ）若对于任意的*mN，ma，2ma，4ma成等比数列，求k的值解（）当1, 111kSan，12)1()1(,2221kknnnknknSSannnn（）经验，, 1n（）式成立，12kknan（）mmmaaa42,成等比数列，mmmaaa422.，即)18)(12()14(2kkmkkmkkm，整理得：0) 1(kmk，对任意的Nm成立，10kk或
3、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页名师精编欢迎下载例 等比数列 na的前 n 项和为ns，已知1S,3S,2S成等差数列（1）求 na 的公比 q；（2）求1a3a3，求ns解：（）依题意有)(2)(2111111qaqaaqaaa由于01a，故022qq又0q，从而21q 5分（）由已知可得321211）（aa故41a从而）（）（）（nnn211382112114S 10分例 已知数列na满足，*11212,2nnnaaaaanN 2. 令1nnnbaa，证明：nb是等比数列； ( ) 求na的通项公式。（1）证
4、1211,baa当2n时，1111,11()222nnnnnnnnnaabaaaaab所以nb是以 1 为首项，12为公比的等比数列。（2）解由（ 1）知111(),2nnnnbaa当2n时，121321()()()nnnaaaaaaaa2111 1()()22n111()2111 ()2n22111()32n1521(),332n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页名师精编欢迎下载当1n时，1 11521()1332a。所以1*521()()332nnanN。例 设数列na的前n项和为nS，已知21nnnbabS（
5、）证明：当2b时，12nnan是等比数列；（）求na的通项公式解由题意知12a，且21nnnbabS11121nnnbabS两式相减得1121nnnnb aaba即12nnnaba（）当2b时，由知122nnnaa于是11 22212nnnnnanan122nnan又111 210na，所以12nnan是首项为1，公比为2 的等比数列。（）当2b时，由（）知1122nnnan，即11 2nnan当2b时，由由得1111122222nnnnnababb22nnbbab122nnb ab因此11112222nnnnab abb2 12nbbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
6、纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页名师精编欢迎下载得121122222nnnnab bnb例 在数列na中，11111,(1)2nnnnaaan, （I ）设nnabn，求数列nb的通项公式 ; （II ）求数列na的前n项和nS解：（ I ）由已知有1112nnnaann112nnnbb利用累差迭加即可求出数列nb的通项公式 : 1122nnb(*nN) （II ）由（ I ）知122nnnan, nS=11(2)2nkkkk111(2 )2nnkkkkk而1(2 )(1)nkkn n, 又112nkkk是一个典型的错位相减法模型，易得1112422nknkknnS=
7、(1)n n1242nn例 已知数列na的前 n项和为nS，11a，且3231nnSa（ n 为正整数）（）求出数列na的通项公式；（）若对任意正整数n ，nSk恒成立，求实数k的最大值 . 解：（）3231nnSa， 当2n时，3231nnSa. 由 - ，得02331nnnaaa. 311nnaa)2(n. 又11a，32312aa，解得312a. 数列na是首项为1，公比为31q的等比数列 . 11131nnnqaa（ n 为正整数）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页名师精编欢迎下载（）由（）知nnS)31(
8、123由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有nk31123，. 数列n311单调递增，当1n时，数列中的最小项为32，必有1k，即实数k的最大值为1例 各项均为正数的数列na中，nSa,11是数列na的前n项和，对任意Nn，有)(222RpppapaSnnn；求常数p的值；求数列na的通项公式；记nnnnSb234，求数列nb的前n项和T。解：（ 1）由11a及)(222NnppapaSnnn，得：ppp221p（2）由1222nnnaaS得1221211nnnaaS由，得)()(2212211nnnnnaaaaa即：0)()(2111nnnnnnaaaaaa0)122)(11nnnnaaaa
9、由于数列na各项均为正数，1221nnaa即211nnaa数列na是首项为1，公差为21的等差数列，数列na的通项公式是2121)1(1nnan（3）由21nan，得：4)3(nnSnnnnnnnSb2234nnnT223222132精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页名师精编欢迎下载13222)1(2222nnnnnT22)1(221)21 (22222211132nnnnnnnnnT1(1) 22nnTn例 在数列).,2(322, 311Nnnaaaannnn且中，（1）的值；求32,aa（2）设是等差数列；证
10、明：nnnnbNnab),(23（3）求数列.nnSna项和的前解（ 1）), 2(322, 311Nnnaaannn且1322212aa.13322323aa（2）对于任意,Nn3221232311111nnnnnnnnnaaaabb =13322111nn，数列nb是首项为0233231a，公差为1 的等差数列 . （3）由（ 2）得，, 1)1(023nann).(32)1(Nnnann321)322()321(332nnnS，即.321232221432nnSnn设,21232221432nnnT则,2123222121543nnnT精选学习资料 - - - - - - - - - 名
11、师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页名师精编欢迎下载两式相减得，1432212222nnnnT,2)1(21)21(411nnn整理得，,2)2(41nnnT从而).(32)2(41NnnnSnn例 已知数列na的首项211a，前 n 项和nnanS2. （）求证：nnanna21; （）记nnSbln，nT为nb的前 n 项和，求nenT的值 . 解：（ 1）由nnanS2，得121)1(nnanS，- 得：nnanna21. （ 2）由nnanna21求得)1(1nnan. 12nnanSnn，) 1ln(lnlnnnSbnn(ln1ln 2)(ln 2ln 3)
12、(ln 3ln 4)(lnln(1)ln(1)nTnnn1)1ln(nenenTn. 例 等比数列 na的前 n 项和为ns，已知1S,3S,2S成等差数列（1）求 na 的公比 q；（2）求1a3a3，求ns解：（）依题意有)(2)(2111111qaqaaqaaa由于01a，故022qq又0q，从而21q（）由已知可得321211）（aa故41a精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页名师精编欢迎下载从而）（）（）（nnn211382112114S例 已知 na是公比为q 的等比数列，且12,mmmaaa成等差数列
13、. （1）求 q的值；（2）设数列na的前n项和为nS，试判断12,mmmSSS是否成等差数列？说明理由. 解：（ 1）依题意，得2am+2 = am+1 + am 2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比数列 an中， a1 0，q0， 2q2 = q +1 ，解得 q = 1 或21. （2）若 q = 1， Sm + Sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，Sm + 2 = (m+2) a1 a10， 2Sm+2S m + Sm+1若 q =21， Sm + 1 =m2m)21(6132)21(1)21(1Sm + Sm+1 = )21(1)21(1)
14、21(1)21(11mm)21()21(32341mm=m)21(31342 Sm+2 = S m + Sm+1 故当 q = 1 时， Sm , Sm+2 , Sm+1不成等差数列；当 q =21时， Sm , Sm+2 , Sm+1成等差数列 . 例 6 已知数列 na中，0122,3,6aaa，且对3n时有123(4)4(48)nnnnananana精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页名师精编欢迎下载（）设数列nb满足1,nnnbananN ，证明数列12nnbb为等比数列，并求数列 nb的通项公式；（）记(1
15、)2 1!nnn ，求数列 nna的前n项和nS（）证明：由条件，得112234(1)4(2)nnnnnnanaanaana，则1112(1)44(1)nnnnnnanaanaana即111244.1,0nnnbbbbb又，所以1122(2)nnnnbbbb，21220bb所以12nnbb是首项为2，公比为2 的等比数列2122bb，所以112122(2 )2nnnnbbbb两边同除以12n，可得111222nnnnbb于是2nnb为以12首项，12为公差的等差数列所以11(1),2 (1)2222nnnnbbnnb得（）111122(2)nnnnnnanann a，令2nnnca，则1nnc
16、nc而111(1)2 1(1)2 1nccn ncn n，(1)2 12nnan n(1)2 12(1)!2nnnnan nnnnnn，2(2!1!)(3!2!)(1)!(1 2222 )nnSnnn令Tn212222nn，则 2Tn2311222(1)22nnnn ，得Tn212222nnn，Tn1(1)22nn1(1)!(1)21nnSnn例 7 已知数列na满足115a，且当1n，*n时，有112112nnnnaaaa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页名师精编欢迎下载(1) 求证：数列1na为等差数列；(2)
17、 试问12a a是否为数列na中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由.证明：（ 1） 由112112nnnnaaaa得111221nnnnaaaa即114nnnnaaa a上式两边同时除以1nna a得11141nnnaa又115a，1na是首项为5，公差为4 的等差数列（2）又（ 1）知1541nna，即141nan219a，12145a a令114145nan， 解得11n所以12a a是数列na的第 11 项例 8 设数列,nnab满足111,0ab且1123,1,2,3,2,nnnnnnaabnbab（）求的值，使得数列nnab为等比数列；（）求数列na和nb的通项公式；（）令
18、数列na和nb的前n项和分别为nS和nS，求极限limnnnSS的值（）令nnncab，其中为常数，若nc为等比数列，则存在0q使得111()nnnnncabq ab又1123(2)nnnnnnababab(2)(32 )nnab所以()(2)(32 )nnnnq abab由此得(2)(32)0,1,2,3,nnq aq bn由111,0ab及已知递推式可求得222,1ab，把它们代入上式后得方程组精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页名师精编欢迎下载20,320qq消去q解得3下面验证当3时，数列3nnab为等比数
19、列113(23)(32 3)(23)(3)nnnnnnababab(1, 2 , 3 ,n，11310ab，从而3nnab是公比为23的等比数列同理可知3nnab是公比为23的等比数列，于是3为所求（）由（）的结果得13(23)nnnab，13(23)nnnab，解得11123232nnna，11323236nnnb（） 令数列nd的通项公式为1(23)nnd，它是公比为23p的等比数列， 令其前n项和为nP；令数列ne的通项公式为1(23)nne，它是公比为23p的等比数列，令其前n项和为nP由第（）问得1()2nnnSPP，3()6nnnSPP1331nnnnnnnnnnPSPPPPSPP
20、P由于数列ne的公比0231，则1lim1(23)nnP111()()1111()1nnnnnpppPpp，由于112323p，则1lim0nnP，于是lim0nnnPP，所以lim3nnnSS精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页名师精编欢迎下载例 9 数列na的各项均为正数，nS为其前n项和，对于任意*Nn，总有2,nnnaS a成等差数列 . ()求数列na的通项公式；()设数列nb的前n项和为nT，且2lnnnnaxb，求证 :对任意实数ex, 1（e是常数，e2.71828）和任意正整数n，总有nT2；()
21、 正数数列nc中，)( ,*11Nncannn.求数列nc中的最大项 . （）解：由已知：对于*Nn，总有22nnnSaa成立21112nnnSaa（n 2）-得21122nnnnnaaaaa111nnnnnnaaaaaa1,nnaa均为正数，11nnaa（n 2）数列na是公差为1 的等差数列又 n=1 时，21112Saa， 解得1a=1 nan.(*Nn) （）证明：对任意实数ex,1和任意正整数n，总有2lnnnnaxb21n. nnnTn1132121111211122221211131212111nnn()解：由已知221212cca，54545434343232355,244,3
22、3ccaccacca易得12234,.ccccc精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页名师精编欢迎下载猜想n2 时，nc是递减数列 . 令22ln1ln1,lnxxxxxxxfxxxf则当.00ln1, 1ln3xfxxx，即则时，在, 3内xf为单调递减函数. 由11lnln11nnccannnn知. n2 时, ncln是递减数列 .即nc是递减数列 . 又12cc, 数列nc中的最大项为323c. 例 10 设na是公差不为零的等差数列，nS为其前n项和，满足222223457,7aaaaS。（1）求数列na的
23、通项公式及前n项和nS；（2）试求所有的正整数m，使得12mmma aa为数列na中的项。解：（1）设公差为d，则22222543aaaa，由性质得43433 ()()d aad aa，因为0d，所以430aa，即1250ad，又由77S得176772ad，解得15a，2d,(2)（方法一）12mmma aa=(27)(25)23mmm, 设23mt，则12mmma aa=(4)(2)86ttttt, 所以t为 8 的约数精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页名师精编欢迎下载（方法二）因为1222222(4)(2)8
24、6mmmmmmmma aaaaaaa为数列na中的项，故m+28 a为整数，又由（1）知：2ma为奇数，所以2231,1,2mamm即经检验，符合题意的正整数只有2m。例 12 数列na中，12a，1nnaacn（c是常数，12 3n， ， ，），且123aaa，成公比不为1的等比数列。（I）求c的值；（II ）求na的通项公式。解：（ I）12a，22ac，323ac，因为1a，2a，3a成等比数列，所以2(2)2(23 )cc，解得0c或2c当0c时，123aaa，不符合题意舍去，故2c（II）当2n时，由于21aac，322aac，1(1)nnaanc，所以1(1)12(1)2nn na
25、ancc。又12a，2c，故22(1)2(2 3)nan nnnn， ，当 n=1 时，上式也成立，所以22(1 2)nannn，例13 已 知 数 列na的 前n项 和 为nS， 对 一 切 正 整 数n， 点),(nnSnP都 在 函 数xxxf2)(2的图像上，且过点),(nnSnP的切线的斜率为nk（1）求数列na的通项公式（2）若nknabn2，求数列nb的前n项和nT（ 3）设,2,NnaxxRNnkxxQnn，等差数列nc的任一项RQcn，其中1c是RQ中的最小数，11511010c，求nc的通项公式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
26、- - - -第 14 页，共 16 页名师精编欢迎下载解：（ 1）点),(nnSnP都在函数xxxf2)(2的图像上，2*2 ()nSnn nN, 当n2时，121.nnnaSSn当 1 时，113aS满足上式，所以数列na的通项公式为21.nan（2）由xxxf2)(2求导可得( )22fxx过点),(nnSnP的切线的斜率为nk，22nkn. 24 (21) 4nknnnban. 12343445447421)4nnnT+4 （由 4，得2341443445447421)4nnnT+4 （-得：23134 3424421)4nnnnT+4-（2114 14 34221)414nnn（4）
27、-（26116499nnnT（3）22,42,Qx xnnNRx xnnN,QRR. 又ncQR，其中1c是RQ中的最小数，16c. nc是公差是4 的倍数，*1046()cmmN. 又10110115c，*11046115mmN,解得 27. 所以10114c，设等差数列的公差为d，则1011146121019ccd，6(1)12126ncnn，所以nc的通项公式为126ncn例 14 已知nS 是数列na的前 n项和，123,22aa，且113210nnnSSS，其中*2,nnN. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页名师精编欢迎下载(1)求数列na的通项公式na；(2)求nS. 解：113210nnnSSS112()1nnnnSSSS121(2)nnaan又123,22aa也满足上式，*121()nnaanN112(1)nnaa（*nN）数列1na是公比为2，首项为1112a的等比数列1211222nnna12.nnSaaa1012212121.21n12.nnSaaa1012212121.21n1012222.2nn212nn精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页