《2022年高考数学一轮汇总训练《等差数列及其前n项和》理新人教A版 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高考数学一轮汇总训练《等差数列及其前n项和》理新人教A版 .pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 第二节等差数列及其前n项和 备考方向要明了 考 什 么怎 么 考1. 理解等差数列的概念；2. 掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3. 能在具体的问题情境中识别数列的等差关系， 并能用有关知识解决相应的问题；4. 了解等差数列与一次函数的关系. 1. 以选择题的形式考查等差数列的基本量及等差数列性质的简单应用，如2012 年辽宁 T6，北京 T10，江西T12 等2. 以解答题的形式考查等差数列的概念、等差数列的判定、通项公式、前n项和公式以及等差数列的性质等，如 2012 年陕西 T17 等 . 归纳知识整合 1等差数列的定义一般地， 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等
2、于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为anan1d( 常数 )(nN*，n2)或an1and(常数 )(nN*) 2等差数列的通项公式若等差数列 an的首项为a1，公差为d，则其通项公式为ana1(n1)d. 亦可以用数列中的第m项am与公差d表示为anam(nm)d. 探究 1. 已知等差数列 an的第m项为am，公差为d，则其第n项an能否用am与d表示？提示：能，anam(nm)d. 3等差中项若三个数a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有Aab2. 4等差数列的前n项和公式Snna1nn12dna1an2. 精
3、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 18 页2 探究 2. 等差数列前n项和公式的推导运用了什么方法？提示：倒序相加法3等差数列前n项和公式能否看作关于n的函数，该函数是否有最值？提示：当d0时，Sn是关于n的且常数项为0 的二次函数，则(n，Sn) 是二次函数图象上的一群孤立的点，由此可得：当d0 时，Sn有最小值；当d0，n14 时，an0，且SpSq(pq) ，则若pq为偶数，则当npq2时，Sn最大；若pq为奇数，则当npq12或npq12时，Sn最大3设等差数列an 的前n项和为Sn，已知a312，S120，S130
4、，S1313a11213131d0，3d0，即247d3. (2) 法一：Snna1nn12d(12 2d)nnn12dd2n252d12n，其中247d3. 由二次函数知识可得S6最大法二：ana1(n 1)d12(n3)d，由an0，an10，得12n3d0，12n2d0.12d2n12d3. 而247d 3，112n7. n6. 前 6 项和S6最大法三：由S1313a70，a70. 前 6 项和S6最大等差数列性质的应用 例 4 (1)(2013 江门模拟) 等差数列 an前 17 项和S1751，则a5a7a9a11a13等于 ( ) A3 B 6 C17 D 51 (2) 等差数列
5、 an 中，若a1a4a739，a3a6a927，则前 9 项的和S9等于 ( ) A66 B 99 C144 D 297 自主解答 (1) 由于S17a1a17217 17a951，所以a93. 根据等差数列的性质a5a13a7a11，所以a5a7a9a11a13a93. (2) 由等差数列的性质及a1a4a739，可得3a439，所以a413. 同理，由a3a6a927，可得a69. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 18 页10 所以S99a1a929a4a6299. 答案 (1)A (2)B 在等差数列有关计算问题
6、中，结合整体思想，灵活应用性质， 可以减少运算量，达到事半功倍的效果 . 4(1)(2013 山西四校联考) 在等差数列 an中，a1a2a3 3，a18a19a2087，则此数列前20 项的和等于 ( ) A290 B 300 C580 D 600 (2)(2012 江西高考) 设数列 an，bn都是等差数列若a1b17，a3b321，则a5b5_. 解析： (1) 选 B 依题意得3(a1a20) 90，即a1a2030，数列 an 的前 20 项的和等于20a1a202300. (2) 法一：设数列 an，bn的公差分别为d1，d2，因为a3b3(a12d1) (b12d2) (a1b1
7、) 2(d1d2) 72(d1d2) 21，所以d1d27. 所以a5b5(a3b3) 2(d1d2)2127 35. 法二： 2a3a1a5,2b3b1b5，a5b52(a3b3) (a1b1) 221 7 35. 答案： 35 1 个技巧利用等差数列的性质妙设项若奇数个数成等差数列，可设中间三项为ad，a，ad；若偶数个数成等差数列，可设中间两项为ad，ad，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元2 种选择等差数列前n项和公式的选择等差数列前n项和公式有两个，如果已知项数n、首项a1和第n项an，则利用Snna1an2，该公式经常和等差数列的性质结合应用如果已知项数n、首项a1和公差d，
8、则利用Snna1nn1d2，在求解等差数列的基本运算问题时，有时会和通项公式结合精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 18 页11 使用3 个结论等差数列前n项和Sn的几个结论(1) 若等差数列 an 的项数为偶数2n，则S2nn(a1a2n) , n(anan1) ；S偶S奇nd，S奇S偶anan1. (2) 若等差数列 an 的项数为奇数2n 1，则S2n1(2n 1)an1；S奇S偶n1n. (3) 在等差数列 an 中，若a10，d0，则满足am0，am 10的项数m使得Sn取得最大值Sm；若a10，则满足am0，a
9、m 10的 项数m使得Sn取得最小值Sm. 4 种方法等差数列的判断方法定义法；等差中项法；通项公式法；前n项和公式法 . 数学思想整体思想在数列中的应用利用整体思想解数学问题，就是从全局着眼，由整体入手， 把一些彼此独立但实际上紧密联系的量作为一个整体考虑的方法有不少数列题，其首项、公差无法确定或计算繁琐，对这类问题，若从整体考虑，往往可寻得简捷的解题途径 典例 (2013盐城模拟) 设等差数列 an的前n项和Snm，前m项和Smn(mn) 则它的前mn项的和Smn_. 解析 法一：设 an 的公差为d，则由Snm，Smn，得Snna1nn12dm，Smma1m m12dn. 得 (mn)a
10、1mnmn12dnm，mn，a1mn12d 1. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 18 页12 Sm n (mn)a1mnmn12d(mn)a1mn12d (mn)法二：设SnAn2Bn(n N*) ，则Am2Bmn，An2Bnm，得A(m2n2) B(mn)nm. mn，A(mn) B 1. A(mn)2B(mn) (mn) ，即Sm n (mn) 答案 (mn) 题后悟道 1本题的两种解法都突出了整体思想，其中法一把a1mn12d看成了一个整体，法二把A(mn) B看成了一个整体，解起来都很方便2整体思想是一种重要
11、的解题方法和技巧，这就要求学生要掌握公式，理解其结构特征3本题的易错点是，不能正确运用整体思想的运算方法，不能建立数量间的关系，导致错误 变式训练 1等差数列 an ，bn的前n项和分别为Sn，Tn，若SnTn2n3n1，则anbn( ) A.23B.2n13n1C.2n13n1D.2n13n4解析：选 B anbn2an2bna1a2n1b1b2n1S2n 1T2n12n13n112n13n1. 2设等差数列 an的前n项和为Sn，已知其前6 项和为 36，Sn324，最后 6 项的和为180(n6) ，求该数列的项数n及a9a10. 解：由题意知a1a2a3a4a5a636，anan1an
12、2an3an 4an 5180，6(a1an) 36180216. a1an36. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 18 页13 又Sn324，na1an2324，即n23243618. a9a10a1a1836. 一、选择题 ( 本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分) 1已知 an 是等差数列，且a3a94a5，a2 8，则该数列的公差是( ) A4 B14 C 4 D 14 解析： 选 A 因为a3a94a5，所以根据等差数列的性质可得a62a5. 所以a15d2a18d，即a13d 0. 又a2 8，即a
13、1d 8，所以公差d4. 2已知等差数列an的前n项和为Sn，若S17a，则a2a9a16等于 ( ) A.a17B.4a17C.3a17D3a17解析：选 C S17a1a172a，17a9a，a9a17. a2a9a163a93a17. 3(2013秦皇岛模拟) 设Sn为等差数列 an 的前n项和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，则k( ) A8 B 7 C6 D 5 解析：选 D 依题意得Sk2Skak1ak2 2a1(2k1)d2(2k1) 224，解得k5. 4已知 an 为等差数列，a1a3a5 105，a2a4a6 99. 以Sn表示 an 的前n项和，则使得Sn达到最大值的
14、n是( ) A21 B 20 C19 D 18 解析：选 B a1a3a5105，a2a4a699，3a3105,3a499，即a335，a433. a139，d 2，得an412n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 18 页14 令an0 且an11且an1an1a2n0，S2n138， 则n等于 _解析： 2anan1an1，又an1an1a2n0，2ana2n0，即an(2 an) 0. an0，an2. S2n12(2n1) 38，解得n10. 答案： 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名
15、师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 18 页15 9(2013南京模拟) 已知等差数列 an的前n项和为Sn，若 (a21)32 012(a21) 1，(a2 0111)32 012(a2 0111) 1，则下列四个命题中真命题的序号为_S2 0112 011 ；S2 0122 012 ；a2 011a2；S2 0110 ，f(1) 2 0131知f(1)f(a21)，故a211 即a22 又f(a21)f(a2 0111) 1，故a2 011a1a2S2，又假设S2 0112 011 ，则a1 1，a2 0111 矛盾综上，正确的为. 答案：三、解答题 ( 本大题共3 小
16、题，每小题12 分，共 36 分) 10设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列 an 的前n项和为Sn，满足S5S6150. (1) 若S55，求S6及a1；(2) 求d的取值范围解： (1) 由题意知S615S5 3，a6S6S5 8，所以5a110d5，a15d 8，解得a17. 所以S6 3，a17. (2) 因为S5S6150，所以 (5a110d)(6a1 15d) 150，即 2a219da110d210. 故(4a19d)2d28，所以d28.故d的取值范围为d 22或d22. 11已知等差数列an 中，公差d0，前n项和为Sn，a2a345，a1a518. (1) 求
17、数列 an 的通项公式；(2) 令bnSnnc(nN*) ，是否存在一个非零常数c，使数列 bn 也为等差数列？若存在，求出c的值；若不存在，请说明理由解： (1) 由题设，知 an是等差数列，且公差d0，则由a2a3 45，a1a518，得a1da12d45，a1a14d18，解得a11，d4.故an4n3(nN*) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 18 页16 (2) 由bnSnncn4n32nc2n n12nc. c0，可令c12，得到bn2n. bn1bn2(n 1) 2n2(nN*) ，数列 bn 是公差为2
18、 的等差数列即存在一个非零常数c12，使数列 bn也为等差数列12已知Sn是数列 an的前n项和，Sn满足关系式2SnSn112n12(n2，n为正整数 ) ，a112. (1) 令bn2nan，求证数列 bn是等差数列，并求数列an 的通项公式；(2) 在(1) 的条件下，求Sn的取值范围解： (1) 由 2SnSn112n1 2，得 2Sn1Sn12n2，两式相减得2an1an12n，上式两边同乘以2n得 2n1an12nan1，即bn 1bn1，所以bn 1bn 1，故数列 bn是等差数列，且公差为1. 又因为b12a1 1，所以bn1(n1)1n. 因此2nann，从而ann12n.
19、(2) 由于 2SnSn112n12，所以 2SnSn1212n1，即Snan212n 1. Sn 212n 1an，而ann12n，所以Sn212n1n12n2(n2)12n. 所以Sn12(n3)12n1，且Sn1Snn12n10. 所以SnS112，又因为在Sn2(n2)12n中， (n2)12n0，故Sn2，即Sn的取值范围是12，2 . 1已知数列 an 的通项公式anpn2qn(p，qR，且p，q为常数 )(1) 当p和q满足什么条件时，数列an是等差数列？(2) 求证：对任意实数p和q，数列 an1an 是等差数列解：(1)an1anp(n1)2q(n1) (pn2qn) 2pn
20、pq，要使an是等差数列，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 18 页17 则 2pnpq应是一个与n无关的常数，所以2p0，即p0. 故当p0 时，数列 an是等差数列(2) 证明：an1an2pnpq，an2an1 2p(n1)pq. 而(an2an1) (an1an) 2p为一个常数，an1an 是等差数列2设 an是一个公差为d(d0)的等差数列，它的前10 项和S10110，且a1，a2，a4成等比数列(1) 证明a1d；(2) 求公差d的值和数列 an 的通项公式解： (1) 证明：因a1，a2，a4成等比数列
21、，故a22a1a4. 而an 是等差数列，有a2a1d，a4a13d. 于是 (a1d)2a1(a1 3d) ，即a212a1dd2a213a1d，化简得a1d. (2) 由条件S10110 和S1010a11092d，得到 10a145d110. 由(1) ，a1d，代入上式得55d110，故d2，ana1 (n1)d2n. 因此，数列 an的通项公式为an 2n(n1,2,3 ，,) 3已知 an 为等差数列，若a11a10 1，且它的前n项和Sn有最大值，那么当Sn取得最小正值时，n等于多少？解：由已知得，an 是首项为正，公差为负的递减等差数列由a11a10 1 得a10a110，a1
22、10，S2020a1a20220a10a11210(a10a11)0，Sn取最小正值时n 19. 4已知数列 an 的前n项和Sn2n22n，数列 bn 的前n项和Tn2bn. 求数列 an与bn的通项公式解：当n2 时，anSnSn12n22n2(n1)2 2(n1) 4n，又a1S14，故an4n. 当n2时，由bnTnTn12bn2bn1，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 18 页18 得bn12bn1，又T12b1，即b11，故bn12n 121n. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 18 页