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1、缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里突破点 16导数的应用 (酌情自选 ) 核心知识提炼 提炼 1 导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法在某个区间 (a，b)内，如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在此区间内 单调递增 ；如果 f(x)0，那么函数 yf(x)在此区间内 单调递减(2)常数函数的判定方法如果在 某个区间 (a，b)内，恒有 f(x)0，那么函数 yf(x)是常数函数 ，在此区间内不具有单调性(3)已知函数的单调性求参数的取值范围设可导函数f(x)在某个区间内 单调递增 (或递减 )，则可以得出函数f(x)在这个区间内 f(x)0(或 f(x)0)，从而转化为 恒成
2、立 问题来解决 (注意等号成立的检验). 提炼 2 函数极值的判别注意点(1)可导函数 极值点的导数为 0，但导数为 0 的点不一定是极值点 ，如函数 f(x)x3，当 x0 时就不是极值点，但f(0)0. (2)极值点 不是一个点， 而是一个 数x0， 当 xx0时， 函数取得极值在 x0处有 f(x0)0 是函数 f(x)在 x0处取得极值的 必要不充分条件(3)函数 f(x)在一闭区间上的 最大值 是此函数在此区间上的极大值 与其 端点函数值中的最大值 ，函数 f(x)在一闭区间上的 最小值是此函数在此区间上的 极小值与其端点函数值中的最小值 . 提炼 3 函数最值的判别方法(1)求函数
3、 f(x)在闭区间 a，b上最值的关键是 求出 f(x)0 的根的函数值 ，再与f(a)，f(b)作比较 ，其中 最大的一个是 最大值，最小的一个是 最小值(2)求函数 f(x)在非闭区间上的 最值，只需利用 导数法 判断函数 f(x)的单调性 ，即精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里可得结论高考真题回访 回访 1导数的几何意义1(2017 全国卷 )曲线 yx21x在点(1,2)处的切线方程为 _xy10y2x1x2，y|x11，即曲线在点 (1,2)处的切线的斜率 k1，切
4、线方程为 y2x1，即 xy10. 2(2016 全国卷 )已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ex1x，则曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程是 _2xy0设 x0，则 x0，f(x)ex1x. f(x)为偶函数， f(x)f(x)，f(x)ex1x. 当 x0 时，f(x)ex11，f(1)e111112. 曲线 yf(x)在点(1,2)处的切线方程为 y22(x1)，即 2xy0. 回访 2导数与函数的单调性3(2016 全国卷 )假设函数 f(x)x13sin 2xasin x 在(， )单调递增，则 a的取值范围是 () A1,1B1，13精选学习资料 - - - -
5、 - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里C.13，13D.1，13C取 a1，则 f(x)x13sin 2xsin x，f(x)123cos 2 xcos x，但 f(0)1231230，不具备在 (，)单调递增的条件，故排除A，B，D.故选 C. 4(2015 全国卷 )设函数 f(x)是奇函数 f(x)(xR)的导函数， f(1)0，当 x0 时，xf(x)f(x)0 成立的 x 的取值范围是 () A(， 1)(0,1) B(1,0)(1， ) C(， 1)(1,0) D(0,1)(1，) A设 yg(
6、x)f xx(x0)， 则 g(x)xf x f xx2， 当 x0 时，xf(x)f(x)0，g(x)0，g(x)0 时，f(x)0,0 x1，当 x0，g(x)0，x0 成立的 x 的取值范围是 (， 1)(0,1)，故选 A. 回访 3函数的极值与最值5(2013 全国卷 )已知函数 f(x)x3ax2bxc，以下结论中错误的选项是() A? x0R，f(x0)0 B函数 yf(x)的图象是中心对称图形C假设 x0是 f(x)的极小值点，则 f(x)在区间 (， x0)上单调递减D假设 x0是 f(x)的极值点，则 f(x0)0 CA 项， 因为函数 f(x)的值域为 R， 所以一定存在
7、 x0R， 使 f(x0)0.A 正确B项，假设函数 f(x)x3ax2bxc 的对称中心为 (m，n)，按向量 a(m，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里n)将函数的图象平移， 则所得函数 yf(xm)n是奇函数 所以 f(xm)f(xm)2n0，化简得 (3ma)x2m3am2bmcnxR 恒成立，故3ma0，得 ma3，nm3am2bmcf a3，所以函数 f(x)x3ax2bxc的对称中心为a3，f a3，故 yf(x)的图象是中心对称图形 B 正确 C 项，由于 f
8、(x)3x22axb 是二次函数， f(x)有极小值点 x0，必定有一个极大值点x1，假设 x1x0，则 f(x)在区间 (，x0)上不单调递减 C 错误 D 项，假设 x0是极值点，则一定有f(x0)0.故选 C. 热点题型 1利用导数研究函数的单调性题型分析： 利用导数研究函数的单调性问题常在解答题的第(1)问中呈现，有一定的区分度，此类题涉及函数的极值点、利用导数判断函数的单调性、不等式的恒成立等【例 1】(2016 辽宁葫芦岛模拟 )已知 x1 是 f(x)2xbxln x的一个极值点(1)求函数 f(x)的单调递减区间；(2)设函数 g(x)f(x)3ax，假设函数 g(x)在区间
9、1,2内单调递增，求实数a 的取值范围 . 【导学号： 04024135】解 (1)因为 f(x)2xbxln x，所以 f(x)2bx21x，因为 x1 是 f(x)2xbxln x 的一个极值点， 所以 f(1)2b10，解得 b3，经检验，符合题意，所以 bf(x)2x3xln x，其定义域为 (0，)4 分令 f(x)23x21x0，解得32x1，所以函数 f(x)2x3xln x 的单调递减区间为 (0,16 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里(2)因为 g(x)
10、f(x)3ax2xln xax，所以 g(x)21xax28 分因为函数 g(x)在1,2上单调递增，所以 g(x)0在1,2上恒成立， 即 21xax20在 x1,2上恒成立，所以 a(2x2x)max，而在 1,2上，(2x2x)max3，所以 a3. 所以实数 a 的取值范围为 3，)12 分方法指津 根据函数 yf(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围的方法：(1)假设函数 yf(x)在(a，b)上单调递增，转化为f(x)0 在(a，b)上恒成立求解(2)假设函数 yf(x)在(a，b)上单调递减，转化为f(x)0 在(a，b)上恒成立求解(3)假设函数 yf(x)在(a， b)上单
11、调，转化为 f(x)在(a，b)上不变号即 f(x)在(a，b)上恒正或恒负(4)假设函数 yf(x)在(a，b)上不单调，转化为f(x)在(a，b)上变号变式训练 1(2017 全国卷改编 )已知函数 f(x)ex(exa)a2x，试讨论 f(x)的单调性. 解函数 f(x)的定义域为 (，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa). 3 分(1)假设 a0，则 f(x)e2x在(，)上单调递增4 分(2)假设 a0，则由 f(x)0 得 xln a. 当 x(，ln a)时，f(x)0；当 x(ln a，)时，f(x)0. 故 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)
12、上单调递增8 分(3)假设 a0，所以 f(x)在(0，)上单调递增假设 a0，则当 x 0，1a时，f(x)0；当 x1a， 时，f(x)0 时，f(x)在 x1a处取得最大值，最大值为f1aln1aa 11aln aa110 分因此 f1a2a2 等价于 ln aa10. 令 g(a)ln aa1，则 g(a)在(0，)上单调递增， g(1)0. 于是，当 0a1 时，g(a)1 时，g(a)0. 因此， a 的取值范围是 (0,1)12 分热点题型 3利用导数解决不等式问题题型分析： 此类问题以函数、导数与不等式相交汇为命题点，实现函数与导数、不等式及求最值的相互转化，达成了综合考查考生
13、解题能力的目的【例 3】(2017 全国卷 )已知函数 f(x)ln xax2(2a1)x. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0，故 f(x)在(0，假设 a0；当 x 12a， 时，f(x)0. 故 f(x)在 0，12a上单调递增，在12a， 上单调递减 . 5 分(2)证明：由(1)知，当 a0；当 x(1，)时，g(x)0 时，g(x)0. 从而当 ag(x)(f(x)0(f(x)g(x)0)，进而构造辅助函数h(x)f(x
14、)g(x)(2)构造“形似 ”函数：对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数；把不等式转化为左右两边是相同结构的式子的结构，根据“相同结构 ”构造辅助函数(3)主元法：对于 (或可化为 )f(x1，x2)A 的不等式，可选 x1(或 x2)为主元，构造函数 f(x，x2)(或 f(x1，x)(4)放缩法：假设所构造函数最值不易求解，可将所证明不等式进行放缩，再重新构造函数变式训练 3(2016 太原一模 )设函数 f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，曲线 yf(x)过点(e，e2e1)，且在点 (1,0)处的切线方程为 y0. (1)求 a，b 的值；(2)证明：当 x1 时，f(x)(
15、x1)2；(3)假设当 x1 时，f(x)m(x1)2恒成立，求实数 m 的取值范围 . 【导学号： 04024137】解 (1)函数 f(x)ax2ln xb(x1)(x0)，可得 f(x)2aln xaxb，因为 f(1)ab0，f(e)ae2b(e1)a(e2e1)e2e1，所以 a1，b12 分(2)证明： f(x)x2ln xx1，设 g(x)x2ln xxx2(x1)，g(x)2xln xx1，(g(x)2ln x10，所以 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x)g(1)0，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，
16、共 11 页缘份让你看到我在这里缘份让你看到我在这里所以 g(x)在0，)上单调递增，所以 g(x)g(1)0，所以 f(x)(x1)26 分(3)设 h(x)x2ln xxm(x1)21，h(x)2xln xx2m(x1)1，由(2)中知 x2ln x(x1)2x1x(x1)，所以 xln xx1，所以 h(x)3(x1)2m(x1)，当 32m0 即 m32时，h(x)0，所以 h(x)在1，)单调递增，所以 h(x)h(1)0，成立当 32m0 即 m32时，h(x)2xln x(12m)(x1)，(h(x)2ln x32m，令(h(x)0，得 x0e2m321，当 x1，x0)时，h(x)h(1)0，所以 h(x)在1，x0)上单调递减，所以h(x)h(1)0，不成立综上， m3212 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页